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文檔簡介
初中數(shù)學(xué)最值問題專題分類講解全書●平面幾何中的最值問題●幾何的定值與最值●最短路線問題●對稱問題●巧作“對稱點(diǎn)”妙解最值題●數(shù)學(xué)最值題的常用解法●求最值問題●有理數(shù)的一題多解●平面幾何中的最值問題在平面幾何中,我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題,有時它和不等式聯(lián)系在一起,統(tǒng)稱最值問題.如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來,可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率.下面介紹幾個簡例.在平面幾何問題中,當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時,求某幾何量(如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問題,稱為最值問題。
最值問題的解決方法通常有兩種:
(1)應(yīng)用幾何性質(zhì):
①三角形的三邊關(guān)系:兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;
②兩點(diǎn)間線段最短;
③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短;
④定圓中的所有弦中,直徑最長。
⑵運(yùn)用代數(shù)證法:
①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值;
②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。
例1、A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),在直線L上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。
分析:在直線L上任取一點(diǎn)P’,連結(jié)AP’,BP’,在△ABP’中AP’+BP’>AB,如果AP’+BP’=AB,則P’必在線段AB上,而線段AB與直線L無交點(diǎn),所以這種思路錯誤。取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A’,則AP’=AP,在△A’BP中A’P’+B’P’>A’B,當(dāng)P’移到A’B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時A’P’+B’P’=A’B,所以這時PA+PB最小。
1已知AB是半圓的直徑,如果這個半圓是一塊鐵皮,ABDC是內(nèi)接半圓的梯形,試問怎樣剪這個梯形,才能使梯形ABDC的周長最大(圖3-91)?分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長,可設(shè)半圓半徑為R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若設(shè)CD=2y,AC=x,那么只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.解作DE⊥AB于E,則x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry,所以所以求u的最大值,只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,上式只有當(dāng)x=R時取等號,這時有所以2y=R=x.所以把半圓三等分,便可得到梯形兩個頂點(diǎn)C,D,這時,梯形的底角恰為60°和120°.2.如圖3-92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶,如果窗戶的周長為8米(m),怎樣才能得出最大面積,使得窗戶透光最好?分析與解設(shè)x表示半圓半徑,y表示矩形邊長AD,則必有
2x+2y+πx=8,若窗戶的最大面積為S,則把①代入②有即當(dāng)窗戶周長一定時,窗戶下部矩形寬恰為半徑時,窗戶面積最大.3.已知P點(diǎn)是半圓上一個動點(diǎn),試問P在什么位置時,PA+PB最大(圖3-93)?分析與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動點(diǎn),當(dāng)P近于A或B時,顯然PA+PB漸小,在極限狀況(P與A重合時)等于AB.因此,猜想P在半圓弧中點(diǎn)時,PA+PB取最大值.設(shè)P為半圓弧中點(diǎn),連PB,PA,延長AP到C,使PC=PA,連CB,則CB是切線.為了證PA+PB最大,我們在半圓弧上另取一點(diǎn)P′,連P′A,P′B,延長AP′到C′,使P′C′=BP′,連C′B,CC′,則∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,所以A,B,C′,C四點(diǎn)共圓,所以∠CC′A=∠CBA=90°,所以在△ACC′中,AC>AC′,即PA+PB>P′A+P′B.4如圖3-94,在直角△ABC中,AD是斜邊上的高,M,N分別是△ABD,△ACD的內(nèi)心,直線MN交AB,AC于K,L.求證:S△ABC≥2S△AKL.證連結(jié)AM,BM,DM,AN,DN,CN.因?yàn)樵凇鰽BC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,所以∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.因?yàn)镸,N分別是△ABD和△ACD的內(nèi)心,所以∠1=∠2=45°,∠3=∠4,所以△ADN∽△BDM,又因?yàn)椤螹DN=90°=∠ADB,所以△MDN∽△BDA,所以∠BAD=∠MND.由于∠BAD=∠LCD,所以
∠MND=∠LCD,所以D,C,L,N四點(diǎn)共圓,所以∠ALK=∠NDC=45°.同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=AL.因?yàn)椤鰽KM≌△ADM,所以AK=AD=AL.而而從而所以S△ABC≥S△AKL.5.如圖3-95.已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊上)有兩點(diǎn)P,Q.求證:PQ≤AB.證設(shè)過P,Q的直線與AB,AC分別交于P1,Q1,連結(jié)P1C,顯然,PQ≤P1Q1因?yàn)椤螦Q1P1+∠P1Q1C所以∠AQ1P1和∠P1Q1C若∠AQ1P1≥90°,則PQ≤P1Q1≤AP1≤AB;若∠P1Q1C≥90°,則PQ≤P1Q1≤P1同理,∠AP1C和∠BP1C中也至少有一個直角或鈍角,不妨設(shè)∠BP則P1C對于P,Q兩點(diǎn)的其他位置也可作類似的討論,因此,PQ≤AB.6.設(shè)△ABC是邊長為6的正三角形,過頂點(diǎn)A引直線l,頂點(diǎn)B,C到l的距離設(shè)為d1,d2,求d1+d2的最大值(1992年上海初中賽題).解如圖3-96,延長BA到B′,使AB′=AB,連B′C,則過頂點(diǎn)A的直線l或者與BC相交,或者與B′C相交.以下分兩種情況討論.(1)若l與BC相交于D,則所以只有當(dāng)l⊥BC時,取等號.(2)若l′與B′C相交于D′,則所以上式只有l(wèi)′⊥B′C時,等號成立.7.如圖3-97.已知直角△AOB中,直角頂點(diǎn)O在單位圓心上,斜邊與單位圓相切,延長AO,BO分別與單位圓交于C,D.試求四邊形ABCD面積的最小值.解設(shè)⊙O與AB相切于E,有OE=1,從而即AB≥2.當(dāng)AO=BO時,AB有最小值2.從而所以,當(dāng)AO=OB時,四邊形ABCD面積的最小值為●幾何的定值與最值幾何中的定值問題,是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變,或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題,解幾何定值問題的基本方法是:分清問題的定量及變量,運(yùn)用特殊位置、極端位置,直接計算等方法,先探求出定值,再給出證明.幾何中的最值問題是指在一定的條件下,求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值,求幾何最值問題的基本方法有:1.特殊位置與極端位置法;2.幾何定理(公理)法;3.?dāng)?shù)形結(jié)合法等.注:幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中,由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn).這是由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性(目標(biāo)不明確),解題時需要運(yùn)用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法.