初中數(shù)學(xué)知識點整理表格版

1.2.3.4.5.n4n5-47.1.2.3.4.5.n4n5-47.初中數(shù)學(xué)教材知識梳理·系統(tǒng)復(fù)習(xí)第單

數(shù)式

第實數(shù)知點：數(shù)概及類（1按定分（）按正負性分正有理數(shù)

關(guān)點及應(yīng)例（1）0既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).（2理數(shù)的幾種常見形式判斷：①含的式有理數(shù)

0

有限小數(shù)或

正實數(shù)

子；②…（每兩個之間個）就是一個實數(shù)

實數(shù)

負有理數(shù)

無限循環(huán)小

實數(shù)

0

無限不循環(huán)小數(shù)；③開方開不盡的數(shù)：如，；④三角函數(shù)型：如，°正無理數(shù)

負實數(shù)

（3失分點警示：開得盡方的含根號數(shù)屬于無理數(shù)

無限不循環(huán)小

有理數(shù)，如=2=-3，它們都屬于有理數(shù).負無理數(shù)知點實的相概數(shù)軸相反數(shù)

（1三要：原點、正方向、單位度（）特征實數(shù)與數(shù)軸的點一一應(yīng)；數(shù)軸邊的點表的數(shù)總比左邊點表示的大（1概念只有符號不同的兩個數(shù)（2代數(shù)義：、b互為相反數(shù)（）幾何義：數(shù)軸上示互為相數(shù)的兩個到原點的離相等

例數(shù)軸上2.5表的點到點的距離是2.5.a的反數(shù)為，特別的的絕對值0.例的反數(shù)是3，的反數(shù)是1.（1幾何義：數(shù)軸上表示的點到點的距離（1）若x|=a≥0，則x=±a.絕對值

（2運算質(zhì)：|a|=(a≥-a＜0).

|a-b|=≥b)b-a(a＜b)

（）對絕對等于它本身的數(shù)是非負數(shù)例絕對值；2；對值等于3（3非負：≥，若|a|+b

2

則

的是±;|1-|=.倒數(shù)

（1概念乘積為兩個數(shù)互為數(shù).a倒數(shù)為1/a(a≠（2代數(shù)義：互為數(shù)

例的數(shù)是-1/2；倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±知點科記法近數(shù)6.

科學(xué)記

（）形式×10其中≤＜，整數(shù)（）確定n的方法：于數(shù)位較的大數(shù)，n等于原的整數(shù)為減

例21000科學(xué)數(shù)法表示為2.1×；數(shù)法近似數(shù)

去1對于數(shù)，寫成×-，≤＜10，n等于數(shù)中左起至一個非零數(shù)前所有零個數(shù)（含數(shù)點前面的一個）（）定義一個與實際數(shù)值很接近的數(shù).（2精確：由四舍五到哪一位就說這個似數(shù)精確到哪一位.

19萬用學(xué)記數(shù)法表示為1.9×10；0.0007用科學(xué)記數(shù)表示為×10.例3.14159精確百分位是；精確到0.001是知點實的小較

2..-1010.1.2.3.2..-1010.1.2.3.8.

實數(shù)的

（）數(shù)軸較法：數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的大（）性質(zhì)比較法：正數(shù)＞0＞負數(shù)兩個負比較大小，絕對值大的反而

例把，，-2.3按從大小的順序列結(jié)果為__1＞0＞-2大小比較

（）作差較法：＞a＞ba-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（）平方：a＞b≥＞b知點實的算

9.

乘方零次冪

幾個相同因的積;負數(shù)的偶（）次方為正（負）a0=_1_(a≠0)

例（）計算：_-7__;(-2)

2

常見運算

負指數(shù)冪a=1/apa≠0，p為整數(shù)平方根、若x2（a0）,則x=算術(shù)平方根立方根若x3=a,則x=3

.其中

是算術(shù)平方.

3=_1/3_π的平方根是±算平方根是__8_,立方根是_4__.失點示類似“的算平方根”計先乘方、開，再乘除最后加減同級運算，從左

算錯誤.

例：相互對填一填：16的混合運算

向右進行；有括號，做括號內(nèi)運算，按小括號、中括號、大號一次進.計算時可以結(jié)合運算律，

算術(shù)平方根___2__.

