第三章圓的性質(56節(jié))圓的有關計算講義

龍文教育學科教師輔導講義

11課外輔導專家課 題教學目標重點、難點考點及考試要求一、知識梳理：C2r圓面積：Sr2

第三章圓的性質（5-6節(jié)圓的有關計算能夠運用弧長、扇形面積公式進行有關計算靈活公式進行有關計算教學內容CRC2R360°的圓心角所對的弧長，因此，1°的圓心角所對的弧長就是2R。360n°的圓心角所對的弧長是nR180lnR180

P120*這里的180、n在弧長計算公式中表示倍分關系，沒有單位。由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圓形叫做扇形。發(fā)現(xiàn)：扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形面積也就越大。R360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積SR2的扇形面積是：S nR21lR（n1°的倍數(shù)，無單位）扇形 360 2龍文教育·教務管理部11課外輔導專家圓錐的概念如果把這個側面展開在一個平面上，展開圖是一個扇形。SO，SOS的頂點。SOASOSO另外，連結圓錐的頂點和底面圓上任意一點的線段SA、SASA1 2錐的母線長都相等。母線定義：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。P由圖可得

122圓錐的高所在的直線是圓錐的軸，它垂直于底面，經(jīng)過底面的圓心；圓錐的母線長都相等圓錐的側面展開圖與側面積計算圓錐的側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側面的母線、圓心是圓錐的頂點、弧長是圓錐底面圓的周長。圓錐側面積是扇形面積。c，n（如圖，則它們之間有如下關系：cnl180同時，如果設圓錐底面半徑為r，周長為c，側面母線長為l，那么它的側面積是：龍文教育·教務管理部S圓側面

1clrl2

中小學1對1課外輔導專家圓錐的全面積為：rlr22rh。8、陰影部分的面積：1)2）不按規(guī)則圖形：采取“轉化”的數(shù)學思想方法，把不規(guī)則圖形的面積采取“割補法圖形面積。二、典例剖析：例：1、在⊙中，120°的圓心角所對的弧長為80cm，那么⊙O的半徑為 cm答案：120解：由弧長公式：l

nR得：180180lRn

18080120

120cm例：2、若扇形的圓心角為120°，弧長為10cm，則扇形半徑為 ，扇形面積為 。答案：15；25π例：3、如果一個扇形的面積和一個圓面積相等，且扇形的半徑為圓半徑的2倍，這個扇形的中心為 。答案：90°例4：已知扇形的周長為28cm，面積為則它的半徑為 cm答案：75：

AB10

，CD6，

，又AC=12，求陰影部分面積。解：OC=r，OA=r+12，∠O=n°l n(r12AB 180AB

10l nrCD 180CD

6n60r18∴OC=18，OA=OC+AC=30S S S陰 扇AOB 扇COD3 龍文教育·教務管理部1l2

OA1l2

OC

中小學1對1課外輔導專家AB CD110302

1618296例6：如圖，已知正方形的邊長為a，求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形的總面積。解：∵正方形邊長為a∴S a2，

1 R2

a( )

1 a2正S正方形

2S

半圓 2S半圓 兩個空白

2 2 8S

a22

1a28

a21

1a24S

2S

2

2a

a221 1S S陰

S

a2

(2a

a2)2

a2a222

a2

a2*也可看作四個半圓面積減去正方形面積S 4S

S 4

1 a( )

a

1 a

a2陰 半

2 2 2AB7：AB、CDOAB=8，CD=6，AB圓中的陰影部分的總面積為？解：CDB，D、B如圖，CE

的度數(shù)與

CD的度數(shù)的和為180°，那么CDABE

的度數(shù)為180°龍文教育·教務管理部∴AE是⊙O的直徑∴∠ABE=90°又∵AB=8，BE=CD=6

中小學1對1課外輔導專家由勾股定理AE

826210∴半徑OA

110521

1 25S S陰 半

SABE

52

862

24AB2AB8：在△AOBO=90°，OA=OB=4cmO陰影部分的面積。

為半徑畫

，以AB為直徑作半圓，求解：∵OA=4cm，∠O=90°∴S扇形AOB

90424cm360AB4 2cm，(2 2)2，S 8(cm2) S 4(cm2)AOB 半圓 2S S S (48)(cm2)弓形AmB 扇形AOB AOB則陰影部分的面積為：S S S 4(48)8(cm2)陰影 半圓 弓形AmB例9：①、②?m 是邊長均大于2的三角形，四邊形、??、凸n邊形，分別以它們的各頂點圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧，??圖①中3條弧的弧長的和為 圖②中4條弧的弧長的和為 求m 中n條弧的弧長的和（用n表示）龍文教育·教務管理部中小學1對1課外輔導專家（1）π，2π1：∵n（n－2）180°n(n360