【例題就解】【例1】如圖,已知AB=10,P是線段AB上任意一點(diǎn),在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD,則CD長度的最小值為.思路點(diǎn)撥如圖,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=AB一常數(shù),當(dāng)CQ越小,CD越小,本例也可設(shè)AP=,則PB=,從代數(shù)角度探求CD的最小值.注:從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示,常能找到解題突破口,特殊位置與極端位置是指:(1)中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等;(2)端點(diǎn)處、臨界位置等.⌒⌒A.從30°到60°變動B.從60°到90°變動C.保持30°不變D.保持60°不變思路點(diǎn)撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C時,其弧的度數(shù),再證明一般情形,從而作出判斷.注:幾何定值與最值問題,一般都是置于動態(tài)背景下,動與靜是相對的,我們可以研究問題中的變量,考慮當(dāng)變化的元素運(yùn)動到特定的位置,使圖形變化為特殊圖形時,研究的量取得定值與最值.【例3】如圖,已知平行四邊形ABCD,AB=,BC=(>),P為AB邊上的一動點(diǎn),直線DP交CB的延長線于Q,求AP+BQ的最小值.思路點(diǎn)撥設(shè)AP=,把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示,運(yùn)用不等式(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)來求最小值.⌒【例4】如圖,已知等邊△⌒思路點(diǎn)撥即要證AK·BN是一個定值,在圖形中△ABC的邊長是一個定值,說明AK·BN與AB有關(guān),從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊,作一個大膽的猜想,AK·BN=AB2,從而我們的證明目標(biāo)更加明確.注:只要探求出定值,那么解題目標(biāo)明確,定值問題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題.【例5】已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三個頂點(diǎn)分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上,求△ABC直角邊長的最大可能值.思路點(diǎn)撥頂點(diǎn)Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上,當(dāng)頂點(diǎn)Z在斜邊AB上時,取xy的中點(diǎn),通過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值,當(dāng)頂點(diǎn)Z在(AC或CB)上時,設(shè)CX=,CZ=,建立,的關(guān)系式,運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值.注:數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題,即適當(dāng)?shù)剡x取變量,建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系,再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識方法求解.常見的解題途徑是:(1)利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型,運(yùn)用判別式求幾何最值;(2)構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值.學(xué)力訓(xùn)練1.如圖,正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)(可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合),分別過B、C、D作射線AP的垂線,垂足分別是B′、C′、D′,則BB′+CC′+DD′的最大值為,最小值為.2.如圖,∠AOB=45°,角內(nèi)有一點(diǎn)P,PO=10,在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q,R(均不同于點(diǎn)O),則△PQR的周長的最小值為.3.如圖,兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè),A到MN的距離AC=8,B到MN的距離BD=5,CD=4,P在直線MN上運(yùn)動,則的最大值等于.4.如圖,A點(diǎn)是半圓上一個三等分點(diǎn),B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn),P點(diǎn)是直徑MN上一動點(diǎn),⊙O的半徑為1,則AP+BP的最小值為()A.1B.C.D.5.如圖,圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿看圓柱的側(cè)面移動到BC的中點(diǎn)S的最短距離是()A.B.C.D.6.如圖、已知矩形ABCD,R,P戶分別是DC、BC上的點(diǎn),E,F(xiàn)分別是AP、RP的中點(diǎn),當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時,那么下列結(jié)論成立的是()A.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減小C.線段EF的長不改變D.線段EF的長不能確定7.如圖,點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)(C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合),分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,AE與CD相交于點(diǎn)M,BD與CE相交于點(diǎn)N.(1)求證:MN∥AB;(2)若AB的長為l0cm,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動時,是否存在這樣的一點(diǎn)C,使線段MN的長度最長?若存在,請確定C點(diǎn)的位置并求出MN的長;若不存在,請說明理由.(2002年云南省中考題)8.如圖,定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動,M是ST的中點(diǎn),P是S對AB作垂線的垂足,求證:不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.9.已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,BT為⊙O的切線,B為切點(diǎn),P為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(如圖),求證:PA·PB=PE·PF;(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長線上一點(diǎn)時,第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請證明,如果不成立,請說明理由.10.如圖,已知;邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積,則矩形PNDM的面積最大值是()A.8B.12C.D.1411.如圖,AB是半圓的直徑,線段CA上AB于點(diǎn)A,線段DB上AB于點(diǎn)B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圓上的一個動點(diǎn),則封閉圖形ACPDB的最大面積是()A.B.C.D.12.如圖,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB、AC上分別取點(diǎn)D、E,使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分,試求這樣線段的最小長度.13.如圖,ABCD是一個邊長為1的正方形,U、V分別是AB、CD上的點(diǎn),AV與DU相交于點(diǎn)P,BV與CU相交于點(diǎn)Q.求四邊形PUQV面積的最大值.14.利用兩個相同的噴水器,修建一個矩形花壇,使花壇全部都能噴到水.已知每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓,問如何設(shè)計(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬),才能使矩形花壇的面積最大?15.某住宅小區(qū),為美化環(huán)境,提高居民生活質(zhì)量,要建一個八邊形居民廣場(平面圖如圖所示).