工程力學(xué)彎曲強剪力圖與彎矩圖

工程力學(xué)彎曲強度剪力圖與彎矩圖當(dāng)前1頁，總共45頁。

桿件承受橫向力或面內(nèi)力偶作用時，其軸線將彎曲成曲線，這種變形形式稱為彎曲。主要承受彎曲的桿件稱為梁。

梁的橫截面上將產(chǎn)生剪力和彎矩兩種內(nèi)力。

梁橫截面上應(yīng)力非均勻分布，強度失效最先從應(yīng)力最大點處發(fā)生。其強度計算不僅要考慮內(nèi)力最大的“危險截面”，而且要考慮應(yīng)力最大的“危險點”

絕大多數(shù)細長梁的失效，主要與正應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)力的影響是次要的。

建立剪力方程和彎矩方程；繪制剪力圖與彎矩圖，推導(dǎo)彎曲應(yīng)力和變形公式；建立彎曲強度和剛度設(shè)計方法。

當(dāng)前2頁，總共45頁。工程中可以看作梁的桿件是很多的:橋式吊車的大梁可以簡化為兩端鉸支的簡支梁直立式反應(yīng)塔可以簡化為一懸臂梁火車輪軸可以簡化為兩端外伸梁當(dāng)前3頁，總共45頁。彎曲梁的內(nèi)力當(dāng)前4頁，總共45頁。

彎曲變形的內(nèi)力１１請思考：彎曲變形有幾個內(nèi)力參數(shù)？QQ’1、求支反力2、1-1面上的內(nèi)力★

自左向右計算★自右向左計算又如何？截面法，平衡分析；剛體平衡概念的擴展和延伸：總體平衡，則其任何局部也必然是平衡的。

彎曲變形有兩個內(nèi)力參數(shù)：

剪力Q和彎矩M

當(dāng)前5頁，總共45頁。剪力符號規(guī)定：彎矩符號規(guī)定：左上右下為正下側(cè)受拉(上凹下凸、左順右逆)為正或使該段梁順時針轉(zhuǎn)動為正MMMMQQQQ

彎曲變形的內(nèi)力

左和右指什么，上和下又指什么？左右、上下的兩種解釋

左和右指什么，順和逆又指什么？左右、順逆的兩種解釋當(dāng)前6頁，總共45頁。

根據(jù)支座對梁在載荷平面內(nèi)的約束情況，一般可以簡化為三種基本形式：1、固定鉸支座2.可動鉸支座3.固定端支座

支座的分類1、簡支梁2、外伸梁3、懸臂梁

梁的類型當(dāng)前7頁，總共45頁。指定橫截面上彎矩和剪力的確定

當(dāng)前8頁，總共45頁。FPll例題ABCD

一端固定另一端自由的梁，稱為懸臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO的作用。MO=2FPl

試確定:截面C及截面D上的剪力和彎矩。C、D截面與加力點無限接近?！镉眉傧霗M截面從指定橫截面處將梁一分為二?？疾炱渲腥我庖徊糠值氖芰?，由平衡條件，即可得到該截面上的剪力和彎矩。

當(dāng)前9頁，總共45頁。FPFPllABCDMO=2FPl

解：1、應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程確定固定端的約束力。2、應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量

用假想截面將梁C截面處截開，以左邊部分為平衡對象

橫截面上沒有軸力和扭矩，只有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量MA＝0AClFPMA＝0當(dāng)前10頁，總共45頁。FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl2.應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量CAFPlMA＝0

假設(shè)截開橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開的局部平衡建立平衡方程：結(jié)果均為正值表明所假設(shè)的C截面上的剪力和彎矩的正方向是正確的。當(dāng)前11頁，總共45頁。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl3、應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量

假設(shè)截開橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開的局部平衡建立平衡方程：MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD

本例中所選擇的研究對象都是C、D截面以左部分梁，如果以C、D截面以右部分梁作為平衡對象，會如何？當(dāng)前12頁，總共45頁。求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。例題BAɑɑɑɑP=qɑ11223344q當(dāng)前13頁，總共45頁。BAP=qɑQ3M3AP=qɑQ2M2M1Q1ARAQ4M4qRBQ1RqaA54==Q2RqaqaA4=-=Q3=Q4qaRqaB34=-=-BAɑɑɑɑP=qɑq12123344RBRA將Q2與Q1相比，觀察剪力的跳躍問題RARA通過上述計算可以看出，截面上的內(nèi)力與該截面一側(cè)桿上的外力相平衡，因而可以直接通過一側(cè)桿段上的外力直接求得截面上的內(nèi)力.當(dāng)前14頁，總共45頁。★可以直接通過截面一側(cè)桿段上的橫向力的代數(shù)和直接求得截面上的剪力，通過一側(cè)桿段上橫向力對截面的力矩以及力偶之代數(shù)和求得截面上的彎矩★