1n212∴n2112

(n2)(n2)解法2：設各個扇形的圓心角依次為, , , 1 2 n則1

2

n

(n2)180∴n條弧長的和為：11

2 1

n1180 180

180( 1

180)n 180

(n2)180(n2)10：Rt△ABCBCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABCBCABC'AC（陰影部分）的面積為？分析：Rt△ACBC=90°，∠BAC=30°，AB=61BC

AB3,CBA602AC

AB

BC

3 3

A'C

1 BC'A'C'2

33 39 32龍文教育·教務管理部S

nr21206212

中小學1對1課外輔導專家扇A'BAS 扇形C'BC

36012032360

3603S S S S S 9陰影 扇A'BA A'C'B 扇C'BC ACB法二：以B為圓心，BC為半徑畫弧A'BD，ABD'有SA'C'B

S ，S SACB 扇C'BD 扇CBD'S 陰

扇ABA'

S扇D'BD

12062360

12032360

123911：Rt△ABCAB=13cmAC=5cmACAB解：BC 1325212(cm)以直線AC為軸旋轉一周所得的圓錐如圖所示，它的表面積為：S S S 1221213300(cm2)表 底 側龍文教育·教務管理部中小學1對1課外輔導專家以直線AB為軸旋轉一周，所得到的圖形如圖所示。1CD13260

15122CD13SS S CDBCCDAC上 下60136013

6012 513171020 13例12：一個圓錐的模型，這個模型的側面是用一個半徑為9cm，圓心角為240°的扇形鐵皮制作，用一塊圓形鐵皮做底，則這塊圖形鐵皮的半徑為 。答案：6例13：若圓錐的軸截面是一個邊長為2cm的等邊三角形，則這個圓錐的側面積是 答案：2π例14：已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側面展開圖的圓心角為 答案：160°例15：若圓錐的側面積是底面積的2倍，則側面展開圖的圓心角是 答案：180°龍文教育·教務管理部中小學1對1課外輔導專家例16：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm。畫出它的展開圖；計算這個展開圖的圓心角及面積。（1）煙囪帽的展開圖是扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面周長（如圖）（2）c，圓心角為α，l=50cmc80cm180cllc180

1808050

=288（度）S rl40506280(cm2)扇形例17：一個圓錐的高是10cm，側面展開圖是半圓，求圓錐的側面積。解：設圓錐底面半徑為r，圓錐母線長為l，扇形弧長（即半圓）為c，則由題意得2lc ,c2r222

2r,l2rRt△SOAl

r2

102由此求得r10 3

20(cm),l3

3(cm)故所求圓錐的側面積為S

rl 10

3203

32003

(cm2)龍文教育·教務管理部中小學1對1課外輔導專家18：蒙古包可以近似地看作圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建209m24m解：Sr2,9r2,r31∵h=4，∴l(xiāng)1SS S錐 柱rl2rh

h2r25135233.5152136S 2036720總答：至少要720平方米的毛氈。點將練兵已知扇形的弧長為6πcm，圓心角為60°，則扇形的面積為 。已知弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形弦長為a，則這個弓形的面積是 。如圖，在平行四邊形ABCD中，AB4 3，AD2 3，BD⊥AD，以BD為直徑的⊙O交AB于E，CD于F，則圖中陰影部分的面積為 。龍文教育·教務管理部中小學1對1課外輔導專家如圖，ABO1

的直徑，AO1

是⊙O2

MN//AB，MN⊙O2

CO1

的半徑2，OB、CN、

所圍成的陰影部分的面積是 。BN OC1 1如圖，△ABC為某一住宅區(qū)的平面示意圖，其周長為800m，為了美化環(huán)境，計劃在住宅區(qū)周5m內（虛線以內，△ABC之外）作綠化帶，則此綠化帶的面積為 。如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得陰影部分的面積為 。

AB6cm

，CD10cm，

，⊙O'與

都相切，則圖中如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2、4，∠AOB=120°，則陰影部分的面積為（ ）AB，CDA.4 B.2 C.43AB，CD

D.龍文教育·教務管理部中小學1對1課外輔導專家如圖，OA⊙OABOAO’的弦，O’BOC，OA=4，AB，AC∠OAB=45°，則由 AB，AC

和線段BC所圍成的圖形面積是