河南省四市（安陽市、鶴壁市、新鄉(xiāng)市、商丘市）2022-2023學(xué)年高三年級下冊學(xué)期開學(xué)考試（理科）數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前高三數(shù)學(xué)考試（理科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，則（）．A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）．A． B． C． D．3．已知向量，，且，則（）．A．1 B．2 C．3 D．44．下圖是我國跨境電商在2016～2022年的交易規(guī)模與增速表，由圖可以知道下列結(jié)論正確的是（）．2016～2022年我國跨境電商交易規(guī)模、增速A．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為8.0萬億元B．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速越來越大C．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬億元D．圖中我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數(shù)為13.8％5．函數(shù)的圖象大致為（）．A．B．C．D．6．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）．A．為奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．在上的值域為 D．點是圖象的一個對稱中心7．設(shè)橢圓的半焦距為c，若，，則C的離心率為（）．A． B． C． D．8．在正方體中，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）．A． B． C． D．9．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，的面積為，則（）．A． B． C． D．10．如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（）．A． B．C． D．11．定義函數(shù)，，若至少有3個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A． B． C． D．12．已知函數(shù)，的定義域均為R，，連續(xù)可導(dǎo)，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為，．若的圖象關(guān)于點對稱，，且，與圖象的交點分別為，，…，，則下列說法錯誤的是（）．A．是奇函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為__________．14．已知，則__________．15．某居民小區(qū)前有9個連成一排的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車輛要停放，則恰有2輛車停放在相鄰車位的概率是__________．16．已知拋物線，直線l與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，，若，且與交于點M，則的面積的最小值為__________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知等比數(shù)列的前n項和，為常數(shù)．（1）求的值與的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求．18．（12分）如圖，四邊形是菱形，，平面，，．（1）證明：．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的積極性，進行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成一個小組．游戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知甲、乙兩名隊員投進籃球的概率分別為，．（1）若，，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率．（2）若，則在游戲中，甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，理論上他們小組至少要進行多少輪游戲才行？并求此時，的值．20．（12分）已知雙曲線的離心率為，且點在C上．（1）求雙曲線C的方程；（2）若點M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率k為定值．21．（12分）已知函數(shù)，為它的導(dǎo)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知A，B是曲線C上的兩點，且，求的最大值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．高三數(shù)學(xué)考試參考答案（理科）1．C2．A3．B4．D5．C6．D7．C8．B10．A11．B12．D13．14．15．16．117．解：（1）因為，所以，（1分）當(dāng)時，，（3分）因為為等比數(shù)列，所以，解得，（5分）所以．（6分）（2）因為，（7分）所以，，（9分）兩式相減得，（10分）即，（11分）所以．（12分）評分細(xì)則：【1】第一問，寫出，得1分，寫出，累計得3分，證出是等比數(shù)列，且求出，累計得5分，寫出的通項公式，累計得6分．【2】第二問，求出，累計得7分，求出，累計得10分，直到給出正確結(jié)論得12分．18．（1）證明：連接．因為四邊形是菱形，所以．（2分）又平面，所以．（3分）因為，所以平面．（4分）又，所以平面就是平面，因為平面，所以．（5分）（2）解：設(shè)，相交于點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（6分）設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得．（10分）取的中點G，連接．易證平面平面，因為是正三角形，所以，從而平面，即是平面的一個法向量．因為，，所以，（11分）所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（12分）評分細(xì)則：．【1】第一問，證出，得2分，證出，累計得3分，第一問全部證完，累計得5分．【2】第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，累計得6分，寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標(biāo)，累計得8分，計算出平面的法向量，累計得10分，寫出平面的一個法向量，累計得11分，直至正確求出銳二面角的余弦值，累計得12分．19．解：（1）由題可知，可能的情況有①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．（2分）故所求概率為．（4分）（2）他們在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率，（6分）因為，所以，因為，，，所以．（7分）又，所以．（9分）令，則，設(shè)，當(dāng)時，，（10分）他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)滿足，由，則，所以理論上至少要進行625輪游戲．（11分）此時，，．（12分）評分細(xì)則：【1】第一問，會進行分類，得2分，正確求出概率，累計得4分．【2】第二問，求出他們在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率，累計得6分，求出，累計得9分，求出，累計得10分，整個題完全正確得12分．20．（1）解：因為，所以，解得．（2分）所以雙曲線C的方程為，把點的坐標(biāo)代入，得，解得，（3分）所以雙曲線C的方程為．（4分）（2）證明：設(shè)，．設(shè)直線的方程為，代入，得，于是，．①（6分）由，得，則，整理得．（8分）將①代入上式，可得，整理得．（10分）因為不在直線上，所以，所以，解得．即直線的斜率k為定值．（12分）評分細(xì)則：【1】第一問，正確寫出，得2分，寫出，累計得3分，求出C的方程，累計得4分．【2】第二問，根據(jù)韋達定理寫出，，累計得6分，寫出，累計得10分，算出，累計得12分．21．解：（1）當(dāng)時，，則．（1分）令，得，再令，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2分）又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，（3分）故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（4分）（2）由，得，令，得．（5分）①當(dāng)時，，只有一個根，不符合題意．（6分）②當(dāng)時，，易知此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又，所以當(dāng)時，存在，使得，即在上有一個根．（7分）當(dāng)時，，則，所以，取，則，所以，方程在上有一零點，所以有兩個不同的根，符合題意．（8分）③當(dāng)時，由，得或．當(dāng)，即時，由，得或，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為的極大值，所以至多有一個根，不符合題意．（9分）當(dāng)，即時，在R上單調(diào)遞增，所以至多有一個根，不符合題意．（10分）當(dāng)，即時，由，得或，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為當(dāng)，時，，所以．又，所以至多有一個根，不符合題意．（11分）綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為．（12分）評分細(xì)則：【1】第一問，寫出，得1分，正確判斷出的單調(diào)區(qū)間，累計得2分，第一問都正確，累計得4分．【2】第二問，寫出，累計得5分，每正確進行一次討論，得1分，第二問都正確，累計得8分．【3】第三問，后續(xù)每討論一種情況得1分，直至求出正確答案，累計得12分．【4】采用其他方法，參照本評分標(biāo)準(zhǔn)依步驟給分．22．解：（1）先將曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程，得，（2分）再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程，進一步化簡得．（4分）（2）不妨設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B的極坐標(biāo)為，（5分）所以，，（7分）所以，（8分）所以，（9分）所以的最大值為．（10分）評分細(xì)則：【1】第一問，曲線C的極坐標(biāo)方程寫成或都不扣分，得4分．【2】第二問，寫出A，B的極坐標(biāo)方程，累計得5分，寫出，，累計得7分，寫出，累計得9分，求出最大值為，累計得10分．23．解：（1）不等式等價于或或，（1分）因為的解集為，（2分）的解集為，（3分）的解集為