4___,的算術(shù)方根是使問題簡單第講

整式與因式解知點：數(shù)及關(guān)念

關(guān)點及應(yīng)例代數(shù)式整式（單項式、多項式）

（1代數(shù)式用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)字母接而成的式子，單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式．（2求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替數(shù)式中的字母，計算得出的結(jié)果，叫做求代數(shù)式的值．（1單項式表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫單項式其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)叫做單項式的次數(shù).（2）項式：個單項式的.多項式中的每一項叫做多項式的項，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)（3）整式單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.（4）類項：含字母相同并且相同字母指數(shù)也相同的項叫做同類所有的常數(shù)項都是同類項

求代數(shù)式的值常運用整體代入法計算例：－b，則3b－3a＝－例：（1）下列式子：①-2a;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a;⑥7xy；⑦2017.其中屬于單項式的是①③⑤⑦；多項式是②⑥；同類項是①和⑤（2）多項式六次三項式，常數(shù)項是__1知點：式運整式的加減運算

并同類法則:同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．括號法則:若括號外都不變號號外則括號里的各項都變號.式的加減運算法則：先去括號，再合并同類項.

失分警示：去括號時，如果括號外面是符號，一定要變號，且與括號內(nèi)每一項相乘，不要有漏項例：－－2b－＝6a＋4b＋2.4.

冪運

底數(shù)冪的乘法：aa；的乘方：(a＝a

其中m,n都在整數(shù)

算時，注意觀察，善于運用它們的逆運算解決問題例：已知2m+n=2,3算法則

的乘方：(ab＝a；底數(shù)冪的除法：aa(

×2×6.（2在解決冪的運時，有時需要先化成同底數(shù)例：2·2.

23.22項式單項式：①系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘；②只有一個字母的照抄．

失分警示計算多項式乘以多項式時，注5.

整式

項式多項式：項式多項式:

ma+mb+na+nb.

意不能漏乘，不能丟項，不能出現(xiàn)變號錯例：(2a－1)(b＝＋4a－b－2.的乘除運

項式÷單項式：將系數(shù)、同數(shù)冪分別相除.項式÷單項式：①多項式的一項除以單項式；②商相加．算

6）

平方差公式：()(a－b)＝a

－b

.

注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的乘法

完全平方公式：(±b＝a±2＋.

變形公式：

運用公式

a+b=±b)

?

【-（）】/26.混合運算

注意計算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、代入替換、計算．

例：（a-1）

-2a__.知點：式解7.

義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式．用方法：①提公因式法：ma＝(ab)②公式法：ab(a)(a)ab＝(b).般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.分式第講

因式分解要分解到最后結(jié)果不能再分解為止，相同因式寫成冪的形式；因式分解與整式的乘法互為逆運算．知點：式相概

關(guān)點及應(yīng)例1.

A（1式：如(A是整式且中含有母，B的式B子.（2最簡式：分子和分母沒有公式的分式.A(1)無義的條件：當(dāng)＝0時，分無意；B

在判斷某個式子是否為分式時，應(yīng)注意：（1判斷化簡之間的式子；（2π是常數(shù)，不是字2母.例：下列分式：①;②;③;④，其中2是分式是②③④；最簡分式③.失點示在解決分式的值為，求值2.

分式

(2)有義的條件：當(dāng)≠0時，分

AB

有意義；

的問題時，定要注意求得的值足分母不為意義

(3)值零的條件：當(dāng)＝0，B≠0時，分

AB

＝

例：當(dāng)

的值為時則x-1.基本質(zhì)

A(1)基本質(zhì)：(≠0)．BB（2由基性質(zhì)可推理出變號法則：AA；BBB

.

由分式的基性質(zhì)可將式進行化：x例：化簡：=x知點分的算

4.5.4.5.x1.2.1分式約分和

(1)約(可化簡分)：把分式分子和分中的公因約去，即；b(2)通(可為同分母：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的式

分式通分的鍵步驟是出分式的簡公分母，后根據(jù)分的性質(zhì)通1例：分式和的最簡公母2通分

化為同分母分式，即

acbc

為分式加減法

abb(1)同母：分母不變，分子相減即＝；ccaadbc(2)異母：先通分，變?yōu)橥值姆质?，加減即±＝.b

例

x6.