必須注意求代數(shù)和時各項的正負號求剪力時的橫向力為“左上右下為正，左下右上為負”求彎矩時的橫向力對截面形心的力矩以及一側(cè)桿段上的力偶為“左順右逆為正，左逆右順為負”注意上述規(guī)定均基于x軸正向位于右手側(cè)，若相反則規(guī)定相反當(dāng)前15頁，總共45頁。l:力的作用線至所求截面的距離MQMQmmQ=-??Q=-??軸向集中力作用面兩側(cè)軸力分量會跳躍；集中扭矩作用面兩側(cè)扭矩內(nèi)力分量會跳躍；橫向集中力作用面兩側(cè)剪力發(fā)生跳躍；那么什么力作用面兩側(cè)彎矩會發(fā)生跳躍？當(dāng)前16頁，總共45頁。11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8KNq=12KN/mAB例題求圖示簡支梁1-1、2-2截面的剪力和彎矩。RA

RB

RA=15kNRB

=29kN根據(jù)1-1截面左側(cè)的外力計算Q1

、

M1

Q1=+RA－P=15－8=7kN

M1=+RA·2－P·(2－1.5)=15·2－8·0.5=26kN·m解：若根據(jù)1-1截面右側(cè)的外力計算Q1

、

M1Q1=+(q·3)－RB

=12·3－29=7kNM1=-(q·3)·2.5+RB·4=－(12·3)·2.5+29·4=26kN·m當(dāng)前17頁，總共45頁。RA=15kNRB=29kN根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計算Q2

、

M2Q2=+(q·1.5)－RB

=12·1.5－29=－11kNM2=－(q·1.5)·1.5/2+RB·1.5=－(12·1.5)·1.5/2+29·1.5=30kN·m根據(jù)2-2截面左側(cè)外力計算Q2、M2,請自己完成!11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8KNq=12KN/mABRA

RB

當(dāng)前18頁，總共45頁。梁的內(nèi)力方程內(nèi)力圖當(dāng)前19頁，總共45頁。

建立剪力方程和彎矩方程的方法與過程，實際上與前面所介紹的確定指定橫截面上的剪力和彎矩的方法和過程是相似的，所不同的，現(xiàn)在的指定橫截面是坐標(biāo)為x的橫截面。

需要特別注意的是，在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而Q(x)和M(x)則是x的函數(shù)。當(dāng)前20頁，總共45頁。例題

懸臂梁在B、C兩處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全長為2l。試求梁的剪力和彎矩方程。FPllABCMO=2FPl

解：

由載荷分布可知需要分為AC和CB兩段分析。

Oyx

以梁的左端A為坐標(biāo)原點，建立Oxy坐標(biāo)系。

x1x2

在AC和CB兩段分別以坐標(biāo)為x1和x2的橫截面將梁截開，然后考察截開的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。當(dāng)前21頁，總共45頁。FQ(x)M(x)

對于AC段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開后，考察右邊部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB

根據(jù)平衡方程

x1得到AC段的剪力方程與彎矩方程：

當(dāng)前22頁，總共45頁。FQ(x2)M(x2)得到CB段的剪力方程與彎矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B

對于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開后，考察右邊部分的平衡。

根據(jù)平衡方程

x2

上述結(jié)果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；彎矩方程不同，但都是x的線性函數(shù)。注意：C截面兩側(cè)彎矩的跳躍情況！！

當(dāng)前23頁，總共45頁。

如圖簡支梁，梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長度為2l。試求梁的剪力和彎矩方程。qllBAC例題根據(jù)平衡條件不難求得：

FRBFRAOyx建立Oxy坐標(biāo)系如圖。此梁不需分段分析。xFRAFQ(x)M(x)

以A、B之間坐標(biāo)為x的任意截面為假想截面，將梁截開，取左段為研究對象。x當(dāng)前24頁，總共45頁。xFRAFQ(x)M(x)xOyxllBACqFRBFRA由左段梁的平衡條件得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為

這一結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的線性函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。當(dāng)前25頁，總共45頁。例題⊕⊕QQ(xRqxqlqxA)=-=-2當(dāng)前26頁，總共45頁。例題Q(xRPblA)==Q(xRPalB)=-=-⊕⊕Q當(dāng)前27頁，總共45頁。例題QMABMabC注意：集中力偶M作用點C處彎矩的跳躍⊕⊕)()()()()(:22xLLMxLRxMLMRxQlxaCBBB--=--===￡￡當(dāng)前28頁，總共45頁。例題PBALx簡支梁受移動荷載P作用，試求梁的最大彎矩為極大時荷載P的位置。解：荷載P移至x截面處，Mmax(x)=P·x·(L-x)/L位置：x截面令

dMc

dx=0x=L/2時，Mmax=P·L/4跨中為最不利位置當(dāng)前29頁，總共45頁。例題作圖示平面剛架的內(nèi)力圖.BCA20kN10kN3m2m解：xBC段FN=0Q

