第80煉排列組合的常見(jiàn)模型

33第排一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）處理排列組合問(wèn)題的常用路：1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無(wú)要求的元素。例如：用0,1,2,3,4組重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，有多少種排法？解：五位數(shù)意味著首位不能是，以處首，有擇，而其余數(shù)位沒(méi)有要求，只需將剩下的元素全排列即可，以排法總數(shù)為

4A

44

種2、尋找對(duì)立事件：如果一件事正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對(duì)立面，再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面?zhèn)€數(shù)即可。例如：在件品中，有格品3件品。從這10件產(chǎn)任意抽出3件，有一件次品的情況有多少種解：如果從正面考慮，則“至少品”包含1件2件，件的情況，需要進(jìn)行分類討論果從對(duì)立面想只用所有抽取情況減去全是正品的情況即可式簡(jiǎn)單。

310

37

（種）3先取再（分組再排列

A

mn

是指從個(gè)素出m元素這m個(gè)素進(jìn)行排列時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需列的元素并非前一步選出的元素此要將過(guò)程拆分成兩個(gè)階段，可先將所需元素出，然后再進(jìn)行排列。例如男生和3名女生中3人從事同的工作這3人有一名女生，則選派方案有多少種。解：本題由于需要先確定人數(shù)的取，再能進(jìn)行分配（排列案分為兩步，第一步：確定選哪些學(xué)生，共有

C

24

C

13

種可能，然后將選出的三個(gè)人進(jìn)排列：A所以共有3C1A3433

種方案（二）排列組合的常見(jiàn)模型1、捆綁法（整體法有相元”，可相元為一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰素之間的順序即可。例如5人排隊(duì)，其中甲乙相，共有多少種不同的排法

4242解：考慮第一步將甲乙視為一個(gè)體，與其余3元素排列，則共有A種第二步考4慮甲乙自身順序，有

A

22

種位置，所以排法的總數(shù)為

AA242

種2、插空法：當(dāng)題目中有“不相元素”時(shí)，則可考慮用剩余元素“搭行“插空再各自的排注要在插空的過(guò)程中否可以插在兩邊（2要從題目中判斷是否需要自排序例如：有名同隊(duì)，其中甲不相鄰，則共有多少種不同的排法解下四名同臺(tái)要從5個(gè)中插入進(jìn)去

C

25種選擇，然后四名同學(xué)排序，甲排序。所以

25

44

22

種3、錯(cuò)位排列：排列好的個(gè)元經(jīng)過(guò)一次再序后，每個(gè)元素都不在原先的位置上，則稱為這個(gè)素一個(gè)錯(cuò)位排列。例如對(duì)于

，則

d

是其中一個(gè)錯(cuò)位排列。3個(gè)元素的錯(cuò)位排列有2素的錯(cuò)位排列有9種個(gè)素的錯(cuò)位排列有44種以上三種情況可作為結(jié)論記住例如排6班的班主任監(jiān)考六個(gè)班其中恰好有兩個(gè)班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種？解：第一步先確定那兩個(gè)班班主監(jiān)考自己班，共有C種然后剩下4個(gè)班任均不6監(jiān)考自己班，則為4個(gè)元錯(cuò)排列，共9種。以排數(shù)

C

26

1354、依次插空：如果在n個(gè)元的排列中有m個(gè)保持相對(duì)位置不變，則可以慮先將這m

個(gè)元素排好位置，再將n元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個(gè)元，下一個(gè)元素可選擇的空）例如：已知

6人排隊(duì)，其中

相對(duì)位置不變，則不同的排法有少種解慮先將

排好D有個(gè)可以選擇D進(jìn)入后E有空可以擇，以此類推，F(xiàn)有6種，所方法的總數(shù)為

N456120

種5、不同元素分組：將6、相同元素分組：將

nn

個(gè)不同元素放入個(gè)相同元素放入

mm

個(gè)不同的盒中個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則同的方法共有C

m1n1

種。解決此類問(wèn)題常用的方法是擋板法同，所以只需考慮每個(gè)盒子里

所含元素個(gè)數(shù)，則可將這

n

個(gè)元素排成一列，共有

n1

個(gè)空，使用

m1

個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這n個(gè)素劃分為m個(gè)域，剛好對(duì)應(yīng)那m盒子。例如：將個(gè)的小球放入到4不同的盒子里那么6球5個(gè)檔選3位置放“擋板