分式

ac(1)；

(2)法

d

例

＝a2

21xxy

＝2y；乘除法

(3)乘：

a＝(為整數(shù).

＝278x

.7.

分式

(1)僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.

失分點警：分式簡求值問題，要先將分式化簡到最簡分式或整式的式，再代入求值.代混合運算

(2)含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應(yīng)用一般先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號里面的．第講二根

入數(shù)值時注意要使原分式有意義有時也需運用到整體代入.知點：次式（）二次根的概念：形如a(a的式子（）二次根有意義的條件：被開方數(shù)于等有關(guān)概念（3）最二次式：被開方數(shù)因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不根號）；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式

關(guān)點及應(yīng)例失分點警：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時，注意確保各部分都有意義，即分母不為0被開方數(shù)大于等1于0.例：若數(shù)式有意義，則的x取值范圍是x＞1.利用二次根式的雙重非負性解題：（1）值非負多個非負數(shù)的和為0，可得a

各

個

非

負

數(shù)

均

為

如二次根式的

+

，則，b=性質(zhì)

（2）被開方數(shù)非:當(dāng)互為相反數(shù)的兩個數(shù)同時出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時，可得

這一對反的數(shù)均為如+則a=,b=0

已知

aa34·aa34·51.2.(2)(a＝a；a2|a

例：計算：2＝；(3)(4)

＝ab≥0；(ab0)bb

；；

4499知點二根式運.二次根式的加減法

先將各根式為最簡二根式，再并被開方數(shù)相同的二次根式．

例計算：

28

＝

2

..二次根式的乘除法

（）乘法：（）除法：

b(≥0，≥0)；aa(a，b＞0)．b

注意：將運結(jié)果化為簡二次根例計算：2＝；32.2322.二次根式的

運算順序與數(shù)的運算序相同，算乘方，再算乘除，最后

運算時，注觀察，有運用乘法式會使運算簡混合運算

算加減，有號的先算號里面的或先去括號）．

例：計算：(+1)(

-1)=第單

方(與等(組第講一方()知點：程其關(guān)念(1).＝b則±

關(guān)點及應(yīng)例等式的基本

(2)性質(zhì)2：等式邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不為），所

失點示在等式的兩邊同除以一個數(shù)時，這數(shù)必須不例：判斷正性質(zhì)

得結(jié)果仍是式即＝b則ac＝bc，

b(c．c

(1)若a=b,則a/c=b/c.(×(2)若則a=b.(√)關(guān)于方程

(3)性質(zhì)3：（對性）若b=a.(4)性質(zhì)4：（傳性）若則a=c.(1)一元一方程：含有一個未知數(shù)，并未知數(shù)的數(shù)是1且等式兩邊是整式的程．(2)1

在運用一元次方程的義解題時注意一次項數(shù)不等于0.的基本概念

(3)

例：若a-2)

x

是關(guān)于x的(4)二元一方程組解：二元一方程組的個方程的共解．知點：一一方和元一方組

元一次方程則的值為.

3.4.5.3.4.5.6.222.b2ac2222解一元一次方程的步驟二元一次方程組的解

(1)去分母方程兩邊乘分母的小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項；(2)去括號括號外為負號，去號后括號各項均要號；(3)移項：項要變；(4)合并同項：把程化成≠(5)系數(shù)化1方程兩同除以系a,得方程的解思路：消元將二元一方程轉(zhuǎn)化一元一次方程方法：(1)代入消法:一個方程求出某一未知數(shù)的達式，再把“它”代入一個方程進行求解(2)加消元法：把兩個方程的邊分別相或相減消一個未知數(shù)的方法

失點示方程去分母時，應(yīng)該將分子用括號起來，然再去括號防止出現(xiàn)變錯誤.已知方程組求相關(guān)代式的值時需注意觀察有時不需出方程組利用整體思解決解方組.例：已知則x-y的值為x-y=4.y知點一方)實應(yīng)(1)審題：清題意分清題中的知量、未量；