=10kNM=-10·xkN·m(0≤x≤2)BA段xFN=-10kNQ=20kNM=-20-20·xkN·m(0≤x﹤3)一般將豎直桿的下端看作左端10kN軸力圖剪力圖10kN⊕⊕20kN彎矩圖20kN·m20kN·m80kN·m軸力正值畫在外側(cè)，負值畫在內(nèi)側(cè)。剪力正值畫在外側(cè)，負值畫在內(nèi)側(cè)。彎矩正值畫在受壓側(cè)。當(dāng)前30頁，總共45頁。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

當(dāng)前31頁，總共45頁。dxxFQFQ+dFQMM+dMq(x)考察dx微段的受力與平衡★剪力、彎矩與載荷集度之間微分關(guān)系的證明

OxydxΣFy=0:ΣMC=0:C略去高階項，得到當(dāng)前32頁，總共45頁。1、梁上無分布荷載作用：q(x)=0剪力圖斜率為零，為平行于x軸的直線QC>0C<0彎矩圖斜率為常量C，為斜直線MC>0C<02、梁上作用有均布荷載:

q(x)=C由：)())()常量CxQ(xqdxxdQ(=?=由：DCxxMCxQ(xxM+=?==)()d)(d由：DCxxQ(CxqdxxdQ(+=?==))()

根據(jù)上述微分方程，由載荷變化規(guī)律，即可推知內(nèi)力Q、M的變化規(guī)律。當(dāng)前33頁，總共45頁。剪力圖為斜率為C的斜直線（彎矩圖為二次拋物線）頂點（極值點）：>0有極小值<0有極大值注意坐標(biāo)方向不同，曲線開口方向不同Qq﹤0q﹥0q﹤0q﹥0M由：EDxCxxMDCxxQ(xxM++=?+==221)()d)(d求出令0)d)(d==xQ(xxM

實際上，除了在剪力為0的截面上存在彎矩的極值外，在集中力偶和橫向集中力作用截面處，也有可能獲得彎矩的極值。為何？另外，除非有橫向集中力作用，否則桿件端截面處的剪力一定為零另外，除非有集中力偶作用，否則桿件端截面處的彎矩一定為零當(dāng)前34頁，總共45頁?！锔鞣N形式荷載作用下的剪力、彎矩圖CC尖角突變PC無變化突變mQ﹥0Q﹥0Q﹤0Q﹤0q﹤0q﹤0q﹥0q﹥0當(dāng)前35頁，總共45頁。剪力圖與彎矩圖的繪制方法

根據(jù)載荷及約束力情況對桿件分段，且確定關(guān)鍵面。

應(yīng)用截面法確定關(guān)鍵面上的剪力和彎矩數(shù)值（假定剪力和彎矩都為正方向）。

建立Q－x和M－x坐標(biāo)系，并將關(guān)鍵面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段關(guān)鍵面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。

當(dāng)前36頁，總共45頁。FA簡支梁受力的大小和方向如圖所示。試畫出：其剪力圖和彎矩圖，并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。例題1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRF求得A、B

兩處的約束力FRA＝0.89kN,FRF＝1.11kN

根據(jù)力矩平衡方程當(dāng)前37頁，總共45頁。

因為梁上無分布載荷作用，所以剪力Q圖形均為平行于x軸的直線。xQ/kNOxM/kN.mO確定關(guān)鍵面兩側(cè)的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在坐標(biāo)系中。1.11f0.89dd,e

1.665f0b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA

彎矩M圖形均為斜直線。順序連接Q－x和M－x坐標(biāo)系中各點，得到剪力圖與彎矩圖。c0.335建立Q-x和M-x坐標(biāo)系。

(發(fā)生在EF段)

(發(fā)生在D、E截面上)

始終要注意剪力、彎矩的跳躍問題！！當(dāng)前38頁，總共45頁。例題qBADa4aqaFAyFBy

外伸梁的受力以及各部分尺寸如圖所示。試畫出其剪力圖和彎矩圖，并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。根據(jù)梁的整體平衡，由求得：當(dāng)前39頁，總共45頁。qBADa4aqaFAyFByCOxQOxM

建立Q－x和M－x坐標(biāo)系。

9qa/4a7qa/4b