其中,正方形MNPQ與四個相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為800平方米.(1)設(shè)矩形的邊AB=(米),AM=(米),用含的代數(shù)式表示為.(2)現(xiàn)計劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇,平均每平方米造價為2100元;在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪,平均每平方米造價為105元;在四個三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪,平均每平方米造價為40元.①設(shè)該工程的總造價為S(元),求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式.②若該工程的銀行貸款為235000元,僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能,請列出設(shè)計方案;若不能,請說明理由.③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上,又增加資金73000元,問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能,請列出所有可能的設(shè)計方案;若不能,請說明理由.(鎮(zhèn)江市中考題)16.某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE,邊長和方向如圖,欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓,請劃出這塊地基,并求地基的最大面積(精確到1m2參考答案●最短路線問題通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中,直線段最短”為原則引申出來的.人們在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.在本講所舉的例中,如果研究問題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi),那么所求的最短路線是線段;如果它們位于凸多面體的不同平面上,而允許走的路程限于凸多面體表面,那么所求的最短路線是折線段;如果它們位于圓柱和圓錐面上,那么所求的最短路線是曲線段;但允許上述哪種情況,它們都有一個共同點(diǎn):當(dāng)研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時,例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等,將它們展開在一個平面上,兩點(diǎn)間的最短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線段.這里還想指出的是,我們常遇到的球面是不能展成一個平面的.例如,在地球(近似看成圓球)上A、B二點(diǎn)之間的最短路線如何求呢?我們用過A、B兩點(diǎn)及地球球心O的平面截地球,在地球表面留下的截痕為圓周(稱大圓),在這個大圓周上A、B兩點(diǎn)之間不超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線,航海上叫短程線.關(guān)于這個問題本講不做研究,以后中學(xué)會詳講.在求最短路線時,一般我們先用“對稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問題,而兩點(diǎn)之間直線段最短,從而找到所需的最短路線.像這樣將一個問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€和它等價的問題,再設(shè)法解決,是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法.例1如下圖,偵察員騎馬從A地出發(fā),去B地取情報.在去B地之前需要先飲一次馬,如果途中沒有重要障礙物,那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時間,請你在圖中標(biāo)出來.解:要選擇最節(jié)省時間的路線就是要選擇最短路線.作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)A′,即作AA′垂直于河岸,與河岸交于點(diǎn)C,且使AC=A′C,連接A′B交河岸于一點(diǎn)P,這時P點(diǎn)就是飲馬的最好位置,連接PA,此時PA+PB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線.證明:設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P′,連接P′A,P′B,P′A′.∵P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB,而這里不等式P′A′+P′B>A′B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段,所以PA+PB是最短路線.此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B,所以這種方法也叫做化直法,其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等.看下面例題.例2如圖一只壁虎要從一面墻壁α上A點(diǎn),爬到鄰近的另一面墻壁β上的B點(diǎn)捕蛾,它可以沿許多路徑到達(dá),但哪一條是最近的路線呢?解:我們假想把含B點(diǎn)的墻β順時針旋轉(zhuǎn)90°(如下頁右圖),使它和含A點(diǎn)的墻α處在同一平面上,此時β轉(zhuǎn)過來的位置記為β′,B點(diǎn)的位置記為B′,則A、B′之間最短路線應(yīng)該是線段AB′,設(shè)這條線段與墻棱線交于一點(diǎn)P,那么,折線4PB就是從A點(diǎn)沿著兩扇墻面走到B點(diǎn)的最短路線.證明:在墻棱上任取異于P點(diǎn)的P′點(diǎn),若沿折線AP′B走,也就是沿在墻轉(zhuǎn)90°后的路線AP′B′走都比直線段APB′長,所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線.由此例可以推廣到一般性的結(jié)論:想求相鄰兩個平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時,可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面,此時,把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來,所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上,這條線段所構(gòu)成的折線,就是所求的最短路線.例3長方體ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,A′A=2′,AD=1,有一只小蟲從頂點(diǎn)D′出發(fā),沿長方體表面爬到B點(diǎn),問這只小蟲怎樣爬距離最短?(見圖(1))解:因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的,所以必需把含D′、B兩點(diǎn)的兩個相鄰的面“展開”在同一平面上,在這個“展開”后的平面上D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段,這樣,從D′點(diǎn)出發(fā),到B點(diǎn)共有六條路線供選擇.①從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn),將這兩個面攤開在一個平面上(上頁圖(2)),這時在這個平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點(diǎn)的直線段,它是直角三角形ABD′的斜邊,根據(jù)勾股定理,D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25,∴D′B=5.②容易知道,從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5.③從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過左側(cè)面,然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn).將這兩個面攤開在同一平面上,同理求得在這個平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線(上頁圖(3)),有:D′B2=22+(1+4)2=29.④容易知道,從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是29.