建筑力學(xué) 第章 位移

第14章靜定桿系結(jié)構(gòu)的位移計算[內(nèi)容提要]本章介紹了桿系結(jié)構(gòu)的位移計算；闡述了運用圖乘法計算靜定梁和剛架位移的方法；簡要介紹了彈性體系的互等定理。14.1概述14.1.1結(jié)構(gòu)的變形和位移

結(jié)構(gòu)位移計算的方法有多種，歸納起來大致可分為兩類：一類是幾何物理方法，它是以桿件的幾何變形關(guān)系為基礎(chǔ)，如前面章節(jié)中關(guān)于計算梁撓度的積分方法；另外一類是以功能原理為基礎(chǔ)，其中以虛功原理為基礎(chǔ)的單位荷載法應(yīng)用最為廣泛。實際工程中任何結(jié)構(gòu)都是由可變形固體材料組成的，在荷載作用下將會產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，從而導(dǎo)致桿件尺寸和形狀的改變，這種改變稱之為變形，變形是結(jié)構(gòu)(或其中的一部分)各點的位置發(fā)生相應(yīng)的改變。同時，由于外荷載的作用下引起的結(jié)構(gòu)各點的位置的改變稱為結(jié)構(gòu)的位移，結(jié)構(gòu)的位移一般可分為線位移和角位移。例如圖14-1(a)所示的剛架在外荷載q作用下發(fā)生如虛線所示的變形，截面A的形心沿某一方向移到了 ，則線段 稱為A點的線位移，用表示。也可以用豎向位移和水平位移 兩個位移分量表示，如圖14-1(b)所示。同時，截面A還轉(zhuǎn)動了一個角度 ，稱為截面的轉(zhuǎn)角位移。(a)(b)圖14-1圖14-2又如圖14-2所示的簡支剛架，在荷載P作用下發(fā)生虛線所示的變形，桿AB截面A處產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移θA

，截面B處產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移θB，這兩個截面的轉(zhuǎn)角的和，構(gòu)成了A、B兩截面的相對轉(zhuǎn)角，即： 。同時，C、D兩點沿水平方向產(chǎn)生線位移、，這兩點線位移之和稱為C、D兩點的水平相對線位移，即：=+。除荷載引起結(jié)構(gòu)位移外，其他因素如支座移動、溫度變化、材料收縮和制造誤差等，也能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。θAB=θA+θB

14.1.2計算靜定桿系結(jié)構(gòu)位移的目的計算結(jié)構(gòu)位移的主要目的有如下三個方面：1．校核結(jié)構(gòu)的剛度結(jié)構(gòu)的剛度是反映結(jié)構(gòu)在荷載作用下抵抗變形的能力大小，剛度越大，變形越小。為保證結(jié)構(gòu)在使用過程中不致發(fā)生過大的變形而影響結(jié)構(gòu)的正常使用，需要校核結(jié)構(gòu)的剛度。例如，對于混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件而言，根據(jù)我國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB50010―2002)的有關(guān)規(guī)定，建筑結(jié)構(gòu)中樓面主梁的最大撓度一般不能超過跨度的1/400；工業(yè)廠房中的吊車梁的最大撓度不可超過跨度的1/500~1/600。又如，當(dāng)車輛通過橋梁時，假如橋梁撓度過大，將會導(dǎo)致線路不平，在車輛動荷載的作用下將會引起較大的沖擊和振動，輕則引起乘客的不適，重則影響車輛的安全運行。按照我國《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTGD62―2004)的有關(guān)規(guī)定，梁式橋的最大撓度不能超過其計算跨徑的1/300~1/600。