北師大八年級上冊第一章勾股定理提高

勾股定理（提高）【學習目標】1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想；2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2．要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的．理解勾股定理的一些變式：a2c2b2，b2c2a2，c2ab22ab．要點二、勾股定理的證明圖（1）中，所以．圖（1）中，所以．圖（2）中，所以．，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．要點三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應用．【典型例題】類型一、與勾股定理有關(guān)的證明 1、在△ABC中，AB=AC1、在△ABC中，AB=AC，D是BC延長線上的點，求證：證明：作等腰三角形底邊上的高AE∵AB=AC，AE⊥BC∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°∴222222()()ADABAEDEAEBE2222AEDEAEBE22DEBE()()DEBEDEBEBDCDg∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，∴BD⊥AC（三線合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB與△FDC中，【總結(jié)升華】解決帶有平方關(guān)系的問題，關(guān)鍵是找出直角三角形，利用勾股定理進行轉(zhuǎn)化，若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理解題．類型二、與勾股定理有關(guān)的線段長2、如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長．【答案與解析】解：連接BD，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，則BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．【總結(jié)升華】此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關(guān)鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長．舉一反三：【變式】（2015春?天津校級期中）如圖，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，∴OP===14．∴OP===14．∵，【答案】解：∵PA⊥OA，∠C=30°，∴PC=2PA=4，∴BC=BP+PC=11+4=15，∵PB⊥OB，∠C=30°，設(shè)OB=x，則OC=2x，在Rt△BOC中，由勾股定理得：x2+152=（2x）2，解得，x=53，即OB=53，3類型三、與勾股定理有關(guān)的面積計算3、（2015?豐臺區(qū)二模）問題背景：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為，3， ，求這個三角形的面積．小軍同學在解答這道題時，先建立了一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需要求出△ABC的高，借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．請你直接寫出△ABC的面積；思維拓展：如果△MNP三邊的長分別為 ，2， ，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應的格點△MNP，并直接寫出△MNP的面積．【思路點撥】（1）根據(jù)圖形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根據(jù)面積公式求出即可；（2）先畫出符合的三角形，再根據(jù)圖形和面積公式求出即可．【答案與解析】=4×3=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC=4.5，故答案為：4.5；（2）如圖2的△MNP，S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP=7，即△MNP的面積是7．【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理和三角形的面積公式的應用，解此題的關(guān)鍵是能正確畫出格點三角形，難度不是很大．舉一反三：類型四、利用勾股定理解決實際問題=5×3﹣×5×=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1【變式】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是4、6、3、4，則最大正方形E的面積是（）A．17B．36C．77D．94【答案】C4、（2016?貴陽模擬）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，AB==24（米），BC′==15（米），如果梯子的頂端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【思路點撥】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的長，進而得出答案．【答案與解析】解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，答：這個梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA′=20米，則：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖①，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面半徑等于3cm，在圓柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如圖②所示，由題意可得：1AA12，AB2392在Rt△AA′B中，根據(jù)勾股定理得：AB2AA2AB212292225則AB＝15cm．所以需要爬行的最短路程是15cm．勾股定理（提高）【鞏固練習】一．選擇題1．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為（）A．10B．11C．12D．132.（2016?漳州）如圖，△ABC中，AB=AC=5,BC=8，D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有（）A．5個B．4個C．3個D．2個3．如圖，長方形AOBC中，AO=8，BD=3，若將矩形沿直線AD折疊，則頂點C恰好落在邊OB上E處，那么圖中陰影部分的面積為（）A.30B．32C．34D．164．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l，l， 1 2l上，且l，l之間的距離為2,l，l之間的距離為3,則AC2的值是（）3 1 2 2 3A．68B．20C．32D．475．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12,則△ABC的周長為（）A．42B．32C．42或32D．37或33A．2012BA．2012B．2013C．201212201312 2 2 2 2 D．二．填空題7．若一個直角三角形的兩邊長分別為12和5，則此三角形的第三邊的平方為______．8．將一根長為15cm的很細的木棒置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分長度x的范圍是．9．如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，這樣的點C共個．10．（2016?黃岡校級自助招生）如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊長為a，較長的直角邊長為b，那么（a+b）2的值是_________．11．已知長方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，過對角線BD的中點O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為_______________．12．（2015春?召陵區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四邊形ABCD的面積是．三．解答題13．（2015?青島模擬）如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，求運動過程中，點D到點O的最大距離．14．現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如左下圖,請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：在左下圖中用實線畫出分割線,并在右下圖的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形．15．由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲．近日，A城氣象局測得沙塵暴中心在A城的正西方向240km的B處，以每時12km的速度向北偏東60°方向移動，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域．A城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？若A城受這次沙塵暴影響，那么遭受影響的時間有多長？【答案與解析】一．選擇題【答案】C【解析】∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D為AB中點，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，BE2AB2AE2144,所以BE=12.【答案】C【解析】過點A作AE⊥BC,則由勾股定理得AE=3，點D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.所以3≤AD＜5，AD=3或4，共有3個符合條件的點.3．【答案】A【解析】由題意CD＝DE＝5，BE＝4，設(shè)OE＝x，AE＝AC＝x4，所以82x2x42，1x6，陰影部分面積為684330．24．【答案】A【解析】如圖，分別作CD⊥l交l于點E，作AF⊥l，則可證△AFB≌△BDC，則AF＝32 3＝BD,BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC中，勾股定理得AC282+22=68．5．【答案】C【解析】高在△ABC內(nèi)部，第三邊長為14；高在△ABC外部，第三邊長為4，故選C．6．【答案】C【解析】解：根據(jù)題意：第一個正方形的邊長為2；…7．【答案】169或119；【解析】沒有指明這兩邊為直角邊，所以要分類討論，12也可能是斜邊．第二個正方形的邊長為：；第三個正方形的邊長為：，第二個正方形的邊長為：；第三個正方形的邊長為：，第n個正方形的邊長是，所以S2015的值是（）2012，故選C.二．填空題【解析】由題意可知BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm．當木棒垂直于底面時露在杯子外面的部分長度最長為，15-AC=15-12=3cm，當木棒與AB重合時露在杯子外面的部分長度最短為15-AB=15-13=2cm.9．【答案】8；【解析】如圖所示：有8個點滿足要求．10．【答案】25；2ab=12，聯(lián)立解得：（a+b）2=13+12=25．711．【答案】cm；8【解析】連接BE，設(shè)AE＝x，BE＝DE＝4x，則32x24x2，x7．812．【答案】36.【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，=36．故答案是：36．【解析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理a2+b2=13，四個三角形的面積=4×ab=13【解析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理a2+b2=13，四個三角形的面積=4×ab=13﹣1，∴∴AC===5，∴S四邊形ABCD=AB?BC+AC?CD=×3×4+×5×12∴OE=AE=AB=1，DE===，∴OD的最大值為：+1．13．【解析】解：如圖，取AB的中點E，連接OE、