初中數(shù)學(xué)最值問題專題分類講解全書

初中數(shù)學(xué)最值問題專題分類講解全書●平面幾何中的最值問題●幾何的定值與最值●最短路線問題●對稱問題●巧作“對稱點”妙解最值題●數(shù)學(xué)最值題的常用解法●求最值問題●有理數(shù)的一題多解●平面幾何中的最值問題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題．如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟問題聯(lián)系起來，可以達(dá)到最經(jīng)濟、最節(jié)約和最高效率．下面介紹幾個簡例．在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。

最值問題的解決方法通常有兩種：

（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：

①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

②兩點間線段最短；

③連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

④定圓中的所有弦中，直徑最長。

⑵運用代數(shù)證法：

①運用配方法求二次三項式的最值；

②運用一元二次方程根的判別式。

例1、A、B兩點在直線l的同側(cè)，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。

分析：在直線L上任取一點P’，連結(jié)AP’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,則P’必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點，所以這種思路錯誤。取點A關(guān)于直線L的對稱點A’，則AP’＝AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,當(dāng)P’移到A’B與直線L的交點處P點時A’P’+B’P’＝A’B，所以這時PA+PB最小。

1已知AB是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問怎樣剪這個梯形，才能使梯形ABDC的周長最大(圖3－91)？分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長，可設(shè)半圓半徑為R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若設(shè)CD=2y，AC=x，那么只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，則x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有當(dāng)x=R時取等號，這時有所以2y=R=x．所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個頂點C，D，這時，梯形的底角恰為60°和120°．2.如圖3－92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8米(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？分析與解設(shè)x表示半圓半徑，y表示矩形邊長AD，則必有

2x+2y+πx=8，若窗戶的最大面積為S，則把①代入②有即當(dāng)窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最大．3.已知P點是半圓上一個動點，試問P在什么位置時，PA+PB最大(圖3－93)？分析與解因為P點是半圓上的動點，當(dāng)P近于A或B時，顯然PA+PB漸小，在極限狀況(P與A重合時)等于AB．因此，猜想P在半圓弧中點時，PA+PB取最大值．設(shè)P為半圓弧中點，連PB，PA，延長AP到C，使PC=PA，連CB，則CB是切線．為了證PA+PB最大，我們在半圓弧上另取一點P′，連P′A，P′B，延長AP′到C′，使P′C′=BP′，連C′B，CC′，則∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四點共圓，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．4如圖3－94，在直角△ABC中，AD是斜邊上的高，M，N分別是△ABD，△ACD的內(nèi)心，直線MN交AB，AC于K，L．求證：S△ABC≥2S△AKL．證連結(jié)AM，BM，DM，AN，DN，CN．因為在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因為M，N分別是△ABD和△ACD的內(nèi)心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因為∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以

∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四點共圓，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因為△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而從而所以S△ABC≥S△AKL．5.如圖3－95．已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊上)有兩點P，Q．求證：PQ≤AB．證設(shè)過P，Q的直線與AB，AC分別交于P1，Q1，連結(jié)P1C，顯然，PQ≤P1Q1因為∠AQ1P1+∠P1Q1C所以∠AQ1P1和∠P1Q1C若∠AQ1P1≥90°，則PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，則PQ≤P1Q1≤P1同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一個直角或鈍角，不妨設(shè)∠BP則P1C對于P，Q兩點的其他位置也可作類似的討論，因此，PQ≤AB．6.設(shè)△ABC是邊長為6的正三角形，過頂點A引直線l，頂點B，C到l的距離設(shè)為d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中賽題)．解如圖3－96，延長BA到B′，使AB′=AB，連B′C，則過頂點A的直線l或者與BC相交，或者與B′C相交．以下分兩種情況討論．(1)若l與BC相交于D，則所以只有當(dāng)l⊥BC時，取等號．(2)若l′與B′C相交于D′，則所以上式只有l(wèi)′⊥B′C時，等號成立．7.如圖3－97．已知直角△AOB中，直角頂點O在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長AO，BO分別與單位圓交于C，D．試求四邊形ABCD面積的最小值．解設(shè)⊙O與AB相切于E，有OE=1，從而即AB≥2．當(dāng)AO=BO時，AB有最小值2．從而所以，當(dāng)AO=OB時，四邊形ABCD面積的最小值為●幾何的定值與最值幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題，解幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1．特殊位置與極端位置法；2．幾何定理(公理)法；3．?dāng)?shù)形結(jié)合法等．注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點變?yōu)闊狳c．這是由于這類問題具有很強的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．【例題就解】【例1】如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD，則CD長度的最小值為．思路點撥如圖，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越小，CD越小，本例也可設(shè)AP=，則PB=，從代數(shù)角度探求CD的最小值．注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與極端位置是指：(1)中點處、垂直位置關(guān)系等；(2)端點處、臨界位置等．⌒⌒A．從30°到60°變動B．從60°到90°變動C．保持30°不變D．保持60°不變思路點撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點C時，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷．注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當(dāng)變化的元素運動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，研究的量取得定值與最值．【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD，AB=，BC=(>)，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q，求AP+BQ的最小值．思路點撥設(shè)AP=，把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示，運用不等式(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)來求最小值．⌒【例4】如圖，已知等邊△⌒思路點撥即要證AK·BN是一個定值，在圖形中△ABC的邊長是一個定值，說明AK·BN與AB有關(guān)，從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊，作一個大膽的猜想，AK·BN=AB2，從而我們的證明目標(biāo)更加明確．注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題．【例5】已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．思路點撥頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當(dāng)頂點Z在斜邊AB上時，取xy的中點，通過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點Z在(AC或CB)上時，設(shè)CX=，CZ=，建立，的關(guān)系式，運用代數(shù)的方法求直角邊的最大值．注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運用相應(yīng)的代數(shù)知識方法求解．常見的解題途徑是：(1)利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運用判別式求幾何最值；(2)構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為，最小值為．2．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不同于點O)，則△PQR的周長的最小值為．3．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則的最大值等于．4．如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為()A．1B．C．D．5．如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點P從A點出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離是()A．B．C．D．6．如圖、已知矩形ABCD，R，P戶分別是DC、BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP、RP的中點，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是()A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的長不能確定7．如圖，點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．(1)求證：MN∥AB；(2)若AB的長為l0cm，當(dāng)點C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點C，使線段MN的長度最長?若存在，請確定C點的位置并求出MN的長；若不存在，請說明理由．(2002年云南省中考題)8．如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．9．已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．(1)當(dāng)點P在線段AB上時(如圖)，求證：PA·PB=PE·PF；(2)當(dāng)點P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明，如果不成立，請說明理由．10．如圖，已知；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是()A．8B．12C．D．1411．