3年級上冊數(shù)學奧數(shù)培優(yōu)講義 第12講 等差數(shù)列應(yīng)用（教師版）

第12講等差數(shù)列應(yīng)用三年級秋季第12講等差數(shù)列應(yīng)用三年級秋季知識點知識點等差數(shù)列(進階)應(yīng)用(三上)1.當項數(shù)為奇數(shù)時，由和=中間項×項數(shù)可知，中間項=和÷項數(shù)．也就是說，可以通過項數(shù)與和求出一個等差數(shù)列的中間數(shù)．2.當項數(shù)為偶數(shù)時，可以根據(jù)和=(首項+末項)×項數(shù)÷2，算出首項與末項的和．如果再能求出首項與末項的差，便能求出首相與末項的具體數(shù)值了．知識精講知識精講

我們來看一下幾個數(shù)列，(1)13,14,15,16,17,18,19；(2)7,10,13,16,19,22,25；(3)4,8,12,16,20,24,28；(4)10,12,14,16,18,20,22．這幾個數(shù)列有什么相同點呢？這幾個數(shù)列雖然都不一樣，但它們的項數(shù)、和與中間數(shù)都是相同的：項數(shù)都是7，和都是112，中間數(shù)都是16．其實只要項數(shù)與和相同，中間數(shù)就肯定相同了．課堂例題課堂例題項數(shù)為奇數(shù)項1、一個等差數(shù)列第1項為21，前7項和為105，這個數(shù)列的第10項是多少？2121？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1項第2項第7項第10項和105【答案】

3【解析】

等差數(shù)列前7項和為105，中間項為第4項，所以第4項為．這個等差數(shù)列公差為，所以第10項為．2、11個連續(xù)自然數(shù)之和為110，其中第6個數(shù)是__________．【答案】

10【解析】

11個數(shù)的中間項為第項，當項數(shù)為奇數(shù)時，，所以第6個數(shù)為．3、已知一個等差數(shù)列的前15項之和為450，前21項之和為819．請問：這個數(shù)列的公差是多少？首項是多少？2121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1項第2項第15項第21項和為450？和為819【答案】

3，9【解析】

等差數(shù)列前15項和為450，中間項為第8項，所以第8項為．前21項之和為819，中間項為第11項，所以第11項為．這個等差數(shù)列公差為，首項為．4、11個連續(xù)偶數(shù)的和是1100，其中最大的數(shù)是多少？【答案】

110【解析】

11個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，中間項為第6項，所以第6項為，最大數(shù)為．項數(shù)為偶數(shù)項5、把248表示成8個連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的偶數(shù)是__________．【答案】

38【解析】

當項數(shù)為8時，中間數(shù)是第4個數(shù)和第5個數(shù)之間的數(shù)．，所以第4個數(shù)為，所以最大偶數(shù)為．6、已知一個等差數(shù)列的前15項之和為450，前20項之和為750，請問：這個數(shù)列的公差是______，首項是______．A．3，15B．5，15C．3，13D．3，9【答案】

D

【解析】

方法一：等差數(shù)列前15項的和是450，那么根據(jù)“”，得．同理，得．因此第20項與第15項的差是．顯而易見，第20項與第15項之間相差5個公差，所以1個公差就是．此時第15項與第1項的差是．根據(jù)和差問題公式“”，得到數(shù)列的首項是．方法二：等差數(shù)列前15項的和是450，根據(jù)“”得中間項(第8項)就是．又由于數(shù)列的前20項之和是750，因此數(shù)列中第16項至第20項這5個數(shù)的和就是，那么這5個數(shù)的中間項(原數(shù)列第18項)是．它們之間相差個公差，因此數(shù)列的公差是．第8項與第1項相差個公差，所以數(shù)列的首項是．7、一個等差數(shù)列第8項為82，前7項和為490，這個數(shù)列的公差是多少？這個數(shù)列的第20項是多少？【答案】

3，118【解析】

等差數(shù)列前7項和為490，中間項為第4項，所以第4項為．公差為，第20項為．8、已知一個等差數(shù)列的前25項之和為325，前30項之和為465．請問：這個數(shù)列的公差是多少？首項是多少？【答案】

1，1【解析】

等差數(shù)列的前25項之和為325，中間項為第13項，所以第13項為．等差數(shù)列的前30項之和為465，則第26項至第30項的和為，所以第28項為．所以這個數(shù)列公差為，首項為．等差數(shù)列應(yīng)用9、在一次考試中，第一組同學的分數(shù)恰好構(gòu)成了公差為3的等差數(shù)列，總分為609．卡莉婭發(fā)現(xiàn)自己的分數(shù)算少了，找老師更正后，加了21分，這時他們的成績還是一個等差數(shù)列．請問：卡莉婭正確的分數(shù)是多少？【答案】