35

種可能7、涂色問(wèn)題：涂色的規(guī)則是“鄰區(qū)域涂不同的顏色題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論減種顏色的使用意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂中四個(gè)區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行類討論（1）用4顏色，則每個(gè)區(qū)涂一種顏色即可：

1

44（2）用3種，則有一對(duì)相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉可得：不相鄰所以涂色方案有：

2

34（3）用2顏色，則無(wú)法找符合條件的情況，所以討論終止總計(jì)

44

34

種二、典型例題：例：某電視臺(tái)邀請(qǐng)了6同學(xué)父母共人，位家的4位對(duì)子女的教育情況，如果這4中恰有一對(duì)是夫，則不同選擇的方法種數(shù)有多少思路：本題解決的方案可以是：挑選出一對(duì)夫妻，然后在挑選出兩個(gè)不是夫妻的即可。1第一步：先挑出一對(duì)夫妻：6第二步：在剩下的10人中選兩個(gè)不是夫妻的，使用間接法：

210

所以選擇的方法總數(shù)為

NC1C2

5

（種）答案：240種例某一天上個(gè)的班節(jié)一天共9節(jié)課午5節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)第5節(jié)節(jié)算上位一天的課表的所有不同排法有（）A.

474

種B.

77

種C.

462

種D.

79

種

32223222思路：本題如果用直接法考慮，在安排的過(guò)程中還要考慮兩節(jié)連堂，并且會(huì)受到第5,6節(jié)課連堂的影響，分類討論的情較多求如果使用間接法則更為容易在任何特殊要求下，安排的總數(shù)為

9

。不符合要求的情況為上午連上3節(jié)：

34

和下午連上三節(jié)：，所以同排法的總數(shù)為：3

39

34

33

（種）答案A例：2位男和3位生共5同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端位生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種是（A.

60

B.

48

C.

42

D.

36思路從3女生中先中相鄰的兩位女生女生要與另一女生不相鄰，則可插空生子男甲站端在插空的過(guò)程中需有人站在甲的邊上，再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)空中選一個(gè)空插即可。第一步：從三位女生中選出要相的兩位女生：

C

23第二步男出三個(gè)空甲的邊上要進(jìn)入女生個(gè)空中要選一個(gè)空進(jìn)女生，1所以共有種選法。2第三步：排列男生甲，乙的位置

22

，排列相鄰女生和單個(gè)女生的位：

A

22

，排列相鄰女生相互的位置：

A

22所以共有

23

12

22

22

22

種答案B例：某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲，乙等7名學(xué)中派4名生言要，乙兩名同學(xué)至少有一人參加甲時(shí)參加發(fā)言時(shí)不能相鄰的發(fā)言順序種數(shù)）A.360B.520C.600D.720思路：因?yàn)檫x人的結(jié)果不同會(huì)導(dǎo)安排順序的不同，所以考慮“先取再排乙”同時(shí)選中和“甲乙只有一人選中兩種情況討論：若甲乙同時(shí)被選中，則只需再?gòu)氖Ｏ?人中選取人即排時(shí)鄰空式有A，52從而第一種情況的總數(shù)為：

1

2A2A253

（種乙一人選中，首先先從甲乙中選一人，有

12

，再?gòu)氖Ｏ轮羞x取三人，有

C

35

，安排順序時(shí)則無(wú)要求，所以第

二種情況的總數(shù)為：

2

12

35

44

（種總計(jì)答案C例：從單詞equation”5同的字母排成一排，含有qu（其中”相連且順序不變）的不同排列共________種思路：從題意上看，解決的策略分為兩步：第一步要先取出元素，因?yàn)椤表毴〕?，所以另外元素需從剩下?個(gè)素取，