⑤從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過左側(cè)面,然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn),將這兩個平面攤開在同一平面上,同理可求得在這個平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線(見圖),D′B2=(2+4)2+12=37.⑥容易知道,從D′出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37.比較六條路線,顯然情形①、②中的路線最短,所以小蟲從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)(上頁圖(2)),或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的路線是最短路線,它的長度是5個單位長度.利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法,可以解決一些類似的問題,例如求六棱柱兩個不相鄰的側(cè)面上A和B兩點(diǎn)之間的最短路線問題(下左圖),同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個平面都相鄰的平面展開成同一個平面(下右圖),連接A、B成線段AP1P2B,P1、P2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點(diǎn),則折線AP1P2B就是AB間的最短路線.圓柱表面的最短路線是一條曲線,“展開”后也是直線,這條曲線稱為螺旋線.因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì),所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.如:螺釘上的螺紋,螺旋輸粉機(jī)的螺旋道,旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽,槍膛里的螺紋等都是螺旋線,看下面例題.例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線,如下左圖,如果將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn),繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn),問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少?解:將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開,展開成平面圖形如上頁右圖(把圖中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時,A′、B′分別與A、B重合),連接AB′,再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀,則AB′在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路.圓錐表面的最短路線也是一條曲線,展開后也是直線.請看下面例題.例5有一圓錐如下圖,A、B在同一母線上,B為AO的中點(diǎn),試求以A為起點(diǎn),以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線.解:將圓錐面沿母線AO剪開,展開如上右圖(把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時,A′、B′分別與A、B重合),在扇形中連AB′,則將扇形還原成圓錐之后,AB′所成的曲線為所求.例6如下圖,在圓柱形的桶外,有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物,已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米,B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8厘米,而C、D兩點(diǎn)之間的(桶口)弧長是15厘米.如果螞蟻爬行的是最短路線,應(yīng)該怎么走?路程總長是多少?分析我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖(下圖),由于B點(diǎn)在里面,不便于作圖,設(shè)想將BD延長到F,使DF=BD,即以直線CD為對稱軸,作出點(diǎn)B的對稱點(diǎn)F,用F代替B,即可找出最短路線了.解:將圓柱面展成平面圖形(上圖),延長BD到F,使DF=BD,即作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)F,連結(jié)AF,交桶口沿線CD于O.因?yàn)橥翱谘鼐€CD是B、F的對稱軸,所以O(shè)B=OF,而A、F之間的最短線路是直線段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之間的最短距離就是AO+OB,故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點(diǎn)后,轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去.延長AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形,AF是斜邊,EF=CD,根據(jù)勾股定理,AF2=(AC+CE)2+EF2=(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.即螞蟻爬行的最短路程是25厘米.例7分析因?yàn)闃虼怪庇诤影叮宰疃搪肪€必然是條折線,直接找出這條折線很困難,于是想到要把折線化為直線.由于橋的長度相當(dāng)于河寬,而河寬是定值,所以橋長是定值.因此,從A點(diǎn)作河岸的垂線,并在垂線上取AC等于河寬,就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除,找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線,問題就可以解決.解:如上圖,過A點(diǎn)作河岸的垂線,在垂線上截取AC的長為河寬,連結(jié)BC交河岸于D點(diǎn),作DE垂直于河岸,交對岸于E點(diǎn),D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn).即兩村的最短路程是AE+ED+DB.例8在河中有A、B兩島(如下圖),六年級一班組織一次劃船比賽,規(guī)則要求船從A島出發(fā),必須先劃到甲岸,又到乙岸,再到B島,最后回到A島,試問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短?解:如上圖,分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對稱點(diǎn)A′和B′,連結(jié)A′、B′分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn),則A→E→F→B→A是最短路線,即最短路程為:AE+EF+FB+BA.證明:由對稱性可知路線A→E→F→B的長度恰等于線段A′B′的長度.而從A島到甲岸,又到乙岸,再到B島的任意的另一條路線,利用對稱方法都可以化成一條連接A′、B′之間的折線,它們的長度都大于線段A′B′,例如上圖中用“·—·—·”表示的路線A→E′→F′→B的長度等于折線AE′F′B的長度,它大于A′B′的長度,所以A→E→F→B→A是最短路線.●對稱問題教學(xué)目的:進(jìn)一步理解從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法,對于軸對稱問題、中心對稱問題有一個比較深入的認(rèn)識,可以通過對稱的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):猜想驗(yàn)證的過程,及幾何問題的說理性。一、點(diǎn)關(guān)于一條直線的對稱問題問題超市:一天,天氣很熱,小明想回家,但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水,同是回家又最近?問題數(shù)學(xué)化:設(shè)小明與小狗在A處,家在B處,小河為L,小明要在直線L上找一個點(diǎn)C(小狗在C處飲水),使得AC+BC最短。(如圖所示)知識介紹:兩條線段之和最短,往往利用對稱的思想,把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究,利用兩點(diǎn)之間的線段最短,可以得出結(jié)果。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對稱有兩類,一類是軸對稱,一類是中心對稱。軸對稱有兩個基本特征:垂直與相等。構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的軸對稱點(diǎn)N的方法是:過M作MO垂直于PQ于點(diǎn)O,并延長MO到點(diǎn)N,使NO=MO,則點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)。