如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點A，線段DB上AB于點B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是()A．B．C．D．12．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長度．13．如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點，AV與DU相交于點P，BV與CU相交于點Q．求四邊形PUQV面積的最大值．14．利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇，使花壇全部都能噴到水．已知每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓，問如何設(shè)計(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬)，才能使矩形花壇的面積最大?15．某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個八邊形居民廣場(平面圖如圖所示)．其中，正方形MNPQ與四個相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為800平方米．(1)設(shè)矩形的邊AB=(米)，AM=(米)，用含的代數(shù)式表示為．(2)現(xiàn)計劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元；在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元；在四個三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方米造價為40元．①設(shè)該工程的總造價為S(元)，求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式．②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請列出設(shè)計方案；若不能，請說明理由．③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73000元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請列出所有可能的設(shè)計方案；若不能，請說明理由．(鎮(zhèn)江市中考題)16．某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，邊長和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積(精確到1m2參考答案●最短路線問題通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點的線中，直線段最短”為原則引申出來的．人們在生產(chǎn)、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題．在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點在同一平面內(nèi)，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個共同點：當(dāng)研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開在一個平面上，兩點間的最短路線則是連結(jié)兩點的直線段．這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個平面的．例如，在地球（近似看成圓球）上A、B二點之間的最短路線如何求呢？我們用過A、B兩點及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個大圓周上A、B兩點之間不超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點間的最短路線，航海上叫短程線．關(guān)于這個問題本講不做研究，以后中學(xué)會詳講．在求最短路線時，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點之間的最短距離問題，而兩點之間直線段最短，從而找到所需的最短路線．像這樣將一個問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€和它等價的問題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法．例1如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報．在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時間，請你在圖中標(biāo)出來．解：要選擇最節(jié)省時間的路線就是要選擇最短路線．作點A關(guān)于河岸的對稱點A′，即作AA′垂直于河岸，與河岸交于點C，且使AC=A′C，連接A′B交河岸于一點P，這時P點就是飲馬的最好位置，連接PA，此時PA＋PB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線．證明：設(shè)河岸上還有異于P點的另一點P′，連接P′A，P′B，P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而這里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是連接兩點的折線段大于直線段，所以PA+PB是最短路線．此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等．看下面例題．例2如圖一只壁虎要從一面墻壁α上A點，爬到鄰近的另一面墻壁β上的B點捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線呢？解：我們假想把含B點的墻β順時針旋轉(zhuǎn)90°（如下頁右圖），使它和含A點的墻α處在同一平面上，此時β轉(zhuǎn)過來的位置記為β′，B點的位置記為B′，則A、B′之間最短路線應(yīng)該是線段AB′，設(shè)這條線段與墻棱線交于一點P，那么，折線4PB就是從A點沿著兩扇墻面走到B點的最短路線．證明：在墻棱上任取異于P點的P′點，若沿折線AP′B走，也就是沿在墻轉(zhuǎn)90°后的路線AP′B′走都比直線段APB′長，所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線．由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個平面上的兩點之間的最短路線時，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時，把處在同一平面上的兩點連起來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線．例3長方體ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小蟲從頂點D′出發(fā)，沿長方體表面爬到B點，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖（1））解：因為小蟲是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D′、B兩點的兩個相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個“展開”后的平面上D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點的直線段，這樣，從D′點出發(fā)，到B點共有六條路線供選擇．①從D′點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點，將這兩個面攤開在一個平面上（上頁圖（2）），這時在這個平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點的直線段，它是直角三角形ABD′的斜邊，根據(jù)勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．②容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點的最短距離也是5．