圓的方程習題

圓的方程 對應學生用書第174圓的定義與方程對應學生用書第174當2+24F0時,此方程表示的圖形是圓;當2+24F0時,此方程表示一個點(D;當2 22+24F0時,它不表示任何圖形.點與圓的位置關(guān)系圓的標準方程為(x-)2y-)2=2(r0),圓心C的坐標為,),半徑為,設(shè)M的坐標為(00).二元二次方程A2+Bxy+C2+Dx+Ey+F0A=C≠0,{B=0,D2+E2-4AF>0.(11),22)(x-1x-)(1)(2)0.【概念辨析】1(,”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半. ( )(2若點(0,0)在圓2++Dx+Ey+F0,?e2?f2+D00+F0. ( )0 0(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圓.( )(4(x-)(y-2=2(∈)(,),t個.( )(5已知點(11),22),以B是(x-1)x-2(1(2)0.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√( )【對接教材】2北師大版必修2P79練習改編)圓22xy0坐標是 ,.答案 (2,-3) √13解析 由得所以圓心坐標為(2,-3),半徑√13.3人教A版必修0例3改編)過點(1,1),(,且線x+y20上是 .答案 解析 (法一)設(shè)心C坐標為(,,為,因心C線上所以因2=|CB2,所(a1)2(-a1)2a1)22-a12,解得1,b2-a,所.所(x1)2y1)2.(法)因(1,1),(1,1),所線段B中垂線由 ?e+?f-2=0, ?e=1,{?f?e, 得{?f1,所坐標(1,1),r√(1121122.(x1)2y1)24.【易錯自糾】若方程圓,實數(shù)a的取值范圍是 .答案 (-2,3解析 方程22ay2+a10可化(?e+?)2(y+)2=2-a,圓,2 42-a10,2a4,2<a.4 3若坐標原點在(x-)2(y+)24的內(nèi),則實數(shù)m是 .答案 (-√2,√2)解析 原(0,0)在(x-)2)24部,0)20+)24,解得22.【真題演練】6(2020年北京卷)已知半徑為1經(jīng)過點(3,4),其心到距離最小為( ).4 5 6 答案 A解析 設(shè)圓心(,),√(?e-32+-421,簡(x3)2y4)2心C軌跡以(3,4為圓心,1為半徑的,對應學生用書第175【題組過關(guān)】min=|OM|132+4214對應學生用書第175【題組過關(guān)】1(2021北京市西城區(qū)模擬設(shè)(2,1),(4,1)則以線段AB直徑( ).x3)222 (x3)228x3)222(x3)228案 A析 為B中為(3,0),圓的半徑r|?4?5|√(42+122,2 2(x3)22.2(2021浙江省紹興市模擬)已知圓C與x軸的正半軸相切于點,圓心在直線y2x上,若點A在直線x-y40的左上方且到該直線的距離等于√2,則圓C的標準方程( ).x2)2y424 (x2)(y4)2x2)2y4)24 (x2)2y4)2答案 D析 圓C線y2x上,可設(shè)(,2Cx,∴a0C的半徑r2,).A402,∴d-|2,a6a√1+1(2,0)).AC(x2)2y)216.3(2021河南省鄭州市模)圓x2)2y24線80為( x3)(y2)24 (x4)(y624x4)2y6)24 (x6)2y424案 C析 圓:(x2)(y)24為(2,12),為2,設(shè)(2,12)關(guān)于直線:x-y0的對稱點為(x,y),?e'-2-?f'+12+8=

?e'=4,則{2 2

?f'=6.?f'-12=-1,?e'+2(4,6),C關(guān)于直線l(x4)2y6)4.點撥 求圓的方程的兩種方法幾何法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半,進而寫出方程①根據(jù)題意,選擇標準方程與一般方程;待定系數(shù)法

,,r或F;,,r或,與圓有關(guān)的軌跡問題【典例遷移】()t△與圓有關(guān)的軌跡問題【典例遷移】()t△C,(,(3,0)C的軌跡方程.析 (一)設(shè)(,,為,C線,以0.,,C,·又 ?f