問題分析:過A作AO垂直于直線L于點(diǎn)O,延長AO到點(diǎn)A’,使A’O=AO,連接A’B,交直線L于點(diǎn)C,則小明沿著ACB的路徑就可以滿足小狗喝上水,同時又使回家的路程最短。問題的證明方法:三角形兩邊之和大于第三邊及對稱的性質(zhì)。問題的延伸1:已知直線L外有一個定點(diǎn)P,在直線L上找兩點(diǎn)A、B,使AB=m,且PA+PB最短。(其中m為定值)提示:作PC平行于AB,且PC==AB,則問題變?yōu)椋涸谥本€L上找一個點(diǎn)B,使它到P、C兩點(diǎn)的距離之和最短。問題的延伸2:在兩條相交線之外有一個定點(diǎn)P,分別在兩條直線上找點(diǎn)B、C使得PB+BC+CP最短,如何確定B、C的位置?提示:分別作點(diǎn)P關(guān)于直線L1和直線L2的對稱點(diǎn)P1和P2,連接P1P2分別與兩直線交于B、C點(diǎn),則PB+BC+PC最短。證明方法同上。二、橋該建在哪里:問題超市:農(nóng)場里有一條小河,里面養(yǎng)了很多魚。在河的兩岸有兩個加工廠,農(nóng)場主經(jīng)常要在這兩個工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買了一輛汽車,想在農(nóng)場內(nèi)建造一條馬路,同時在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直,可是橋應(yīng)該建在何處,才能使兩個加工廠之間的路程最短?問題數(shù)學(xué)化:在直線L1和直線L2之間作一條垂線段CD,使得BC+CD+DA最短。知識介紹:關(guān)于最短距離,我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論:(1)在連接兩點(diǎn)的所有線中,線段最短(兩點(diǎn)之間,線段最短);(2)三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(3)在三角形中,大角對大邊,小角對小邊。一般說來,線段和最短的問題,往往把幾條線段連接成一條線段,利用兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明。另外,在平移線段的時候,一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。(判定:如果一個四邊形的一組對邊平行且相等,那么這個四邊形是平行四邊形;性質(zhì):平行四邊形的對邊相等。)問題分析:由于CD的長度一定,所以BC+CD+DA最短,只需BC+DA最短既可。我們想辦法把線段AD平移到和線段BC共線的位置,于是變化為下面兩圖。問題的總結(jié)與結(jié)論:一般來說,我們利用圖形的對稱性尋找到最近的位置,然后利用三角形和對稱的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問題的延伸:如果有兩條河,需要建造兩座橋,又該如何呢?如圖,把A向下平移到A’的位置,使線段AA’等于河L1-L2的寬度;把B向上平移到B’的位置,使線段BB’等于河L3-L4的寬度。連接線段B’A’,交L2于點(diǎn)C,交L3于點(diǎn)F。過C、F分別作垂線段CD、FE,就是建橋的位置。如果有三條河又如何?更多的河流建更多的橋又如何呢?三、對稱問題的進(jìn)一步延伸。我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對稱的特點(diǎn)找到一些特殊位置使得線段和最小,那么對于線段差最小的問題,是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論呢?1、直線L的異側(cè)有兩個點(diǎn)A、B,在直線L上求一個點(diǎn)C,使得:A、B到C的距離的差的絕對值最小。2、你認(rèn)識一些什么樣的軸對稱圖形,它們各自有什么樣的幾何性質(zhì)?等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地:問題超市:水渠旁有一大塊耕地,要畫一條直線為分界線,把耕地平均分成兩塊,分別承包給兩個人,BC邊是灌溉用的水渠的一岸。兩個人不知道怎么平分土地最能滿足個人的需要,你看這個土地的形狀(比較規(guī)則的L形)(如右圖所示),應(yīng)該怎樣平分呢?問題數(shù)學(xué)化:如何在由兩個矩形所組成(割、補(bǔ))的圖形中尋找一條直線,使得圖形被分成兩部分,且兩部分的面積相等,而且,均含有BC邊的一部分。問題分析:1、如何才能把一個矩形的面積等分。如圖,可以應(yīng)用矩形的兩條對角線所在的直線AC、BD,每組對邊的中點(diǎn)所在直線MP、NQ,且這四條直線都交于同一點(diǎn)O,對矩形的對稱中心。即經(jīng)過對稱中心O的任意一條直線都可以平分矩形的面積。2、利用這個結(jié)論,土地可以看成是兩個矩形進(jìn)行割、補(bǔ)得到的,分別在每個圖中作兩個矩形的對稱中心,經(jīng)過這兩個點(diǎn)作一條直線,這條直線就可以把這兩個矩形的面積進(jìn)行平分,分別如上面三個圖形所示:問題的延伸:三個方案確定之后,兩個農(nóng)民并不滿意,他們認(rèn)為:“這三種方法只是把土地平分了,但是靠近水源的BC邊并沒有被平分?!眱扇藶榱斯喔确绞?,都想把靠近水源的BC邊也平分了,誰會愿意要水源少的那塊地呢?這三種分地的方法并不公平。那為了既平分土地,也平分水源,有什么辦法呢?問題的分析:(如右圖所示)直線QR就是原來的分界線l,取線段QR的中點(diǎn)為S,取線段BC的中點(diǎn)為P,則直線PS就是滿足兩個農(nóng)民要求的分界線。問題的證明:與中,三組內(nèi)角對應(yīng)相等,且RS=PS,則兩個三角形全等,所以兩個三角形的面積相等,于是經(jīng)過直線TP的分界仍保證了土地的平分,且過點(diǎn)P也使得水源得到了平分。思考:如果用后兩種方案,你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案?五、臺球桌上的數(shù)學(xué)問題問題超市:臺球被打到臺球桌邊上,反彈回來,就是我們常用的對稱問題。臺球從球桌的一個角出發(fā),若沿著角將球打到對邊,然后,球經(jīng)過幾次碰撞,最后到另外的三個角落之一。如果臺球桌的長和寬之比為2:1,需要碰撞幾次?如果臺球桌的長和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會怎樣?知識介紹:此題類似于物理中光線的反射,當(dāng)光線入射到平面鏡上的時候,光線會被鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話,那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)上就是軸對稱。在臺球桌(長方形),由于入射角是,所以反射角也是,這樣入射線和反射線形成一個直角,相應(yīng)的,在臺球桌上就構(gòu)成了一個等腰直角三角形,利用這一性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。問題分析:我們分下面幾種情況進(jìn)行分析:(1)如果長寬比為2:1,如圖,則1次就夠了;(2)如果長寬比為3:2,如圖,則要碰撞3次,可以到左下角;(3)如果長寬比為4:3,如圖,則要碰撞5次,可以進(jìn)洞;(4)如果長寬比為5:3和7:5,分別如下圖所示,分別需要6和10次碰撞可以進(jìn)洞。問題的總結(jié):臺球桌的長a臺球桌的寬b碰撞的次數(shù)c可能的關(guān)系2112+1-2=13233+2-2=34354+3-2=55365+3-2=675107+5-2=10ab?問題的猜想:如果臺球桌的長和寬之比為m:n(其中m、n互質(zhì)的正整數(shù)),那么碰撞的次數(shù)是:●巧作“對稱點(diǎn)”妙解最值題在初中平面幾何尤其在初中數(shù)學(xué)競賽題中,我們經(jīng)常會碰到求兩線段和的最大值或和最小值的問題,對這類題目大家感到無從下手,求解有一定的難度,但只要通過作“對稱點(diǎn)”都可迎刃而解的,現(xiàn)舉例說明如下:例1如圖1,點(diǎn)A、B表示兩個村莊,直線L表示一條公路,(村莊A、B在公路的同側(cè))現(xiàn)要在公路L上建造一個汽車站,使車站到A、B兩個村莊的距離之和最短,問車站應(yīng)建在何處?解作A點(diǎn)于L的對稱點(diǎn),連結(jié)B交L于C,則點(diǎn)C就是所建車站的位置。證明在直線L上另取一點(diǎn)連結(jié)AC,A,,,因?yàn)橹本€L是點(diǎn)A、的對稱軸,點(diǎn)C在對稱軸上,所以AC=A,A=, 所以AC+CB=A+CB=B, 在△中, 因?yàn)锽<+, 所以AC+CB<A+即AC+CB最小 例2已知定點(diǎn)A(1,2),B(3,4),在x軸的點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和最短,求P點(diǎn)坐標(biāo)。解由例1啟發(fā),如圖2作A(1,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)(1,-2)則過點(diǎn)(1,-2)、B(3,4)兩點(diǎn)的直線解析為:,該直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為即為所求P點(diǎn)坐標(biāo)。