③從D′點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點．將這兩個面攤開在同一平面上，同理求得在這個平面上D′、B兩點間的最短路線（上頁圖（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．④容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點的最短距離的平方也是29．⑤從D′點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點，將這兩個平面攤開在同一平面上，同理可求得在這個平面上D′、B兩點間的最短路線（見圖），D′B2=（2+4）2+12=37．⑥容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點的最短距離的平方也是37．比較六條路線，顯然情形①、②中的路線最短，所以小蟲從D′點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點（上頁圖（2）），或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點的路線是最短路線，它的長度是5個單位長度．利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決一些類似的問題，例如求六棱柱兩個不相鄰的側(cè)面上A和B兩點之間的最短路線問題（下左圖），同樣可以把A、B兩點所在平面及與這兩個平面都相鄰的平面展開成同一個平面（下右圖），連接A、B成線段AP1P2B，P1、P2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點，則折線AP1P2B就是AB間的最短路線．圓柱表面的最短路線是一條曲線，“展開”后也是直線，這條曲線稱為螺旋線．因為它具有最短的性質(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用．如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題．例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起點固定在A點，繞一周之后終點為B點，問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？解：將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開，展開成平面圖形如上頁右圖（把圖中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時，A′、B′分別與A、B重合），連接AB′，再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀，則AB′在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路．圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線．請看下面例題．例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為AO的中點，試求以A為起點，以B為終點且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線．解：將圓錐面沿母線AO剪開，展開如上右圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時，A′、B′分別與A、B重合），在扇形中連AB′，則將扇形還原成圓錐之后，AB′所成的曲線為所求．例6如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點去尋找食物，已知A點沿母線到桶口C點的距離是12厘米，B點沿母線到桶口D點的距離是8厘米，而C、D兩點之間的（桶口）弧長是15厘米．如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走？路程總長是多少？分析我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長到F，使DF＝BD，即以直線CD為對稱軸，作出點B的對稱點F，用F代替B，即可找出最短路線了．解：將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長BD到F，使DF=BD，即作點B關(guān)于直線CD的對稱點F，連結(jié)AF，交桶口沿線CD于O．因為桶口沿線CD是B、F的對稱軸，所以O(shè)B＝OF，而A、F之間的最短線路是直線段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之間的最短距離就是AO＋OB，故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點爬去．延長AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD，根據(jù)勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．即螞蟻爬行的最短路程是25厘米．例7分析因為橋垂直于河岸，所以最短路線必然是條折線，直接找出這條折線很困難，于是想到要把折線化為直線．由于橋的長度相當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長是定值．因此，從A點作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除，找出B、C兩點之間的最短路線，問題就可以解決．解：如上圖，過A點作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河寬，連結(jié)BC交河岸于D點，作DE垂直于河岸，交對岸于E點，D、E兩點就是使兩村行程最短的架橋地點．即兩村的最短路程是AE＋ED＋DB．例8在河中有A、B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽，規(guī)則要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短？解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對稱點A′和B′，連結(jié)A′、B′分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點，則A→E→F→B→A是最短路線，即最短路程為：AE＋EF＋FB＋BA．證明：由對稱性可知路線A→E→F→B的長度恰等于線段A′B′的長度．而從A島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用對稱方法都可以化成一條連接A′、B′之間的折線，它們的長度都大于線段A′B′，例如上圖中用“·—·—·”表示的路線A→E′→F′→B的長度等于折線AE′F′B的長度，它大于A′B′的長度，所以A→E→F→B→A是最短路線．●對稱問題教學(xué)目的：進(jìn)一步理解從實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法，對于軸對稱問題、中心對稱問題有一個比較深入的認(rèn)識，可以通過對稱的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。教學(xué)重點和難點：猜想驗證的過程，及幾何問題的說理性。一、點關(guān)于一條直線的對稱問題問題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？問題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在B處，小河為L，小明要在直線L上找一個點C（小狗在C處飲水），使得AC+BC最短。（如圖所示）知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短，可以得出結(jié)果。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對稱有兩類，一類是軸對稱，一類是中心對稱。軸對稱有兩個基本特征：垂直與相等。構(gòu)造點M關(guān)于直線PQ的軸對稱點N的方法是：過M作MO垂直于PQ于點O，并延長MO到點N，使NO=MO，則點N就是點M關(guān)于直線PQ的對稱點。問題分析：過A作AO垂直于直線L于點O，延長AO到點A’，使A’O=AO，連接A’B，交直線L于點C，則小明沿著ACB的路徑就可以滿足小狗喝上水，同時又使回家的路程最短。