,=?f,

?f?e+1

?e+1?e-322x3.因此直角頂點C的軌跡方程為2+22x30≠0).()設(shè)AB的中點為,由中點坐標公式得(1,0),2由圓的定義知,2C的軌跡是以(1,0),2(,,C,x).C(x1)224≠0.【變式設(shè)問】已知條件不變,BCM的軌跡方程.解析 設(shè)(,),(0,),因為(3,0),M是線段BC的中,得x?e03,y?0+,所以2 2x0=2x-3,y0=2y.1,C1)2+4(≠0x302y代入得2x42(2)4,即x2)22.點M為(x22+21(0).點撥 求與圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法直接法:,,,直接求解軌跡方程.定義法:,,寫出圓的方程.代入法:,,常找出要求的點與已知點的關(guān)系,.1:(x3)2(y4)24外一點(,),,QP到原點O的距離,則點P的軌跡方程為( ).8xy20 8xy26xy20 6xy210案 D與圓有關(guān)的最值問題【考向變換】析 得,心C為(3,4),半徑r2,如因,且C,所|PO2+22,以224(x32(y4)2,即6xy210,所以點P為6xy20與圓有關(guān)的最值問題【考向變換】已知實數(shù)已知實數(shù)?f的最大值和最小值分別為?e和.解析 原方程可化為解析 原方程可化為表示以(2,0)為圓心,√3為半徑的圓.?f的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,所以設(shè)?f=k,即y=kx.當?e ?e直線y=kx(如圖),斜率k,-|3,解得k=3?f3,最小√?X2+1 ?e值為-√3.點撥 形如的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.?e-?N【追蹤訓練2】已知實數(shù)滿足(,則的最大值和最小值分別為?e和 .答案 4+√73

4-√73析 由題意,得?f+1表示過點(01)和(x2)(y121動點(,)率且僅?e圓相切時,直線的斜率分別取得最大值和最小值.設(shè)切線方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,則|2?X-2|=1,解得k=4±√7,max7,n-7.

√?X2+1 33 3已知實數(shù)滿足方程已知實數(shù)滿足方程,則y-x的最大值和最小值分別為和.答案 解析 原方程可化為表示(2,0)為圓心,√3圓.y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距如圖所,當直線b時,縱截距b值,時0+?O|3,解得b=6,√2x26,26.點撥 形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.【追蹤訓練3】已知(,):22x1y40任,且(2,3).求的最大值和;求?f-3.?e+2析 (1)由圓:22x445可得C的坐標為(2,7),又√(2+227-3242,max42262,min42222.(2)由幾何意義可知?f-3MQk.?e+2MQkx-yk30.MQC有交點,?X7+2?X+3|≤22,√1+?X2得23≤≤23,∴?3的最大值23,最小值23.?e+2已知實數(shù)滿足方程已知實數(shù)滿足方程的最大值和最小值分別為和.答案 7-4√3解析 原方程可化為表示以(2,0)為圓心,√3圓表示圓上的一點與原點距離的平方由平面幾何知識知,在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離2,所以2+2的最大值是(23)273,22最小值是23)2743.撥 形如的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.【追蹤訓練4】若實數(shù)y滿足(x5)2y242,則2+2最小值( ).2 1 32答案 B解析 2+2表示圓上的,與(0,0)間距離的平,最小值為1452+1221.對應學生用書第176建立函數(shù)關(guān)系求最值在解決與圓有的對應學生用書第176建立函數(shù)關(guān)系求最值為.答案12,知2x,(2,),=2+24由于點(),故其坐標滿(2021)()2y3)21,定點(2,0),(,·足方程2(y3)1,故(y321,·(y3)21+24y22(y3)(2021)()2y3)21,定點(2,0),(,·根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求.【突破訓練】(2021銀川)(,):(x32+4,(0,2)(0,,則的.答案 10對應《精練案》第81頁,知(x,2(x2y(2,2)(,),(x3)22,2x324,√4?e2+4?f26?e-(x)2+24,1≤5,所以當x5,,6×5-10.對應《精練案》第81頁1(2021江西省上饒市模)已為222y100,則圓心的坐標( ).(-1,1) (-1-1)2 2(1,1) (1-1)2 2答案 B解析 根據(jù)題,圓的方程為其中則有則其圓心的坐標為2 22(-1,-1).22(2021天津市南開區(qū)模)程22220是( .(,2)(2,+).(2,+).(.(0,1]答案 D析 由22y+22得(?e-?X)2(y1)32.2 4若方程22y+220,320,得<k2.4,C,而(0,1]?(-2,2),D為充分不必要條件.3(2021北京市豐臺區(qū)模)圓x1)222線10為( ).2 21 22答案 B解析 圓的圓心坐標為(1,0),(1,0)x+y10d|1+0+1|2.√12+124(2021擬)圓222240線x稱則k為( )..11 .10答案 A解析 化圓222240為(2)(y1)2=441則圓心的坐標(-2,1).y=x對稱,x,1,k=.k1,44k10,∴k1.5(2021擬)知,Q線3x470線22x0上的動,則的最小值為( ).3 2 1 25答案 C解析 由整理其表示圓心為(1,0),半徑為1圓,所以圓心(1,0)到直線3x+4y+7=0的距離d=|3+7|√32+42