(證略) 例3如圖3,在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE=1,P在BD上,求PE與PC的長度和的最小值。解因?yàn)锳BCD為正方形,所以A、C是關(guān)于BD所在直線對稱的對稱點(diǎn),連結(jié)AP,由對稱性知:AP=PC,則PC+PE的最小值為AP+PE的最小值,而AP+PE的最小值由例1證明可知即為線段AE。在中。本例還可如圖4,在AB上作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn),連,,同樣有。例4三角形ABC的邊長為2,M是AB邊上的中點(diǎn),P是邊BC上任意一點(diǎn),PA+PM的最大值和最小值分別記為S和t則=__________________分析本題比上例更有一定的難度,S還好求,因?yàn)镻A≤AC,PM≤CM,所以,當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)C時,等號成立,所以。關(guān)鍵在于T,以BC為邊作正三角形,如圖5,作M關(guān)于BC所在的直線對稱點(diǎn),連結(jié)、,因?yàn)?,所以在上,且,PM=,PA+PM=PA+≥,連結(jié),則,所以所以。所以 例5矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=10厘米,若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N,使MB+MN值最小,求這個最小值。解如圖6,作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn),連結(jié),則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)在上,這時BM+MN的最小值,即為BM+M的最小值,顯然BM+M的最小值等于點(diǎn)B到的距離BH。 現(xiàn)在求BH的長,設(shè)與DC交于P點(diǎn),連結(jié)BP,則 設(shè)AP=PC=x,則DP=20-x 在Rt△APD中,由勾股定理,得PA2=DP2+DA2即,解得x=12.5(厘米),即AP=12.5(厘米)。 所以, 即BM+MN的最小值是16厘米。 通過作“對稱點(diǎn)”使幾何題中求兩線段和的最大或最小值,這類難題得到順利解決。此法簡單明了,直觀易懂,而對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力,提高學(xué)生空間想象能力確有一定的幫助?!駭?shù)學(xué)最值題的常用解法在中學(xué)數(shù)學(xué)題中,最值題是常見題型,圍繞最大(?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣,就其解法,主要為以下幾種:一.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)且)其性質(zhì)中有①若當(dāng)時,y有最小值。;②若當(dāng)時,y有最大值。。利用二次函數(shù)的這個性質(zhì),將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個變量建立二次函數(shù),再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計算,從而達(dá)到解決實(shí)際問題之目的。例1.某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓,每日最高產(chǎn)量為40只,且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出,已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R(元),售價每只為P(元),且R、P與x的關(guān)系式分別為,。(1)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時,每日獲得的利潤為1750元;(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?最大利潤是多少?解:(1)根據(jù)題意得整理得解得,(不合題意,舍去)(2)由題意知,利潤為所以當(dāng)時,最大利潤為1950元。二.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù),圖象是一條直線,因而沒有最大(小)值;但當(dāng)時,則一次函數(shù)的圖象是一條線段,根據(jù)一次函數(shù)的增減性,就有最大(?。┲?。例2.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人,甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元,現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少?解:設(shè)招聘甲種工種的工人為x人,則乙種工種的工人為人,由題意得:所以設(shè)所招聘的工人共需付月工資y元,則有:()因?yàn)閥隨x的增大而減小所以當(dāng)時,(元)三.判別式法例3.求的最大值與最小值。分析:此題要求出最大值與最小值,直接求則較困難,若根據(jù)題意構(gòu)造一個關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程;再根據(jù)x是實(shí)數(shù),推得,進(jìn)而求出y的取值范圍,并由此得出y的最值。解:設(shè),整理得即因?yàn)閤是實(shí)數(shù),所以即解得所以的最大值是3,最小值是。四.構(gòu)造函數(shù)法“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程,因此它們的解往往離不開函數(shù)。例4.求代數(shù)式的最大值和最小值。解:設(shè),,再令,,則有所以得y的最大值為,最小值為五.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),顯然有,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,即的最小值為k。例5.設(shè)a、b為實(shí)數(shù),那么的最小值為_______。解:當(dāng),,即時,上式等號成立。故所求的最小值為-1。六.零點(diǎn)區(qū)間討論法例6.求函數(shù)的最大值。分析:本題先用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對值符號,然后求出y在各個區(qū)間上的最大值,再加以比較,從中確定出整個定義域上的最大值。解:易知該函數(shù)有兩個零點(diǎn)、當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)?shù)卯?dāng)時,綜上所述,當(dāng)時,y有最大值為七.利用不等式與判別式求解在不等式中,是最大值,在不等式中,是最小值。例7.已知x、y為實(shí)數(shù),且滿足,,求實(shí)數(shù)m最大值與最小值。解:由題意得所以x、y是關(guān)于t的方程的兩實(shí)數(shù)根,所以即解得m的最大值是,m的最小值是-1。八.“夾逼法”求最值在解某些數(shù)學(xué)問題時,通過轉(zhuǎn)化、變形和估計,將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi),再通過解不等式獲取問題的答案,這一方法稱為“夾逼法”。例8.不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù),那么此高的最大值可能為________。解:設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h因?yàn)?,所以又因?yàn)椋氲?,所以又因?yàn)椋氲?,所以所?<h<6,故整數(shù)h的最大值為5?!袂笞钪祮栴}最值型應(yīng)用問題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。這類問題貼近生活、貼近社會,有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值和社會價值,有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問題。利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題對于一般的一次函數(shù),由于自變量的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù),因此不存在最大最小值(簡稱“最值”),但在實(shí)際問題中,因題目中的自變量受到實(shí)際問題的限制,所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外,利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。