問題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對稱的性質(zhì)。問題的延伸1：已知直線L外有一個定點P，在直線L上找兩點A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m為定值）提示：作PC平行于AB，且PC==AB，則問題變?yōu)椋涸谥本€L上找一個點B，使它到P、C兩點的距離之和最短。問題的延伸2：在兩條相交線之外有一個定點P，分別在兩條直線上找點B、C使得PB+BC+CP最短，如何確定B、C的位置？提示：分別作點P關(guān)于直線L1和直線L2的對稱點P1和P2，連接P1P2分別與兩直線交于B、C點，則PB+BC+PC最短。證明方法同上。二、橋該建在哪里：問題超市：農(nóng)場里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚。在河的兩岸有兩個加工廠，農(nóng)場主經(jīng)常要在這兩個工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買了一輛汽車，想在農(nóng)場內(nèi)建造一條馬路，同時在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應(yīng)該建在何處，才能使兩個加工廠之間的路程最短？問題數(shù)學(xué)化：在直線L1和直線L2之間作一條垂線段CD，使得BC+CD+DA最短。知識介紹：關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點的所有線中，線段最短（兩點之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明。另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。）問題分析：由于CD的長度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想辦法把線段AD平移到和線段BC共線的位置，于是變化為下面兩圖。問題的總結(jié)與結(jié)論：一般來說，我們利用圖形的對稱性尋找到最近的位置，然后利用三角形和對稱的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問題的延伸：如果有兩條河，需要建造兩座橋，又該如何呢？如圖，把A向下平移到A’的位置，使線段AA’等于河L1－L2的寬度；把B向上平移到B’的位置，使線段BB’等于河L3－L4的寬度。連接線段B’A’，交L2于點C，交L3于點F。過C、F分別作垂線段CD、FE，就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流建更多的橋又如何呢？三、對稱問題的進(jìn)一步延伸。我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對稱的特點找到一些特殊位置使得線段和最小，那么對于線段差最小的問題，是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論呢？1、直線L的異側(cè)有兩個點A、B，在直線L上求一個點C，使得：A、B到C的距離的差的絕對值最小。2、你認(rèn)識一些什么樣的軸對稱圖形，它們各自有什么樣的幾何性質(zhì)？等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地：問題超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫一條直線為分界線，把耕地平均分成兩塊，分別承包給兩個人，BC邊是灌溉用的水渠的一岸。兩個人不知道怎么平分土地最能滿足個人的需要，你看這個土地的形狀（比較規(guī)則的L形）（如右圖所示），應(yīng)該怎樣平分呢？問題數(shù)學(xué)化：如何在由兩個矩形所組成（割、補）的圖形中尋找一條直線，使得圖形被分成兩部分，且兩部分的面積相等，而且，均含有BC邊的一部分。問題分析：1、如何才能把一個矩形的面積等分。如圖，可以應(yīng)用矩形的兩條對角線所在的直線AC、BD，每組對邊的中點所在直線MP、NQ，且這四條直線都交于同一點O，對矩形的對稱中心。即經(jīng)過對稱中心O的任意一條直線都可以平分矩形的面積。2、利用這個結(jié)論，土地可以看成是兩個矩形進(jìn)行割、補得到的，分別在每個圖中作兩個矩形的對稱中心，經(jīng)過這兩個點作一條直線，這條直線就可以把這兩個矩形的面積進(jìn)行平分，分別如上面三個圖形所示：問題的延伸：三個方案確定之后，兩個農(nóng)民并不滿意，他們認(rèn)為：“這三種方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC邊并沒有被平分?！眱扇藶榱斯喔确绞梗枷氚芽拷吹腂C邊也平分了，誰會愿意要水源少的那塊地呢？這三種分地的方法并不公平。那為了既平分土地，也平分水源，有什么辦法呢？問題的分析：（如右圖所示）直線QR就是原來的分界線l，取線段QR的中點為S，取線段BC的中點為P，則直線PS就是滿足兩個農(nóng)民要求的分界線。問題的證明：與中，三組內(nèi)角對應(yīng)相等，且RS=PS，則兩個三角形全等，所以兩個三角形的面積相等，于是經(jīng)過直線TP的分界仍保證了土地的平分，且過點P也使得水源得到了平分。思考：如果用后兩種方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？五、臺球桌上的數(shù)學(xué)問題問題超市：臺球被打到臺球桌邊上，反彈回來，就是我們常用的對稱問題。臺球從球桌的一個角出發(fā)，若沿著角將球打到對邊，然后，球經(jīng)過幾次碰撞，最后到另外的三個角落之一。如果臺球桌的長和寬之比為2:1，需要碰撞幾次？如果臺球桌的長和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會怎樣？知識介紹：此題類似于物理中光線的反射，當(dāng)光線入射到平面鏡上的時候，光線會被鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)上就是軸對稱。在臺球桌（長方形），由于入射角是，所以反射角也是，這樣入射線和反射線形成一個直角，相應(yīng)的，在臺球桌上就構(gòu)成了一個等腰直角三角形，利用這一性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。問題分析：我們分下面幾種情況進(jìn)行分析：（1）如果長寬比為2:1，如圖，則1次就夠了；（2）如果長寬比為3:2，如圖，則要碰撞3次，可以到左下角；（3）如果長寬比為4:3，如圖，則要碰撞5次，可以進(jìn)洞；（4）如果長寬比為5:3和7:5，分別如下圖所示，分別需要6和10次碰撞可以進(jìn)洞。問題的總結(jié)：臺球桌的長a臺球桌的寬b碰撞的次數(shù)c可能的關(guān)系2112+1－2=13233+2－2=34354+3－2=55365+3－2=675107+5－2=10ab?問題的猜想：如果臺球桌的長和寬之比為m:n（其中m、n互質(zhì)的正整數(shù)），那么碰撞的次數(shù)是：●巧作“對稱點”妙解最值題在初中平面幾何尤其在初中數(shù)學(xué)競賽題中，我們經(jīng)常會碰到求兩線段和的最大值或和最小值的問題，對這類題目大家感到無從下手，求解有一定的難度，但只要通過作“對稱點”都可迎刃而解的，現(xiàn)舉例說明如下：例1如圖1，點A、B表示兩個村莊，直線L表示一條公路，（村莊A、B在公路的同側(cè)）現(xiàn)要在公路L上建造一個汽車站，使車站到A、B兩個村莊的距離之和最短，問車站應(yīng)建在何處？解作A點于L的對稱點，連結(jié)B交L于C，則點C就是所建車站的位置。證明在直線L上另取一點連結(jié)AC，A，，，因為直線L是點A、的對稱軸，點C在對稱軸上，所以AC=A，A=， 所以AC+CB=A+CB=B， 在△中， 因為B<+， 所以AC+CB<A+即AC+CB最小 例2已知定點A（1，2），B（3，4），在x軸的點P，使點P到A、B兩點距離之和最短，求P點坐標(biāo)。解由例1啟發(fā)，如圖2作A（1，2）關(guān)于x軸的對稱點（1，-2）則過點（1，-2）、B（3，4）兩點的直線解析為：，該直線與x軸交點坐標(biāo)為即為所求P點坐標(biāo)。（證略） 例3如圖3，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE與PC的長度和的最小值。