C

36

種，然后在排列時(shí)，因?yàn)橐髊u相連采捆綁法為一個(gè)元素與其它三個(gè)元素進(jìn)行排列A

44

”順序不變，所以不需要再對(duì)進(jìn)行列綜，有

36

44

種480答案：例6設(shè)有編號(hào)

1的個(gè)茶杯和編號(hào)為

1的個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯編號(hào)相同的蓋法有（）A.30種B.31種C.32種D.36種思路題可按照相同編號(hào)的個(gè)進(jìn)行分類討論兩相同時(shí)先從個(gè)選出哪兩個(gè)相同，有

C

25

種選法，則剩下三個(gè)為錯(cuò)位排列有2情況，所以

1

25

，有三個(gè)相同時(shí)，同理，剩下兩個(gè)錯(cuò)位排列只一種情況（交換位置

2

315

，有四個(gè)相同時(shí)則最后一個(gè)也只能相同，所以

3

從而SC

25

C

35

1

（種）答案B例：上10臺(tái)階，他一可能跨級(jí)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)稱為二階步多跨3級(jí)臺(tái)為階他共了6步且何相鄰兩步均不同階，則此人所有可能的不同過(guò)程的種為（）A.6B.8C.10D.12答案A思路：首先要確定在這6步中一步二步三步有步別設(shè)N

，則有

y3z

，解得：

x43xy0,y2,y4zzz0

，因?yàn)橄噜弮刹讲煌A，所以符

33要求的只有

x3y2z1

，下面開(kāi)始安排順序，可以讓一步搭架子，則二階步與三階步必須插入一階步里面的兩個(gè)空中以2種法步與三階步的前后安排共有三二二，三二三，二三三程數(shù)

N23答案A例：某旅行社有導(dǎo)游9人會(huì)英語(yǔ)2會(huì)日語(yǔ)，其余4人英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)要從中選6人其中3責(zé)英語(yǔ)導(dǎo)游，另外三人負(fù)責(zé)日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇方法有______思路步驟上可以考慮先選定語(yǔ)導(dǎo)游選日語(yǔ)導(dǎo)游語(yǔ)的組成可按只會(huì)英語(yǔ)的和會(huì)雙語(yǔ)的人數(shù)組成進(jìn)行分類論下的人里選出日語(yǔ)導(dǎo)游即可況：沒(méi)有會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)，則英語(yǔ)導(dǎo)游選擇數(shù)為

C

33

，日語(yǔ)導(dǎo)游從剩下個(gè)人擇，有C中，從而6

N

0

C

33

C

36

，第二種情況：有一個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，從而可得

N

CC23

C

，依次類推，第三種情況。兩個(gè)雙語(yǔ)的加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則N

C2C13

C

，第四種情況，英語(yǔ)導(dǎo)游均為會(huì)語(yǔ)的。則

N

3

CC43

，綜上所述，不同的選擇方法總數(shù)為

SC

C

C

1C23

C

C

C

C

C

C

(種答案種例：如圖，用四種不同顏色給中

六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不顏色，則不同的涂色方法有（A.

288

種B.

264

種C.

240

種D.種思路：如果用四種顏色涂六個(gè)點(diǎn)則需要有兩對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色。所考列出不鄰的兩對(duì)。舉的情況如：B

，

B

，

D

，

B

，BC，BC，BD

，CD

共九組，所以涂色方法共有

44

如果用三種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需有三對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色，列舉情況如下：BD，CB

共兩組，所以涂色方法共有

34

綜上所述，總計(jì)

264

種答案B例：8張分別標(biāo)有數(shù)1，中取出6卡片排成3，要求3中僅有中間行的兩張卡片上數(shù)字之和為5則不同的排法共有（）A.種B.種C.種D.思路：中間行數(shù)字和為有兩情況，即

1和

但這兩組不能同時(shí)占據(jù)兩，若按題意思考，以1占行為例則在安排時(shí)既要考慮另一組是時(shí)被選中，還要考慮同時(shí)被選中時(shí)不能呆在同一行況比較復(fù)雜以慮接求出中間和為的所有情況，再減去兩行和為5的情解：先考慮中間和為5所有情：第一步：先將中間行放入或

：

12第二步：中間行數(shù)字的左右順序