例1、(2008年泉州市初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查)紅星服裝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一批A、B兩種型號的演出服,已知每小時生產(chǎn)A型演出服比B型演出服少2套,且生產(chǎn)18套A型演出服與生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間相同。設(shè)該廠每小時可生產(chǎn)A型演出服a套,用含a的代數(shù)式表示該廠生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間;求出a的值。若該廠要在8小時之內(nèi)(含8小時)先后生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服50套,且生產(chǎn)一套A、B兩種型號的演出服可得利潤分別為40元和30元,問應(yīng)如何安排生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服的套數(shù),才能使獲得的總利潤最大?最大的總利潤是多少元?分析:(1)①或②解得(2)設(shè)生產(chǎn)A型演出服套,依題意得,解得。W利潤=W利潤是一次函數(shù),利用一次函數(shù)的增減性∵∴W隨的增大而增大,∵,∴當(dāng)時,W利潤有最大值=例2某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的住房共80套,該公司所籌資金不少于2090萬元,但不超過2096萬元,且所籌資金全部用于建房,兩種戶型的建房成本和售價如下表:AB成本(萬元/套)2528售價(萬元/套)3034
(1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案?(2)該公司如何建房獲得利潤最大?(3)根據(jù)市場調(diào)查,每套B型住房的售價不會改變,每套A型住房的售價將會提高a萬元(a>0),且所建的兩種住房可全部售出,該公司又將如何建房獲得利潤最大?注:利潤=售價-成本分析:(1)設(shè)A種戶型的住房建x套,則B種戶型的住房建(80-x)套,根據(jù)題意:該公司所籌資金不少于2090萬元,但不超過2096萬元,可列出兩個不等式,解不等式組,即可求出x的取值范圍,進(jìn)而確定x的正整數(shù)值.(2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決.(3)要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏,注意思維的縝密性.解析:(1)設(shè)A種戶型的住房建x套,則B種戶型的住房建(80-x)套.由題意知2090≤25x+28(80-x)≤209648≤x≤50∵x取非負(fù)整數(shù),∴x為48,49,50.∴有三種建房方案:A型48套,B型32套;A型49套,B型31套;A型50套,B型30套(2)設(shè)該公司建房獲得利潤W(萬元).由題意知W=5x+6(80-x)=480-x∴當(dāng)x=48時,W最大=432(萬元)即A型住房48套,B型住房32套獲得利潤最大(3)由題意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x∴當(dāng)O<a<l時,x=48,W最大,即A型住房建48套,B型住房建32套當(dāng)a=l時,a-1=0,三種建房方案獲得利潤相等當(dāng)a>1時,x=50,W最大,即A型住房建50套,B型住房建30套.答:略.說明:此題的第(1)問是利用一元一次不等式組解決的,第(2)、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的,要注意三問相互聯(lián)系.二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題例:一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具3至5個,若每天須生產(chǎn)這種玩具400個,那么須招聘工人多少名?分析:這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題,這里400是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn)x個玩具,需要工人名。則有。(3,且x為整數(shù))∵當(dāng)時,隨的增大而減小,∴,即∵為正整數(shù),∴取80至134。即須招聘工人為80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題對于某些與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題,如果我們能夠?qū)?shí)際問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,建立起二次函數(shù)的關(guān)系式,應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì),可以解決許多實(shí)際問題。例1.將進(jìn)貨單價40元的商品按50元一個售出時,能賣出500個,若此商品每個漲價1元,其銷售量減少10個,為了賺到最大利潤,售價應(yīng)定為多少?解:設(shè)利潤為元,每個售價為元,則每個漲(-50)元,從而銷售量減少∴<100)∴答:為了賺取最大利潤,售價應(yīng)定為70元.例2、(泉州市2008年中考題)某產(chǎn)品第一季度每件成本為元,第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為⑴請用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本;⑵如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少元,試求的值⑶該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價為元,第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降,若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于元,設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤為元,試求與的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求的最大值(注:利潤銷售價成本)分析:(1)⑵解得(3)解得而,∴而==∵當(dāng)時,利用二次函數(shù)的增減性,隨的增大而增大,而,∴當(dāng)時,最大值=18(元)說明:當(dāng)自變量取值范圍為體體實(shí)數(shù)時,二次函數(shù)在拋物線頂點(diǎn)取得最值,而當(dāng)自變量取值范圍為某一區(qū)間時,二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形:若拋物線頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi),頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。若拋物線的頂點(diǎn)不在該區(qū)間內(nèi),則區(qū)間兩端點(diǎn)所對應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。四、利用對稱性來求最值問題。類這題涉及的知識面廣,綜合性強(qiáng),解答有一定的難度。(一)在幾何題組中的應(yīng)用EDCBBAPEDCBBAPM`分析:由菱形的性質(zhì)知:點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱。因?yàn)椋性冢粒蒙现н\(yùn)動,所以PB=PD。要求PE+PB的最小最,即求PD+PB的最小值。連接DE交AC于點(diǎn),則DE即為所求。又∠BAD=60°,AE=AD,E為AB的中點(diǎn),所以DE⊥AB,而AB=AD=2,所以DE=,即PD+PB的最小值為POBAQR例2、如圖,POBAQR分析:作P關(guān)于OA,OB的對稱點(diǎn),。連接,分別交OA,OB于Q,R。如圖所示,再連接PQ,PR。易知Q=PQ,R=PR,所以△PQR的周長=Q+QR+R。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,△PQR的周長=,而∠POA=∠OA,∠POB=∠OB,且OP=O=O=10,又∠AOB=45°,所以∠O=90°即△O為等腰直角三角形,故△PQR的周長的最小值為(二)在代數(shù)題組中應(yīng)用ABOCDEABOCDEMXY且A(-1,0)。求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論。