2．便于結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的制作和施工某些結(jié)構(gòu)、構(gòu)件在制作、施工架設(shè)等過程中需要預(yù)先知道該結(jié)構(gòu)、構(gòu)件可能發(fā)生的位移，以便采取必要的防范和加固措施，確保結(jié)構(gòu)或構(gòu)件將來的正常使用。例如圖7-2(a)所示的桁架，在屋蓋自重作用下其下弦各結(jié)點將產(chǎn)生虛線所示的豎向位移，結(jié)點C的豎向位移最大。為了減少桁架在使用時下弦各結(jié)點的豎向位移，在制作時要將下弦部分按“建筑起拱”的做法下料制作(圖7-2b)，當(dāng)拼接后結(jié)點C＇恰好落在C點的水平位置上。確定“建筑起拱”必須要計算桁架下弦結(jié)點C的豎向位移，以便確定起拱的高度。圖14-33．為分析超靜定結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件因為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算單憑靜力平衡條件是不能夠完全確定的，還必須考慮變形條件才能求解，建立變形條件就需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)位移的計算。另外，在結(jié)構(gòu)的動力計算和穩(wěn)定性計算中均要用到結(jié)構(gòu)位移的計算。所以，結(jié)構(gòu)位移計算在結(jié)構(gòu)分析和實踐中都具有重要的意義。應(yīng)該指出的是，，這里所研究的的結(jié)構(gòu)僅限于線線彈性變形體結(jié)結(jié)構(gòu)，或者說，，結(jié)構(gòu)的位移是是與荷載成正比比直線關(guān)系增減減的。因此，計計算位移時荷載載的影響可以應(yīng)應(yīng)用疊加原理。。換句話說，結(jié)結(jié)構(gòu)必須具備如如下條件：(1)材料的受受力是在彈性范范圍內(nèi)，應(yīng)力和和應(yīng)變的關(guān)系滿滿足胡克定律；；(2)結(jié)構(gòu)的變變形(或者位移移)是微小的。。線性變形結(jié)構(gòu)也也稱為線性彈性性結(jié)構(gòu)，簡稱彈彈性結(jié)構(gòu)。對于于位移與荷載不不成正比變化的的結(jié)構(gòu)，叫做非非線性變形結(jié)構(gòu)構(gòu)。線性和非線線性變形結(jié)構(gòu)，，統(tǒng)稱為變形體體結(jié)構(gòu)。14.2計算算靜定桿系結(jié)構(gòu)構(gòu)位移的單位荷荷載法·圖乘法法對于如圖14-3所示的結(jié)構(gòu)構(gòu)，在兩組荷載載、分分別獨獨立作用下，有有如下的等式：：(14-1)式中，稱稱為外力虛功功，為與與的乘積，即：： ；稱為內(nèi)力虛功，，為的加載過程中，所引起的內(nèi)力在在引起起的相應(yīng)變形上上做的功；為為結(jié)構(gòu)在荷荷載作作用下處處發(fā)生的新新的位移。圖14-4(14-1)式式即是虛功原理理(具體可參見見有關(guān)書籍)的的表達(dá)式，它是是本章討論結(jié)構(gòu)構(gòu)在荷載作用的的位移計算問題題的理論依據(jù)。。為計算圖示14-5(a)所所示一懸臂梁結(jié)結(jié)構(gòu)在給定荷載載P作用下結(jié)構(gòu)構(gòu)上某一點產(chǎn)生生的變形，圖14-5如C點沿α方向向產(chǎn)生的位移分分量Δ需通過在在C點沿所擬求求位移方向上虛虛設(shè)一無量綱的的集中力=1(見圖圖14-5(b))。