彎曲靜不定問題和彈塑性問題簡介

9.5彎曲靜不定問題和彈塑性問題簡介求解變形體靜力學(xué)問題的基本方程:力的平衡方程、材料的物理方程和變形幾何方程。變形體靜力學(xué)問題研究對象受力圖平衡方程求反力？靜不定物理方程幾何方程靜定求內(nèi)力應(yīng)力求變形物理求位移幾何聯(lián)立求解反力、內(nèi)力、應(yīng)力變形、位移等靜不定問題有多余的變形約束彈塑性問題物理方程不同拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲問題的基本方法相同；不同的只是應(yīng)力與變形的具體表達(dá)和計算。11）列平衡方程：SFy=FA+FB=ql---(1)SMA(F)=FBl-ql2/2-MA=0---(2)二個方程，三個未知約束力，一次靜不定問題。例9.17求梁AB的最大撓度。qABlxyFAFBMA解：梁受力如圖。2）變形幾何條件：A端固定：yA=0，qA=0；B端鉸支：yB=03）物理方程：用s=Ee，研究彈性小變形問題。有撓曲線近似微分方程：EIzy=M(x)---(3)24）聯(lián)立求解。與拉、扭不同的是變形需積分獲得。彎矩方程為：

M(x)=MA+FAx-qx2/2qABlxyFAFBMA代入(3)式，積分后得到：轉(zhuǎn)角方程：EIzq=MAx+FAx2/2-qx3/6+C1撓度方程：EIzy=MAx2/2+FAx3/6-qx4/24+C1+C2利用變形幾何條件（邊界條件），有：

x=0時，q=0，C1=0；x=0時，y=0，

C2=0

x=l時，y=0，

MAl2/2+FAl3/6-ql4/24=0--(4)34）聯(lián)立求解：平衡方程：SFy=FA+FB=ql---(1)SMA(F)=FBl-ql2/2-MA=0---(2)幾何方程：MA+FAl/3-ql2/12=0--(4)解得：FA=5ql/8；FB=3ql/8；MA=-ql2/8；代回轉(zhuǎn)角、撓度方程，有：轉(zhuǎn)角方程：EIzq=-ql2x/8+5qlx2/16-qx3/6撓度方程:EIzy=-ql2x2/16+5qlx3/48-qx4/24令轉(zhuǎn)角為零，有：6l-15lx+8x2=0解得x=0.444l（另一根不合理，舍去）45）求最大撓度：撓度方程:EIzy=-ql2x2/16+5qlx3/48-qx4/24轉(zhuǎn)角為零處，x=0.444l將x=0.444l代入撓度方程，得到最大撓度為：ymax=0.0048ql4/EIz（向下）討論qABlxylAqxBy例9.14y

max=0.125ql4/EIzy

max=0.0048ql4/EIzM

max=9ql2/128M

max=ql2/25例9.18梁AB為彈性理想塑性材料，屈服應(yīng)力sys，求其屈服載荷Fs和可以承受的極限載荷FU。解：1)畫受力圖，求支反力。

2)畫FQ、M圖。FA=F/4；FB=3F/4C處：M

max=3FL/16smax=M

max/Wz=3FL/16Wz

3)求屈服載荷Fs。開始進(jìn)入屈服時有：

smax=sys，F(xiàn)=FSxyBAFL3L/4CFAFBFQF/43F/43FL/16M屈服彎矩:Ms=Wzsys屈服載荷:FS=16Wzsys/3L6yMxsmax<sys(a)M<Ms彈性狀態(tài)xsmax=sys(b)M=Ms進(jìn)入屈服My(c)Ms<M<Mu

彈塑性狀態(tài)xsmax=sysyMxsmax=sys(d)M=Mu

塑性鉸yM4)求極限載荷FU。

FS<F<FU，在理想塑性情況下，F(xiàn)繼續(xù)增加，已屈服材料處應(yīng)力不會增大，相鄰的彈性材料則陸續(xù)進(jìn)入屈服。整個截面進(jìn)入屈服，F(xiàn)=FU。smax=M/WzMS=sysWzMU=?74)求極限載荷FU。力的平衡：MU=òysdAysA對于矩形截面，有：xsmax=sysyMUysysbdyybh4/220ys2/hysUbhbdyyMss==ò由彎矩M=3FL/16，給出對應(yīng)的極限載荷為：

FU=16MU/3L=4sysbh2/3L對于矩形截面，屈服彎矩、屈服載荷則為：MS=sysWz=bh2sys/6FS=16MS/3L=8bh2sys/9MU/MS=FU/FS=3/2即MU比MS大50%。8矩形截面梁ABC，彈性模量為E，屈服強(qiáng)度為sys。1）求各處反力。2）求FS和極限載荷FU。問題討論：FBAClll/2平衡方程：SFy=FA+FB+FC=F---(1)SMA(F)=2FCl-3Fl/2+FBl=0---(2)變形幾何條件：yA=0，yB=0；yC=0物理方程：力與變形的關(guān)系，需用撓曲線近似微分方程求變形

：EIzy=M(x)---(3)FCFAFB9求yA、yB、yC？FBAClll/2FCFAFBFBAClll/2FByB=0xyCAabLF已知情況一：BACllFBF=-FBL=2l；a=b=l情況二：FBAClll/2F=F；L=2l；a=3l/2；b=l/2y=f(F，L，a，b)yB=f(FB)=0與平衡方程聯(lián)立求解FA、FB、FC10BACllFBF=-FB；L=2l；a=b=lxyCAabLF已知)(62221LbxLEIFbxyz-+=(0xa)x=l，求yByB211Fl396EIz=-yB1FBl36EIz=yB=yB1+yB2=0FB=11F/16FBAClll/2F=F；L=2l；a=3l/2；b=l/211FB=11F/16平衡方程：SMA(F)=2FCl-3Fl/2+FBl=0

FC=13F/32SFy=FA+FB+FC=FFA=-3F/32FBAClll/2FCFAFB3F/3219F/32xFQ13F/32Mx3Fl/3213Fl/64Mmax=13Fl/64MS=bh2sys/6FS=64MS/13l=32bh2sys/39MU=bh2sys/4；FU=64MU/13l=32bh2sys/26l12小結(jié)：1）平面彎曲：載載荷均作用在梁的的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，，變形后梁的軸線仍仍在該平面內(nèi)。（（討論直梁）2）梁的內(nèi)力有剪剪力、彎矩。作內(nèi)力圖基本方法法：求約束反力截取研究對象受力圖列平衡方程內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖必須掌握3）梁的平衡微分方程：

M等于左邊Q圖面積+集中力偶(正)。

FQ等于左邊分布載荷圖形面積+集中力(正)。134）梁橫截面上的的正應(yīng)力s呈線性分布，其大小為s=My/Iz正負(fù)由彎曲后的拉拉壓情況判斷。5）中性軸過截面面形心，該處正應(yīng)應(yīng)力s等于零。6）梁的彎曲強(qiáng)度條件：I為截面對z軸的慣性矩，W為抗彎截面模量。zz7）矩形截面梁的的彎曲剪應(yīng)力呈拋拋物線分布，最大大剪應(yīng)力在中性軸軸處且等于平均剪剪應(yīng)力的1.5倍倍。CMymax壓smax拉s148）梁的變形以撓撓度y與轉(zhuǎn)角表示。撓曲線近似微