點(diǎn)M(m,0)是X軸上的一個動點(diǎn),當(dāng)MC+MD的值最小時,求m的值分析:(1)將A(-1,0)代入得,所以拋物線的解析式配方得:,所以頂點(diǎn)D(2)求出AC=,BC=,而AB=5∴,故△ABC為RT△(3)作點(diǎn)C關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)E(,0),連接DE交X軸于點(diǎn)M,通過兩點(diǎn)式可求得直線DE的XOAEBPDYCXOAEBPDYCF32MN∴M(,0)即m=例2、如圖以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為X軸,OC所在的直線為Y軸,建立平面直角坐標(biāo)系。已知OA=3,OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),在OA上取一點(diǎn)D,將△BAD沿BD翻折,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處。直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo):設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交Y軸正半軸于點(diǎn)P,且以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求該拋物線的解析式;在X軸、Y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長最???如果存在,求出周長的最小值;如果不存在,請說明理由。分析:(1)E(3,1),F(xiàn)(1,2)在RT△FEB中,F(xiàn)B=2,BE=1,∴EF=,當(dāng)時,(0,0)不合題意當(dāng)時,如圖所示P(0,4)設(shè)拋物線的解析式為,且過點(diǎn)P(0,4),代入得∴,∴作點(diǎn)F關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于X軸的對稱點(diǎn),連接分別交X軸,Y軸于點(diǎn)M,N。此時四邊形MNFE的周長最小,∵=FN+MN+ME==,∴四邊形MNFE的周長最小值=+EF=●有理數(shù)的一題多解有理數(shù)是學(xué)生進(jìn)入初中階段接觸的第一塊系統(tǒng)學(xué)習(xí)的代數(shù)知識,它不僅在知識體系上讓學(xué)生第一次領(lǐng)略了系統(tǒng)性、層次性,而且也滲透了“分類”、“一題多解”等好的數(shù)學(xué)思想。所謂“一題多解”,是指答案的多樣性或方法的多樣性。本文試就本章出現(xiàn)的一題多解問題作一歸類說明。絕對值方程中的一題多解一個數(shù)的絕對值表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,而互為相反數(shù)的兩數(shù)到原點(diǎn)的距離相同,故方程|x|=a(a>0)的解有兩個:x1=a或x2=—a,他們是一對互為相反數(shù)。例1解方程|x+1|=2解:∵|x+1|=2,∴x+1=2或—2,∴x=1或—3.評注:若|x|=0,則x=0,此時方程只有一解,注意區(qū)別。例2方程|x-2|+|x-3|=1的解的個數(shù)是()A、0B、1C、2D、3E、多于3(第41屆美國高中數(shù)學(xué)競賽,第4屆初中祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請賽試題)3210解:該題的幾何意義是:點(diǎn)x到2的距離與到3的距離的和等于1,由圖形可知,x在這兩點(diǎn)之間(含這兩點(diǎn)),3210即方程的解是2≤x≤3,故選E最值問題中的一題多解所謂最值,即指最大值或最小值,在本章中涉及的最值問題主要是與絕對值相關(guān)的距離的最值,在競賽中會有所涉及。例3求y=|x-1|+|x+3|的最值,并求此時x的取值范圍。BA310解:根據(jù)絕對值的幾何意義,y表示數(shù)軸上的一點(diǎn)x到兩點(diǎn)1和3之間的距離之和,從數(shù)軸上看,當(dāng)x<1或x>3時,y取不到最大、最小值,當(dāng)1≤x≤3時,y可取最小值2,此時使y取最小值2的BA310點(diǎn)分布在線段AB上,即1≤x≤3.例4求y=|x-1|-|x-3|的最值,并求此時x的取值范圍。解:同例3,y表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1、3的距離之差,分情況討論如下:x3103310101)x>3時,y=2x3103310102)1≤x≤3時,-2≤y≤2x3)x<1時,y=-2.x故y取最大值為2,此時x≥3,取最小值-2,此時x≤1.x評注:例3與例4的區(qū)別在于相差一個x符號,而結(jié)果卻大相徑庭。但這一點(diǎn)從幾何意義上來看,是很清晰的。所以,對于此類與距離有關(guān)的最值問題,我們可以借助于圖形,以獲得直觀的理解。乘方運(yùn)算中的一題多解在乘法運(yùn)算中,根據(jù)符號法則——同好得正,異號得負(fù),故有11=1,(-1)(-1)=1,故解方程x2=1時,x可取1或-1,即二次方程x2=1有二解。當(dāng)然,這里的1可以換成其他的數(shù)。例5解方程(x-3)2=9解:∵32=9,(-3)2=9,∴x-3=3或-3,∴x=0或6.評注:由于所學(xué)知識有限,現(xiàn)階段我們只能利用乘方的含義求解諸如“x2=a2,a為有理數(shù)”的二次方程,更一般的二次方程的解法構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的一大分支,將在以后學(xué)到。例6解方程x3=x解:由x3=x得x3-x=0,即:x(x2-1)=0,故,x=0或x2=1,即x=1或-1,綜上,原方程的解為x=0,1,-1.評注:并非所有的形如xn=a(a≥0)的方程都有多解,如x4=64就只有一個解x=4.一般地,對方程xn=a(a>0),若n為偶數(shù),則方程有2解,且二解互為相反數(shù);若n為奇數(shù),則只有一解。四則運(yùn)算中的一題多解此處的“一題多解”取多種解法的意思。我們知道,四則運(yùn)算中,運(yùn)算律或運(yùn)算技巧的使用可以讓我們充分領(lǐng)略“條條大路通羅馬”的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)我們熟悉多種方法后,可以選擇一種最好的。例7計算(--)(-)+(-)解一:原式=(--)()+(-)=-==-3解二:原式=(--)()+(-)==-2+1+-=-3評注:解法一在括號內(nèi)通分后計算,是通常的路子;解法二注意到括號內(nèi)分?jǐn)?shù)分子相同,可與括號外的分?jǐn)?shù)約分,使用了分配律,易于口算。因而快捷一些。例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.解一:S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2001-2002)+2003=(-1)+(-1)+(-1)+…(-1)+2003=-1001+2003=1002解二:S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=-=10021002-10021001=1002解三:S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-2002+2003)=1+11001=1002評注:解法一、三如出一轍,不過解法三靈活利用了減法的意義——減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),因而避開了負(fù)數(shù)的運(yùn)算,解題過程更“安全”;解法二思路簡單:正負(fù)數(shù)分別相加,再把結(jié)果相減,不過利用了數(shù)列的求和公式,技巧頗高。例9計算S=2-22-23-24-25-26-27-28-2解一:S=(22-2)–(23-22)-(24-23)-…(210-29)+210=22-2-23+22-24+23-…-210+2=22-2+22=6解二:S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2=(28-27)-26-25-…-22+2=……=23-22+2=6解三:由題意S=2-22-23-24-25-26-27-28-2故2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211兩式相減得S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6評注:解法一巧用相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系得2n=2n+1-2n,因而利用加法運(yùn)算律解決問題;解法二是“倒著走”,每一步總是把S得表達(dá)式縮短一點(diǎn),從而得解,過程富有節(jié)奏感;解法三則運(yùn)用了“錯位相減法”,技巧性較強(qiáng),但具有
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