（1設(shè)未知數(shù)時，般求什么設(shè)什么，但列方程組)解應(yīng)用題的般步驟

(2)設(shè)未知；(3)列方程組)：找等量關(guān)系，方程（組；(4)解方程組)；(5)檢驗：驗所解案是否正確是否滿足合題意；(6)作答：范作答注意單位名．

有時為了方便，也可間接設(shè)未知數(shù)如題目中涉及到比值，可以設(shè)每一份為（2）列方程（組），注意抓住題目中的關(guān)鍵詞語，如共是、等于、多少、?。ㄉ伲┒嗌?、幾倍、幾分之幾等常見題型及關(guān)系式

（）利潤問：售價=標(biāo)價×折扣，銷額=價×銷量利潤售價進價，潤率利潤進×100%.（）利息問：利息=本金×利率×期，本息和本金+利息（）工程問：工作量=工作效率×工作時.（）行程問：路程=速度×?xí)r間①相遇題：全路甲走的程+走的路程；②追及問題同地同時出發(fā)：前者走的路程=追者走路程；b.時不地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離追者走的路程.第講一二方知點：元次程其解

關(guān)點及應(yīng)例1.

一元二

(1)定義：含有一未知數(shù)，且知數(shù)的最次數(shù)是的整式程．(2)一般形：＋bx＋c＝0(中、bx、分別做二次項、一次

例：方程

是關(guān)于x的次方程的相關(guān)概念

項、常數(shù)項、、c分別稱二次項系、一次項數(shù)、常數(shù)項．

一元二次方程，則方程的根為1.（）直接開方法：形如（xm

2

n(≥方程，直接開平方求解.

解一元二次方程時，注意觀一元二次方的解法

(2)因式分法：可化（axm）+的方程，因式分解求解.(3)公式:元二方程＋bx＋＝的求根式為=2a（≥）(4)方法：當(dāng)元二次方的二次項系數(shù)為1，一次項系為偶數(shù)時也可以考慮用方法．

察，先特殊一般，即考慮能否用直接平方法和式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公法例：把方程x+6x+3=0變形為(x+h)=k的形式后，,k=.知點一二方根判別及與數(shù)關(guān)

2224.n(1)Δ＝

b

ac

>0

例：程

xx

別3.

根的判

(2)Δ2

=

式等于8故該方程有兩個不相等別式

(3)當(dāng)Δ＝b

0時，原程沒有實根．

的實數(shù)根；方程的判別式等于－故該方程沒有（關(guān)系：關(guān)于x的一元二次方程ax

bx+=0(a≠0)有兩個根分別為

實數(shù)根.與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的根與系數(shù)的系

x、,則=-b/a,=c/a注運用根與數(shù)關(guān)系的提條件是eq\o\ac(△,≥)eq\o\ac(△,)1121（）解題策略：知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根代數(shù)式的時，先把所求代數(shù)變形為含+x、xx的式，再運用與系數(shù)的關(guān)系求122解.

常見變形：(x+1)=xx+(x+x)+1,x=(x+x)-2xx11等.xx失分點警在運用根與系數(shù)關(guān)系解題時，注意前提條件時△=b≥知點一二方的用（）解題步驟：審題；②設(shè)知數(shù)；③列一元二方程；④一元二次方程；⑤驗根是否意義；⑥答．列一元二次程解用題

（）應(yīng)用模：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題面積問題方面應(yīng)用①平均增長（降低率問題：公：＝)，表示基，x表示均增長率（低率），表示變的次數(shù)b表示變n次后的；②利潤問題利潤售價成本；利潤率利潤成本×；③傳播、比問題：④面積問題直接利用相圖形的面公式列方；b.將不規(guī)則圖形過割補或平移成規(guī)則圖，運用面之間的關(guān)系列方程.第講分方

運用一元二方程解決際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須根據(jù)題意驗根是否有意義知點：式程其法

關(guān)點及應(yīng)例例：在下方程中①

；1.定義

分母中含有知數(shù)的方叫做分式程．

y

；③

，其中是分方程的是③基本思路：式方程

方程兩邊同以最簡公分母約去分母

整式方程2.解分式程

例：將方程

2轉(zhuǎn)化為式方程可x1(1)(2)(3)檢：把所求得的x的代入最簡分母中，最簡公分母為，則應(yīng)舍．

得：－22(x－1)

1.2.3.5.6.1.2.3.5.6.3.增根

0.