其步驟如下：首先考慮結(jié)構(gòu)上上B點處微段ds的三類變形形，求出微段兩兩端截面上的三三種相對位移(見圖(c))：相對軸向位位移dλ=εds；相對對剪切位移dηη=γ0ds；相對轉(zhuǎn)角角dθ=κds。然后將微段變形形加以集中化，即ds趨向于零零，但三種相對對位移仍存在。。最后運用虛功功原理，根據(jù)截截面B的相對位位移，對前述的的三種位移中的的ε、γ0、κ分別運用材材料力學(xué)的有關(guān)關(guān)知識，同時考考慮剪應(yīng)力沿截截面的非均勻分分布而引入的修修正系數(shù)μ，并并對該懸臂結(jié)構(gòu)構(gòu)全梁長采用疊疊加原理，就可可求出C點的位位移Δ表達(dá)式如如下：上式中，、、、 分別別是虛設(shè)單位荷荷載在結(jié)構(gòu)上引引起的彎矩、剪剪力、軸力；、、分分別是荷載P在結(jié)構(gòu)上引起起的彎矩、剪力力、軸力。(14-2)(14-2)所所表示的求解位位移的方法稱為為單位荷載法。。該法不僅適用用于靜定結(jié)構(gòu)，，而且也適用于于超靜定結(jié)構(gòu)；；并適用于線彈彈性材料和非線線彈性材料結(jié)構(gòu)構(gòu)。應(yīng)用該方法法一次只能求解解一個位移，當(dāng)當(dāng)計算結(jié)果為正正時，表明所求求位移Δ的實際際指向與虛設(shè)的的單位荷載的指指向相同；若計計算結(jié)果為負(fù)時時，表明實際位位移方向與所設(shè)設(shè)單位力相反。。運用式(14-2)來求解結(jié)結(jié)構(gòu)的位移時，，需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)進(jìn)行分段并按照照不同的積分項項來進(jìn)行積分運運算，這樣的計計算比較麻煩，，下面將介紹一一種圖乘法來代代替上述的積分分運算，從而可可以達(dá)到簡化計計算工作的目的的。彎曲桿件包包括彎曲、剪切切、軸向變形，，為敘述的方便便且不過于繁瑣瑣，僅以(14-2)式中第第一項彎矩部分分為代表進(jìn)行敘敘述，其它兩項項類同。運用圖乘法時結(jié)結(jié)構(gòu)的各桿段符符合下列條件：桿段的彎曲剛度度EI為常數(shù)：桿段的軸線為直直線：和兩兩個彎矩圖中中至少有一個為為直線圖形。對如圖14-6所示的一等截面面直桿段AB上的兩個彎矩圖圖，其中圖圖形為直直線圖形，圖圖為任意形形狀的圖形，選選直線圖的的基線(平行桿軸)為坐標(biāo)軸x軸，它與圖圖的直線線的延長線的交交點O為原點，建立xoy坐標(biāo)系如圖所示示。圖14-6由于AB桿段為為直桿且圖為直線變化，，故ds可以用dx代替替，EI為常數(shù)數(shù)可以提到積分分號外面。則積積分式可簡化為為式中，表表示圖圖中畫畫有陰影線的微微分面積。而表示該微分面積積對y軸的靜矩矩，則積分式表表示AB桿段段上所有微分面面積對y軸的靜靜矩之和，即為為整個圖圖總面積對y軸的靜矩。根據(jù)合力矩定理理，它應(yīng)等于圖圖面積乘乘以其形心心C到y(tǒng)的距離離xc，即：(14-3)由直線圖可知，，有(14-4)yC是圖的形心C處對對應(yīng)于圖中中的縱距。把它代代入式(14-3)，有：(14-5)彎矩圖上的縱距，，再除以。。這就是所所謂的圖形互乘法法，簡稱為圖乘法法。若結(jié)構(gòu)所有各桿件件都符合圖乘條件件，則對式(14-5)求和既得得計算結(jié)構(gòu)位移的的圖乘法公式：(14-6)根據(jù)推導(dǎo)圖乘法計計算位移公式的過過程，可見在使用用圖乘法時應(yīng)注意意如下幾點：結(jié)構(gòu)的各桿段必須須符合前面所述的的三個條件；縱距的值值必須從直線圖形形上選取，且與另另一圖形面積形心心相對應(yīng)；圖乘法的正負(fù)號規(guī)規(guī)定是：面積和和縱距若若在桿件件的同一側(cè)，其乘乘積去正號，否則則取負(fù)號。