=2,,d-r1.已知圓C關(guān)于y軸對稱,(1,0)且被x軸分成兩,為12,圓C為( ).A.x±√3)2=4 B.x±√3)2=1223 3 3 322x3)2+243

(x3)2+13答案 A解析 由已知圓心在y軸上,被x軸所分劣弧的所對圓心角為2π,設(shè)圓心的坐標為(0,a),半徑為則3siπ1,π,=2,r,3,a=3,C的方程為x(?f±3)2.2 23 3 √3 3 3 3 3 3已知點(1,0),(0,2)P是(x1)221點,則△B為( ).2,25 25,252 2 25,4551512 2答案 B解析 由題意√(-12+-225,:2x-y2由題意知圓心的坐標為(1,0),半徑為1.Bd0+2|=45.√4+1 √5 5所以B5(5+1(5)25,2 5 2 2B的最小值為5(45-1(5)25.2 5 2 28(2021)5:,C(4,0),(0,4),其歐拉線方程為C的坐標可以是().))(0,答案 D析 設(shè)(,,得B為y=-x.∵歐拉線方程為x-y+2=0,x(1,(x12(y1)2, ①(4,0),(0,4)得△ABC(4?f+4,3 3代入歐拉線方程得②由①②可得或 C的坐標可以是(2,0)(0,-2).9(2021四川宜賓校擬)經(jīng)過點(1,0),(0,2),線yx是 .答案 1)22 4解析 設(shè)圓的標準方程因心(,)線x上得b2,所以可得圓的方程為(x-a)2+(y-2a)2=r2,因為圓經(jīng)過點(1,0),(0,2),1-?N)2+0-2a2=_2

?N=1,所以{ 解得{ 20-?N)2+-2a2=_2

?_=√5,2,(?e)2(y1).2 410設(shè)A為(x1)221,A線,且1,則點P的軌跡方程( x1)224 (x1)222.2x .2=x答案 解析(1,0)P的距離為P在以(1,0)√2,其軌跡方程為(x1)22.11(2021河北石家莊一)圓C等,圓C點(1,0)和(2,3)則圓C的半徑為( ).8 22 5 5答案 D析 (一)圓C為(x-)2y-)2=2(r0).C-1,0)和(2,3),∴N+12+?O2=?_2,{ 2 2 2(?N-2)+(b-3)=?_,①圓C等②由a=b,C5,.()C(1,0)和(2,3),CNy=-x2,C,圓心C圓心C在直線y=±x直線y=-x和直線圓心C為直xy=-x2(1,1)C5,.12(2021)在△C中,4,AC2,Aπ,P在以點A,1,則·的3最小值為 .答案 5-2√7解析如圖,A為原點,ABx.(0,0),(4,0)(13),(則4x,1x3y解析·4x1)3)=xx+y3y4(?e)2(?f3)23,(?e)2(?f3)2A上的點2 22 2 2 2P與點(5,3)的距|PM的平,由幾何圖形可|PM| 1√(5)2+(3)2172 2 min 2 2(·)min71)2357.131