高中數(shù)學(xué)人教A版選修4教學(xué)案第三講二一般形式的柯西不等式

22222222222222212n22222212n222222222222222212n22222212n22二

一般形式的柯西不等式名稱三維形式柯西不等式

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)形式設(shè)，，，，，∈，(a＋1231＋a＋＋)≥b＋a＋211b)33

等號(hào)成立條件當(dāng)且僅當(dāng)b＝b＝b＝0或在一個(gè)1實(shí)數(shù)k使a＝(i＝1,2,3)ii一般形式柯西不等式

設(shè)，，b，b，b，，當(dāng)僅當(dāng)b＝0(i1,2，…，)或存12n12i是數(shù)，則(a＋a＋＋a(b＋在個(gè)實(shí)數(shù)，使得＝(in1n2ii＋…＋b)≥(a＋b＋＋a)1,2…，n)n1122[說(shuō)明]一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四形式的柯西不等式的歸納與推廣其特點(diǎn)可類比二維形式柯西不等式來(lái)總結(jié)邊是平方和的積右是積的和的平方．在使用時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P32利用柯西不等式證明不等式1[例1]設(shè)x，，，都正數(shù)，求證：＋＋＋≥12xx＋＋…＋x1n[思路點(diǎn)撥][證明]∵(x＋＋＋)12

＋＋…＋x1n1＝[()＋()＋＋x)]＋＋…＋12n12

≥

x＋＋…＋x12

xn

＝n，

212n22x822x2212n22x822x211n∴＋＋＋≥xx＋x＋…＋12柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為：(＋＋…＋a)·(b＋b＋…＋)≥(a＋12n2bb).22其中，∈Ri，n，在使用柯西不等式時(shí)要善于整體上把握柯西不等式ii的結(jié)構(gòu)特征，正確地配湊出公式兩側(cè)的數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．．已知，b，∈R，且＋b＝1，求證：a1＋＋1＋c＋12.證明：據(jù)柯西不等式，有(3＋1b＋3＋1)≤＋1＋1)(3a＋3＋1＋c＋，∴3＋1＋b＋＋≤3利用柯西不等式求最值[例2](1)已知，，R，＋＋＝求＋＋的小值．x(2)設(shè)x＋3＋5＝求函數(shù)2＋＋y＋＋＋的最大值．419[思路點(diǎn)撥](1)＋＋＋(xyzx(2)(234z×21y4×56).[解](1)∵x＋y＋＝1，∴＋＋＝＋＋(＋＋)x≥

23＋＋x

2＝＋2＋3)＝36.yz當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝，

2d22122＋22222232d22122＋22222231即x＝，y＝，＝時(shí)等號(hào)．34所以＋＋的最小值為x(2)根據(jù)柯西不等式，有(＋＋3＋4·15z＋≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋＋＋＝3＋3＋z＋＝3＝故2x＋1＋y＋4z＋≤230，當(dāng)且僅當(dāng)2＋1＝3＋4z＋6即x＝，＝，＝時(shí)號(hào)立．915此時(shí)＝利用柯西不等式求最值時(shí)鍵對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．．設(shè)，b，均為正實(shí)數(shù)，則(＋b＋)·

11＋＋＋的小值為．解析：(＋b)·

11＋＋＋bd＝[(a＋)＋)＋(d

22＋2ad

≥

＋＋c＋bc

2

＝(1＋1＋1＋1)＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)ab＝c＝d時(shí)等號(hào)．答案：16．已知：x，y，z∈且＋＋＝2，x＋y＋3的大值為()A2C．

B2D．5解析：∵(xz)＝×x＋＋)≤(1＋＋)[(x＋)＋1()]＝8(＋＋)＝16.當(dāng)僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時(shí)等.