圖14-7給出了了位移計算中幾種種常見圖形的面積積和形心的位置。。在應(yīng)用拋物線圖圖形的公式時，必必須注意在頂點處處的切線應(yīng)與基線線平行。圖14-7下面就圖乘法在應(yīng)應(yīng)用中所遇到的計計算問題說明如下下：如果和兩個彎矩圖均為直直線圖形(圖14-8)，可取其中任一個圖圖形作為面積，乘上其形心所對應(yīng)應(yīng)的另一直線圖形形上的縱距，，所得計計算結(jié)果不變，即即圖14-8圖14-9如果一個圖形是曲曲線，另一個圖形形是由若干個直線線段組成的折線圖圖形(圖14-9)，則應(yīng)按折線分段段進(jìn)行圖乘。(14-7)3.如果兩個圖形都是是在同一邊的梯形形(圖14-10)，不必求出梯形的的形心位置或面積積，而是將圖圖的梯形分解為為兩個三角形(或一個矩形和一個個三角形)，分別與另一個梯梯形對應(yīng)相乘后再再進(jìn)行疊加，即圖14-10圖14-11上式中，，，，，，又如圖14-11所示的兩個反梯梯形的直線圖形，，仍可以用梯形分分解法，將圖圖分解為位于基基線兩側(cè)的兩個三三角形，其面積分分別為、、，，它們所對應(yīng)的圖形形縱距分別為、、。則有上式中，，，，，，，(14-8)(14-9)4.如果遇到均布荷載載q作用下某段桿桿段較復(fù)雜的圖圖(圖14-12)，可根據(jù)據(jù)彎矩圖疊加原理理將其分解為一個個梯形和一個標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)二次拋物線圖形形的疊加。再分別別與圖相乘乘，取其代數(shù)和，，就能較方便的求求出計算結(jié)果。圖14-12應(yīng)當(dāng)指出，所謂彎彎矩圖的疊加，是是指其縱距的疊加加，而不是原圖形形的簡單拼合。理理解上述道理，對對于分解復(fù)雜的彎彎矩圖是非常有用用的。14.1.1用圖圖乘法計算梁的位位移對于梁而言，它受受彎變形時產(chǎn)生的的位移，遠(yuǎn)大于因因剪力和軸力產(chǎn)生生的位移。故計算算梁的位移時，我我們只考慮由彎矩矩產(chǎn)生的位移。下下面將通過幾個算算例對圖乘法的使使用予以說明?！纠?4-1】試用圖乘法求圖14-13所示懸懸臂梁端點B和中中點C的豎向位移移和截面B的轉(zhuǎn)角，在在圖中桿截面的為為常數(shù)。解：1、在B、C點點施加豎向單位荷荷載=1和和=1求求B、C點的豎向向位移、，在B點施加單位力力偶=1求求B點的轉(zhuǎn)角。。2.分別作出梁梁在實際荷載作用用下的圖圖、虛單位力和虛虛單位力偶作用下下的圖、、圖圖和圖如如圖14-10所所示3.計算B端的豎豎向位移圖14-13取圖中的圖圖作為面積，，再從圖圖中取形心對應(yīng)的的縱距。。應(yīng)用圖乘法便便得由于、、圖都在基基線同一邊取正值值，即位移向下。4.計算C端的豎豎向位移取圖中的作為面積，再從圖中中取形心對對應(yīng)的縱距。應(yīng)用圖乘法便得得5.計算B端截面面的轉(zhuǎn)角仍取圖中的圖圖為面積積又從圖中中取形心對應(yīng)的的縱距()由于、、圖形均在在基線同一邊取正正值，故轉(zhuǎn)角順順時針轉(zhuǎn)動。?！纠?4-2】試試用圖乘法求圖14-14所示簡簡支梁在均布荷載載q和跨中集中荷荷載P作用下中點點C的豎向位移和和截面B的轉(zhuǎn)角,在圖中桿截面面的為常常數(shù)。圖14-14解：1、分別作出簡簡支梁在均布荷載載q和跨中集中荷荷載P作用下的Mp1圖和Mp2圖(如圖14-14(b)、(c)所示)2、分別在中點C、端點B施加單單位豎向荷載和單單位力偶矩并做出出相應(yīng)的圖圖、圖(如圖圖14-14(d)、(e)所示示)3、求C點的豎向向位移。分別別取Mp1、Mp2作為面積并取圖圖中形心對應(yīng)應(yīng)的縱距進(jìn)行圖乘乘，得4、求B點的轉(zhuǎn)角角。