解因為ABCD為正方形，所以A、C是關(guān)于BD所在直線對稱的對稱點，連結(jié)AP，由對稱性知：AP=PC，則PC+PE的最小值為AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1證明可知即為線段AE。在中。本例還可如圖4，在AB上作點E關(guān)于BD的對稱點，連，，同樣有。例4三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是邊BC上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和t則=__________________分析本題比上例更有一定的難度，S還好求，因為PA≤AC，PM≤CM，所以，當(dāng)點P為頂點C時，等號成立，所以。關(guān)鍵在于T，以BC為邊作正三角形，如圖5，作M關(guān)于BC所在的直線對稱點，連結(jié)、，因為，所以在上，且，PM=，PA+PM=PA+≥，連結(jié)，則，所以所以。所以 例5矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、AB上各取一點M、N，使MB+MN值最小，求這個最小值。解如圖6，作B關(guān)于AC的對稱點，連結(jié)，則N點關(guān)于AC的對稱點在上，這時BM+MN的最小值，即為BM+M的最小值，顯然BM+M的最小值等于點B到的距離BH。 現(xiàn)在求BH的長，設(shè)與DC交于P點，連結(jié)BP，則 設(shè)AP=PC=x，則DP=20-x 在Rt△APD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即，解得x=12.5（厘米），即AP=12.5（厘米）。 所以， 即BM+MN的最小值是16厘米。 通過作“對稱點”使幾何題中求兩線段和的最大或最小值，這類難題得到順利解決。此法簡單明了，直觀易懂，而對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生空間想象能力確有一定的幫助。●數(shù)學(xué)最值題的常用解法在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有①若當(dāng)時，y有最小值。；②若當(dāng)時，y有最大值。。利用二次函數(shù)的這個性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計算，從而達(dá)到解決實際問題之目的。例1.某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為，。（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為1750元；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）根據(jù)題意得整理得解得，（不合題意，舍去）（2）由題意知，利潤為所以當(dāng)時，最大利潤為1950元。二.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大（小）值；但當(dāng)時，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（小）值。例2.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少？解：設(shè)招聘甲種工種的工人為x人，則乙種工種的工人為人，由題意得：所以設(shè)所招聘的工人共需付月工資y元，則有：（）因為y隨x的增大而減小所以當(dāng)時，（元）三.判別式法例3.求的最大值與最小值。分析：此題要求出最大值與最小值，直接求則較困難，若根據(jù)題意構(gòu)造一個關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實數(shù)，推得，進(jìn)而求出y的取值范圍，并由此得出y的最值。解：設(shè)，整理得即因為x是實數(shù)，所以即解得所以的最大值是3，最小值是。四.構(gòu)造函數(shù)法“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此它們的解往往離不開函數(shù)。例4.求代數(shù)式的最大值和最小值。解：設(shè)，，再令，，則有所以得y的最大值為，最小值為五.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為k。例5.設(shè)a、b為實數(shù)，那么的最小值為_______。解：當(dāng)，，即時，上式等號成立。故所求的最小值為－1。六.零點區(qū)間討論法例6.求函數(shù)的最大值。分析：本題先用“零點區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對值符號，然后求出y在各個區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個定義域上的最大值。解：易知該函數(shù)有兩個零點、當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)?shù)卯?dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，y有最大值為七.利用不等式與判別式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。例7.已知x、y為實數(shù)，且滿足，，求實數(shù)m最大值與最小值。解：由題意得所以x、y是關(guān)于t的方程的兩實數(shù)根，所以即解得m的最大值是，m的最小值是－1。八.“夾逼法”求最值在解某些數(shù)學(xué)問題時，通過轉(zhuǎn)化、變形和估計，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為“夾逼法”。例8.不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為________。解：設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h因為，所以又因為，代入得，所以又因為，代入得，所以所以3<h<6，故整數(shù)h的最大值為5?！袂笞钪祮栴}最值型應(yīng)用問題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值和社會價值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問題。利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實數(shù)，因此不存在最大最小值（簡稱“最值”），但在實際問題中，因題目中的自變量受到實際問題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。例１、（2008年泉州市初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查）紅星服裝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一批A、B兩種型號的演出服，已知每小時生產(chǎn)A型演出服比B型演出服少2套，且生產(chǎn)18套A型演出服與生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間相同。設(shè)該廠每小時可生產(chǎn)A型演出服a套，用含a的代數(shù)式表示該廠生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間；求出a的值。若該廠要在8小時之內(nèi)（含8小時）先后生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服50套，且生產(chǎn)一套A、B兩種型號的演出服可得利潤分別為40元和30元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服的套數(shù)，才能使獲得的總利潤最大？最大的總利潤是多少元？分析：（１）①或②解得（２）設(shè)生產(chǎn)A型演出服套，依題意得，解得。W利潤＝W利潤是一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性∵∴W隨的增大而增大，∵，∴當(dāng)時，W利潤有最大值＝例２某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：AB成本(萬元/套)2528售價(萬元/套)3034