99分【解析】

一組同學的分數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，把其中卡莉婭的分數(shù)加上21分后，這組數(shù)仍構(gòu)成等差數(shù)列，那自然就知道卡莉婭的分數(shù)在原數(shù)列中是最低的，也就是首項．同理，卡莉婭更正后的分數(shù)是新數(shù)列的末項，而數(shù)列中其它各數(shù)都沒有變化．因此卡莉婭的分數(shù)更正后，比原先分數(shù)最高的同學還要高3分，因此原先卡莉婭的分數(shù)比其他同學中最高分低分，即原數(shù)列的首項比末項少18．根據(jù)項數(shù)公式，得，所以這組同學有7人．因，則成績位于中間位置的同學(第4名)得了87分．原先卡莉婭的分數(shù)比他少分，更正后就比他多分．所以卡莉婭更正后的分數(shù)為分．33差21？卡莉婭原來的分數(shù)卡莉婭現(xiàn)在的分數(shù)和609

隨堂練習隨堂練習1、一個等差數(shù)列第1項為3，前11項和為198，這個數(shù)列的第20項是多少？【答案】

60【解析】

等差數(shù)列前11項和為198，中間項為第6項，所以第6項為．這個等差數(shù)列公差為，所以第20項為．2、7個連續(xù)奇數(shù)之和為91，其中最小的奇數(shù)是__________．【答案】

7【解析】

7個數(shù)的中間項為第項，當項數(shù)為奇數(shù)時，，所以第4個數(shù)為．相鄰兩個奇數(shù)差2，所以最小奇數(shù)為．3、已知一個等差數(shù)列的前13項之和為533，前15項之和為690．請問：這個數(shù)列的首項是多少？【答案】

11【解析】

等差數(shù)列前13項和為533，中間項為第7項，所以第7項為．前15項之和為690，中間項為第8項，所以第8項為．這個等差數(shù)列公差為，首項為．4、把115表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和，其中最小的數(shù)是幾？【答案】

7【解析】

10個連續(xù)自然數(shù)成公差為1的等差數(shù)列，所以首項和末項和為，末項比首項大9，所以最小數(shù)為．課后作業(yè)課后作業(yè)1、5個連續(xù)自然數(shù)之和為15，那么最大的那個數(shù)是________．【答案】

5【解析】

5個連續(xù)自然數(shù)中間項為第3項，所以第3項為，那么最大數(shù)為．2、7個連續(xù)偶數(shù)之和為112，其中最小的那個數(shù)是________．【答案】

10【解析】

7個連續(xù)偶數(shù)中間項為第4項，所以第4項為，那么最小數(shù)為．3、8個連續(xù)奇數(shù)之和為112，其中最小的那個數(shù)是________．【答案】

7【解析】

8個連續(xù)奇數(shù)之和為112，則首項和末項和為，首項和末項相差，所以較小數(shù)為．4、已知一個等差數(shù)列的首項是1，前3項之和為15，那么這個數(shù)列的公差是________．【答案】

4【解析】

等差數(shù)列前3項之和為15，中間項為第2項，所以第2項為，這個數(shù)列公差為．5、已知一個等差數(shù)列的首項是17，前7項之和為161，那么這個數(shù)列的第11項是________．【答案】

37【解析】

等差數(shù)列前7項之和為161，中間項為第4項，所以第4項為，這個數(shù)列公差為，第11項為．6、一個等差數(shù)列的第10項是35，前9項之和為180，這個數(shù)列的首項是_________．【答案】

8【解析】

等差數(shù)列前9項和為180，中間項為第5項，所以第5項為，公差為，首項為．7、一個等差數(shù)列的前3項之和為15，前9項之和為180，這個數(shù)列的首項是_________．【答案】

0【解析】

等差數(shù)列前3項之和為15，中間項為第2項，所以第2項為．同理，前9項之和為180，中間項為第5項，所以第5項為．公差為，首項為．8、把325表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和，其中最小的數(shù)是_________．【答案】

28【解析】

10個連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，首項與末項和為，首項和末項相差，所以最小數(shù)為．9、已知一個等差數(shù)列的前11項之和為451，前19項之和為1235，這個數(shù)列的首項是_________．【答案】

11【解析】

等差數(shù)列前11項之和為451，中間項為第6項，所以第6項為．同理，前19項之和為1235，中間項為第10項，所以第10項為．公差為，首項為．10、魔術(shù)師表演魔術(shù)．剛開始，桌上的盒子里放著3個乒乓球．第一次