同理，分分別用Mp1、Mp2作為面積并取圖圖中形心對應(yīng)應(yīng)的縱距進(jìn)行圖乘乘，得計算結(jié)果為負(fù)值，，表明B點的實際際轉(zhuǎn)角和虛設(shè)單位位荷載的轉(zhuǎn)角相反反?！纠?4-3】試試用圖乘法求圖14-15(a)所示靜定多跨梁梁在邊跨跨中集中中荷載P作用下點點D的豎向位移，，在圖中桿截面面的為常數(shù)數(shù)。()圖14-15解：1、分別作出集集中荷載P和虛設(shè)設(shè)豎向單位荷載作作用下的Mp圖和圖2、取Mp為面積并取中中形心對應(yīng)的縱縱距進(jìn)行圖乘，得得14.2.2用用圖乘法計算剛架架的位移對于剛架而言，彎彎矩是使剛架產(chǎn)生生變形的主要內(nèi)力力，計算位移時可可忽略剪力和軸力力的影響。從而計計算剛架的位移時時，可只考慮對彎彎矩進(jìn)行圖乘。下下面將通過兩個算算例對圖乘法計算算剛架的位移來進(jìn)進(jìn)行說明?！纠?4-4】試試用圖乘法求圖14-15(a)所示靜定剛架在在水平集中荷載P作用下點B的水水平位移，，在圖中桿截面面的為常常數(shù)。圖14-15解：1、分別作出剛剛架在水平荷載P和虛設(shè)水平單位位荷載作用下的Mp圖和圖2、根據(jù)圖乘法各各桿分別圖乘然后后疊加，得計算結(jié)果為負(fù)值，，表明B點的實際際位移與假設(shè)單位位荷載指向相反，，即位移向右。例14-5試用用圖乘法求圖14-16所示靜定定剛架在豎向均布布荷載作用下點C、D兩點的相對對位移(廣廣義位移)，在圖圖中桿截面的為為常數(shù)。圖14-16解：繪出Mp圖如圖14-16(b)所示，沿沿C、D點連線上上加一對大小相等等，方向相反的單單位荷載，并作出出剛架的圖圖如圖14-16(c)所示。由由圖乘法可計算結(jié)果為正值，，表明假設(shè)方向與與實際方向一致，，即C、D兩點相相互靠攏?！?4.3由支支座移動引起的靜靜定桿系結(jié)構(gòu)位移移的計算設(shè)如圖14-14所示的靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)，其支座發(fā)生了了水平位移C1，豎向位移C2和轉(zhuǎn)角C3，現(xiàn)要求由此引引起的任一點沿任任一方向的位移，，例如K點的豎向向位移。圖14-14對于靜定結(jié)構(gòu)，支支座發(fā)生位移并不不引起內(nèi)力，因而而材料不會發(fā)生變變形，故此時結(jié)構(gòu)構(gòu)的位移屬于剛體體位移，通常不難難由幾何關(guān)系求得得，但是這里仍用用虛功原理來計算算這種位移。此時時，位移的計算一一般公式為：這就是靜定結(jié)構(gòu)在在支座移動時的位位移計算公式。式式中為為虛擬狀態(tài)的支座座反力，為為反力虛虛功，當(dāng)與與實際支座位位移方向一一致時其乘積為正正，相反為負(fù)。此此外，上式前面還還有一負(fù)號，系原原來移項時所得，，不可漏掉。(14-10)【例14-5】圖圖14-19所示示一靜定剛架，若若支座A發(fā)生如圖圖所示的移動，試試求C點的水平位位移和豎向位移。。其中c1=5mm，c2=20mm。圖14-19解：在C點上分別加加上一水平單位力力和豎向單位力，，求出其支座反力力，如圖所示，由由公式得到C點的的水平位移和豎向向位移為*14.4彈性性體系的互等定理理本節(jié)簡要介紹線彈彈性體系的四個互互等定理，其中最最常用的是功的互互等定理，其它三三個互等定理都可可以由此推導(dǎo)出來來。這些定理在以以后的章節(jié)中是經(jīng)經(jīng)常用到的。1、功的互等定理理如圖14-20所所示的一簡支梁分分別承受兩組外力力P1和P2，我們稱之為兩種種狀態(tài)，其中為第第一種狀態(tài)，圖為為第二種狀態(tài)。