(1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案?(2)該公司如何建房獲得利潤最大?(3)根據(jù)市場調(diào)查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大?注：利潤=售價-成本分析：(1)設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-x)套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，可列出兩個不等式，解不等式組，即可求出x的取值范圍，進(jìn)而確定x的正整數(shù)值.(2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決.(3)要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏,注意思維的縝密性.解析：(1)設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-x)套．由題意知2090≤25x+28(80-x)≤209648≤x≤50∵x取非負(fù)整數(shù)，∴x為48，49，50．∴有三種建房方案：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套(2)設(shè)該公司建房獲得利潤Ｗ(萬元)．由題意知Ｗ=5x+6(80-x)=480-x∴當(dāng)x=48時，Ｗ最大=432(萬元)即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤最大(3)由題意知Ｗ=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x∴當(dāng)O<a<l時，x=48，Ｗ最大，即A型住房建48套，B型住房建32套當(dāng)a=l時，a-1=0，三種建房方案獲得利潤相等當(dāng)a>1時，x=50，Ｗ最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.說明:此題的第(1)問是利用一元一次不等式組解決的,第(2)、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的,要注意三問相互聯(lián)系.二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具３至５個，若每天須生產(chǎn)這種玩具４００個，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題，這里４００是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn)x個玩具，需要工人名。則有。（３，且x為整數(shù)）∵當(dāng)時，隨的增大而減小，∴，即∵為正整數(shù)，∴?。福爸粒保常?。即須招聘工人為80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題對于某些與二次函數(shù)有關(guān)的實際問題，如果我們能夠?qū)嶋H問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，建立起二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，可以解決許多實際問題。例１．將進(jìn)貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為多少？解：設(shè)利潤為元，每個售價為元，則每個漲（－50）元，從而銷售量減少∴＜100）∴答：為了賺取最大利潤，售價應(yīng)定為70元．例２、（泉州市2008年中考題）某產(chǎn)品第一季度每件成本為元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為⑴請用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；⑵如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少元，試求的值⑶該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價為元，第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤為元，試求與的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求的最大值（注：利潤銷售價成本）分析：（1）⑵解得（3）解得而，∴而＝＝∵當(dāng)時，利用二次函數(shù)的增減性，隨的增大而增大，而，∴當(dāng)時，最大值＝18（元）說明：當(dāng)自變量取值范圍為體體實數(shù)時，二次函數(shù)在拋物線頂點取得最值，而當(dāng)自變量取值范圍為某一區(qū)間時，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：若拋物線頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。若拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)，則區(qū)間兩端點所對應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。四、利用對稱性來求最值問題。類這題涉及的知識面廣，綜合性強，解答有一定的難度。（一）在幾何題組中的應(yīng)用ＥＤＣＢＢＡＰＥＤＣＢＢＡＰＭ`分析：由菱形的性質(zhì)知：點Ｂ與點Ｄ關(guān)于ＡＣ對稱。因為Ｐ在ＡＣ上支運動，所以ＰＢ＝ＰＤ。要求PE+PB的最小最，即求PＤ+PB的最小值。連接ＤＥ交ＡＣ于點，則ＤＥ即為所求。又∠BAD＝60°，ＡＥ＝ＡＤ，Ｅ為ＡＢ的中點，所以ＤＥ⊥ＡＢ，而ＡＢ＝ＡＤ＝２，所以ＤＥ＝，即PＤ+PB的最小值為ＰＯＢＡＱＲ例２、如圖，ＰＯＢＡＱＲ分析：作Ｐ關(guān)于ＯＡ，ＯＢ的對稱點，。連接，分別交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。如圖所示，再連接ＰＱ，ＰＲ。易知Ｑ＝ＰＱ，Ｒ＝ＰＲ，所以△ＰＱＲ的周長＝Ｑ+ＱＲ+Ｒ。根據(jù)兩點之間線段最短，△ＰＱＲ的周長＝，而∠ＰＯＡ＝∠ＯＡ，∠ＰＯＢ＝∠ＯＢ，且ＯＰ＝Ｏ＝Ｏ＝１０，又∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠Ｏ＝９０°即△Ｏ為等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周長的最小值為（二）在代數(shù)題組中應(yīng)用ABOCDEABOCDEMXY且A（－1，0）。求拋物線的解析式及頂點Ｄ的坐標(biāo)判斷△ＡＢＣ的形狀，證明你的結(jié)論。點Ｍ（m，0）是Ｘ軸上的一個動點，當(dāng)ＭＣ+ＭＤ的值最小時，求m的值分析：（1）將A（－1，0）代入得，所以拋物線的解析式配方得：，所以頂點D（2）求出AC=，BC=，而AB=5∴，故△ＡＢＣ為RT△（3）作點C關(guān)于X軸的對稱點E（，0），連接DE交X軸于點M，通過兩點式可求得直線DE的XOAEBPDYCXOAEBPDYCF32MN∴Ｍ（，0）即m=例2、如圖以矩形ＯＡＢＣ的頂點Ｏ為原點，ＯＡ所在的直線為Ｘ軸，ＯＣ所在的直線為Ｙ軸，建立平面直角坐標(biāo)系。