222222442222222222222244222222222＋2b3c22222222＋…＋a＋1n∴x＋2y＋3≤答案：．把一根長(zhǎng)為m細(xì)繩截成三段，各圍成三個(gè)正方形．問(wèn)：怎樣截法，才能使圍成的三個(gè)正方形面積之和最小，并求此最小值．x解：設(shè)三段繩子的長(zhǎng)分別為x，y，則＋＋＝12三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，，z

x均為正數(shù)，三個(gè)正方形面積之和S＝＋＋＝x＋＋)．∵(1＋＋＋＋z≥(x＋y＋z＝12，即x

＋y＋

≥48.從S≥×＝3.x當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取號(hào)，1又x＋y＋＝，∴x＝y(tǒng)＝＝4時(shí)，S＝min故把繩子三等分時(shí)，圍成的三個(gè)正方形面積之和最小，最小面積為3對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P3311．若，b∈，且＋＋＝，則a2＋3的小值為()2bcA9C.3

B3D．6解析：柯西不等式得＋＋3＝(a＋2b3c

1＋＋≥(1＋11)＝，∴a2＋3c的小值為答案：A．已知＋＋＋a＝1x＋＋…＋＝，則ax＋＋…＋a的大1211值是)A1C．

B2D．4解析：(＋ax＋…＋)≤a1122n

＋a1

222n12

＋＋xn

2

)＝×1＝，當(dāng)x且僅當(dāng)＝＝＝＝時(shí)等號(hào)．a(chǎn)a1∴ax＋＋…＋的最大值是1.1122答案：A

22222222222222222222222222222722222222222222222222222222222722232222．已知

＋b

2

＋c

＋d

＝，則abbc＋的最小值為)A5C．

B－D．－25解析：ab＋＋＋da

≤(a

2

＋

＋c

＋

2

＋c

＋

2

＋a

)＝25，且僅當(dāng)b＝c＝d±

時(shí)，等號(hào)成立．∴ab＋bc＋＋bd的小值為答案：．(湖北高設(shè)a，b，，，z是數(shù)，且＋＋＝10x＋＋＝40＋＋＋c＋＝，則＝)x＋y＋zC.

解析由柯西不等式得a

＋b

2

＋c

)(x＋y＋

)≥(＋by＋cz

b＝當(dāng)且僅當(dāng)＝＝xc1＋bc＝時(shí)等號(hào)，因此有＝z＋＋答案：知＋3y＋＝＋y＋取最小值時(shí)形成的x)＝________.32解析：柯西不等式＋＋＋y＋z)≥＋y＋z)，即x＋y＋≥＝.x當(dāng)且僅當(dāng)＝＝z時(shí)號(hào)成立．又2＋y＋z＝8312解得：x＝，y＝，＝，124所求點(diǎn)為，，.124答案：，，7．設(shè)，bc正數(shù)，則＋b)

36＋＋的最小值是________解析：(＋b)

936＋＋b＝[(a

＋()

＋()

]＋＋≥

3＋＋cbc

2＝＋3＋6)＝

＋2222222222222222≥＋＋＝22222222222222222226222＋2222222222222222≥＋＋＝22222222222222222226222bc當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝kk為實(shí))，等號(hào)成立．36答案：121．已知，b∈且＋bc＝，則2＋b＋2c＋的最大值為．解析：由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2＋)＝×a＋×2＋1＋×2＋

≤(1

＋1＋

a＋＋12＋＝3(2×＋＝48.當(dāng)且僅當(dāng)2b1c＋3，即＝2＋1＝2c等號(hào)成立．13又＋b＋c＝6，a＝，b＝，c＝時(shí)a＋b＋2＋3取得最大值3.答案：43．△ABC中設(shè)其各長(zhǎng)為

b，c外接圓半徑為

，求證：＋b＋c)

1＋＋sin

≥36R.證明：＝＝＝2RsinAsinB∴(a＋＋)

＋＋sinBsinCbAsinC

2．求實(shí)數(shù)x，的使得y－＋(x＋y－3)＋(2＋y－6)取到最小值．解：由柯西不等式，得＋2

2

＋1

2

)×[(y－1)＋(3－x－y)＋＋－6)

]≥[1×(－＋2×(3－)＋x＋y－＝，即(y－1)＋(x＋y－＋x＋y－≥.y－1－x－x＋y－6當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，1即x＝，y＝時(shí)上式取等