在在力P1作用下位置2處產(chǎn)產(chǎn)生的位移為21，在力P2作用下位置1處產(chǎn)產(chǎn)生的位移為12，則根據(jù)虛功原理理有外力P1和12的乘積等于外力P2和21的乘積，圖14-20即：P1×12=P2×式(14-8)表表明：第一狀態(tài)的的外力在第二狀態(tài)態(tài)的位移上所做的的虛功，等于第二二狀態(tài)的外力在第第一狀態(tài)的位移上上所做的虛功。這這就是功的互等定定理。2、位移互等定理理功的互等定理是最最基本的。根據(jù)該該定理，假設(shè)兩個個狀態(tài)的荷載都是是單位力，即P1=1、P2=1，則由功的互互等定理即式(14-8)有21(14-11)1×=1×即=此處的12、21都是由于單位力所所引起的位移，為為了明顯起見，改改用小寫字母和和表示示，于是將上式寫寫成=這就是位移互等定定理。它表明：第第二個單位力所引引起的第一個單位位力作用點沿其方方向的位移，等于于第一個單位力所所引起的第二個單單位力作用點沿其其方向的位移。12211221(14-12)需要指出的是，這這里的力可也是集集中力，也可以是是力偶，即可以是是廣義單位力。位位移也可以包括角角位移，即是相應(yīng)應(yīng)的廣義位移。3、反力互等定理理這個定理也是功的的互等定理的一個個特殊情況。它用用來說明在超靜定定結(jié)構(gòu)中假設(shè)兩個個支座分別產(chǎn)生單單位位移時，兩個個狀態(tài)中反力的互互等關(guān)系。圖14-21(a)表表示支座1發(fā)生單單位位移圖14-21=1時的狀態(tài)，此此時使支座2產(chǎn)生生的反力為，，圖14-12(b)表示支座座2發(fā)生單位位移移=1時的狀狀態(tài)，此時使支座座1產(chǎn)生的反力為為。rij稱為反力影響系數(shù)數(shù)。根據(jù)功的互等等定理，有而==1故得=這就是反力互等定定理。它表明：支支座1發(fā)生單位位位移所引起的支座座2的反力，等于于支座2發(fā)生單位位位移所引起的支支座1的反力。(14-13)這一定理對結(jié)構(gòu)上上任何兩個支座都都適用，但應(yīng)注意意反力和位移在做做功的關(guān)系上應(yīng)相相對應(yīng)，即力對應(yīng)應(yīng)線位移，力偶對對應(yīng)角位移4、反力位移互等等定理這個定理是功的互互等定理的又一特特殊情況，它說明明一個狀態(tài)中的反反力和另一個狀態(tài)態(tài)中的位移具有互互等的關(guān)系。圖中中表示單位荷載F2=1作用時，，支座1的反力偶偶為，其方向設(shè)圖14-22如圖所示。圖表示示支座1順的的方向發(fā)生單位位轉(zhuǎn)角=1時，作用點點沿其方向的位移移為。對這這兩個狀態(tài)應(yīng)用功功的互等定理，就就有現(xiàn)在=1，，F(xiàn)2=1，故有這就是反力位移互互等定理。它表明明：單位力所引起起的結(jié)構(gòu)某支座反反力，等于該支座座發(fā)生單位位移時時所引起的單位力力作用點沿其方向向的位移，但符號號相反。(14-14)小結(jié)本章主要介紹了梁梁和剛架兩種靜定定桿系結(jié)構(gòu)的位移移計算和彈性體系系的互等定理，并并著重介紹了利用用圖乘法計算梁和和剛架的位移的適適用條件及有關(guān)步步驟。靜定桿系結(jié)構(gòu)的位位移計算是以虛功功原理為基礎(chǔ)，利利用虛設(shè)單位荷載載來求解結(jié)構(gòu)的位位移。鑒于單位荷荷載法要進(jìn)行積分分計算，為避免計計算過程的復(fù)雜，，在一定的條件下下，可利用圖乘法法來進(jìn)行求解。圖乘法的適用條件件是：桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)：桿段的軸線為直線線：和兩兩個彎矩圖中至少少有一個為直線圖圖形。圖乘法的求解步驟驟