已知ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，點Ｅ是ＡＢ的中點，在ＯＡ上取一點Ｄ，將△ＢＡＤ沿ＢＤ翻折，使點Ａ落在ＢＣ邊上的點Ｆ處。直接寫出點Ｅ、Ｆ的坐標(biāo)：設(shè)頂點為Ｆ的拋物線交Ｙ軸正半軸于點Ｐ，且以Ｅ、Ｆ、Ｐ為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；在Ｘ軸、Ｙ軸上是否分別存在點Ｍ、Ｎ，使得四邊形ＭＮＦＥ的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。分析：（1）Ｅ（3，1），F(xiàn)（1，2）在RT△FEB中，F(xiàn)B=2，BE=1，∴EF=，當(dāng)時，（0，0）不合題意當(dāng)時，如圖所示P（0，4）設(shè)拋物線的解析式為，且過點P（0，4），代入得∴，∴作點F關(guān)于Y軸的對稱點，點E關(guān)于X軸的對稱點，連接分別交X軸，Y軸于點M，N。此時四邊形ＭＮＦＥ的周長最小，∵=FN+MN+ME==，∴四邊形ＭＮＦＥ的周長最小值=+EF=●有理數(shù)的一題多解有理數(shù)是學(xué)生進(jìn)入初中階段接觸的第一塊系統(tǒng)學(xué)習(xí)的代數(shù)知識，它不僅在知識體系上讓學(xué)生第一次領(lǐng)略了系統(tǒng)性、層次性，而且也滲透了“分類”、“一題多解”等好的數(shù)學(xué)思想。所謂“一題多解”，是指答案的多樣性或方法的多樣性。本文試就本章出現(xiàn)的一題多解問題作一歸類說明。絕對值方程中的一題多解一個數(shù)的絕對值表示點到原點的距離，而互為相反數(shù)的兩數(shù)到原點的距離相同，故方程|x|=a(a>0)的解有兩個：x1=a或x2=—a,他們是一對互為相反數(shù)。例1解方程|x+1|=2解：∵|x+1|=2，∴x+1=2或—2，∴x=1或—3.評注：若|x|=0,則x=0,此時方程只有一解，注意區(qū)別。例2方程|x-2|+|x-3|=1的解的個數(shù)是()A、0B、1C、2D、3E、多于3（第41屆美國高中數(shù)學(xué)競賽，第4屆初中祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請賽試題）3210解：該題的幾何意義是：點x到2的距離與到3的距離的和等于1，由圖形可知，x在這兩點之間（含這兩點），3210即方程的解是2≤x≤3,故選E最值問題中的一題多解所謂最值，即指最大值或最小值，在本章中涉及的最值問題主要是與絕對值相關(guān)的距離的最值，在競賽中會有所涉及。例3求y=|x-1|+|x+3|的最值，并求此時x的取值范圍。BA310解：根據(jù)絕對值的幾何意義，y表示數(shù)軸上的一點x到兩點1和3之間的距離之和，從數(shù)軸上看，當(dāng)x<1或x>3時,y取不到最大、最小值，當(dāng)1≤x≤3時，y可取最小值2，此時使y取最小值2的BA310點分布在線段AB上，即1≤x≤3.例4求y=|x-1|-|x-3|的最值，并求此時x的取值范圍。解:同例3,y表示數(shù)軸上的點x到點1、3的距離之差，分情況討論如下：x3103310101)x>3時，y=2x3103310102)1≤x≤3時,-2≤y≤2x3)x<1時，y=-2.x故y取最大值為2，此時x≥3,取最小值-2，此時x≤1.x評注：例3與例4的區(qū)別在于相差一個x符號，而結(jié)果卻大相徑庭。但這一點從幾何意義上來看，是很清晰的。所以，對于此類與距離有關(guān)的最值問題，我們可以借助于圖形，以獲得直觀的理解。乘方運算中的一題多解在乘法運算中，根據(jù)符號法則——同好得正，異號得負(fù)，故有11=1，(-1)(-1)=1，故解方程x2=1時，x可取1或-1，即二次方程x2=1有二解。當(dāng)然，這里的1可以換成其他的數(shù)。例5解方程(x-3)2=9解：∵32=9,(-3)2=9,∴x-3=3或-3，∴x=0或6.評注：由于所學(xué)知識有限，現(xiàn)階段我們只能利用乘方的含義求解諸如“x2=a2,a為有理數(shù)”的二次方程，更一般的二次方程的解法構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的一大分支，將在以后學(xué)到。例6解方程x3=x解:由x3=x得x3-x=0,即：x(x2-1)=0,故，x=0或x2=1，即x=1或-1，綜上，原方程的解為x=0，1，-1.評注：并非所有的形如xn=a(a≥0)的方程都有多解，如x4=64就只有一個解x=4.一般地，對方程xn=a(a>0)，若n為偶數(shù)，則方程有2解，且二解互為相反數(shù)；若n為奇數(shù)，則只有一解。四則運算中的一題多解此處的“一題多解”取多種解法的意思。我們知道，四則運算中，運算律或運算技巧的使用可以讓我們充分領(lǐng)略“條條大路通羅馬”的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)我們熟悉多種方法后，可以選擇一種最好的。例7計算(--)(-)+(-)解一：原式=（--）()+(-)=-==-3解二：原式=（--）()+(-)==-2+1+-=-3評注：解法一在括號內(nèi)通分后計算，是通常的路子；解法二注意到括號內(nèi)分?jǐn)?shù)分子相同，可與括號外的分?jǐn)?shù)約分，使用了分配律，易于口算。因而快捷一些。例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.解一：S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2001-2002)+2003=(-1)+(-1)+(-1)+…(-1)+2003=-1001+2003=1002解二：S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=-=10021002-10021001=1002解三：S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-2002+2003)=1+11001=1002評注：解法一、三如出一轍，不過解法三靈活利用了減法的意義——減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因而避開了負(fù)數(shù)的運算，解題過程更“安全”；解法二思路簡單：正負(fù)數(shù)分別相加，再把結(jié)果相減，不過利用了數(shù)列的求和公式，技巧頗高。例9計算S=2-22-23-24-25-26-27-28-2解一：S=(22-2)–(23-22)-(24-23)-…(210-29)+210=22-2-23+22-24+23-…-210+2=22-2+22=6解二:S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2=(28-27)-26-25-…-22+2=……=23-22+2=6解三:由題意S=2-22-23-24-25-26-27-28-2故2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211兩式相減得S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6評注：解法一巧用相鄰兩項的關(guān)系得2n=2n+1-2n,因而利用加法運算律解決問題；解法二是“倒著走”，每一步總是把S得表達(dá)式縮短一點，從而得解，過程富有節(jié)奏感；解法三則運用了“錯位相減法”，技巧性較強，但具有