例：若分式程

增根，則根為1知點分方程應(yīng)4.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟

審題；(2)未知數(shù)；(3)列式方程；(4)解分式程；(5)檢驗作答．

在檢驗這一中，既要驗所求未數(shù)的值是不是所列分方程的解又要檢驗求未知數(shù)的值是不是合題目的際意義.第講一一不式組知點：等及基性質(zhì)

關(guān)點及應(yīng)例不等的相關(guān)概念不等的基本性質(zhì)

（1不等：用不等號＞，≥，＜≤或≠表示不等系的式子.（2）不等式解：使不式成立的知數(shù)的值.（3）不等式解集：使等式成立未知數(shù)的取值范圍性質(zhì)1若a＞ac±；a性質(zhì)2若a＞，則ac>，；ca性質(zhì)3若a＞，則ac<，.c

例：“a與b的差不于1”用不式表示為－≤1牢記不等式質(zhì)，注意變.如：在不等－＞4中，若將不等式兩邊時除以－2可得x＜知點一一不式定義

用不等號連，含有一未知數(shù)，且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是的，左右兩邊為整的式子叫一元一次等式.（1步驟去分母；去括號；移項合并同類；系數(shù)化

例：mx關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為-失點示4.解法（2解集在軸上表示x＞x≤x＜a知點一一不式的定及解

系數(shù)化為1時注意系數(shù)正負性，若系數(shù)負數(shù)，則等式改變方向定義解法

由幾個含有一個未知的一元一不等式合在一起，就組成一個一元次不等式組先分別求出個不等式解集，再出各個解集的公共部分

（）在表示解集≥”，“≤表示含有，要實心圓點示；“＜，“＞表示包含要用空心圓點表示假設(shè)ab

解集

數(shù)軸表示

口訣

（）已知不式（組）的解集情況，求字母數(shù)時，一先視7.

不等

x

大大取大

字母系數(shù)為數(shù)，再逆不等式（組）解的定義，推出組集的類型

xa≤b無解

小小取小大小，小大間找大大，小小不了

含字母的方，最后求字母的值.如：已知不式（a-1）＜的解集是x-1則a的取值范圍是＜1.知點列等解簡的實問

8.–12.3.48.–12.3.4列不式解應(yīng)用題

（）一般驟：審題；未知數(shù)；出不等式系；列不式；解不等式；驗檢是有意義（2應(yīng)用等式解決問題的情況：關(guān)鍵詞含有“至（≥”“最（≤”、“不低（≥”、“不高≤”、不小”、“超＞、“不＜等；b.隱含不等關(guān)：如“更省錢”、“更算”等方?jīng)Q策問題一般還需根據(jù)整解，得出佳方案平直坐系函第講

注意：列不等式解實際問題，設(shè)未知數(shù)時，不帶“至少、“最多”等字眼與方程中未知數(shù)一致.知點：面角標(biāo)

關(guān)點及應(yīng)例1相關(guān)概念

（1）定義：在平面有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系．（2）幾何意義：坐平面內(nèi)任意一點與有序?qū)崝?shù)對(xy)的關(guān)系是一一對應(yīng)．

點的標(biāo)讀橫標(biāo)軸)，再讀縱坐標(biāo)(y軸).(1)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征（如圖所示）：點P在第一象限x＞0，y＞點在第二象限?x＜，y＞點（在第三象限?x0y＜0；

二象限，＋)–3–2–1

321O

y

一象限＋，＋12

x

（1標(biāo)軸上的點不屬于任何象限.（2面直角坐標(biāo)系中圖形點的坐標(biāo)特征

三象限點（在第四象限?x0y＜0.，－)–2–3（2）坐標(biāo)軸上點的標(biāo)特征：①在橫軸上?y＝0；②在縱軸?＝0；原點?x＝0，＝（3）各象限角平分上點的坐標(biāo)①第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標(biāo)相等；②第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

四象限＋－)

的平移，圖形上所有點的坐標(biāo)變化情況相同.（3面直角坐標(biāo)系中求圖形面積時，先觀察所求圖形是否為規(guī)則圖形，若是，再進一步尋找求這個圖形面積（4）點Pb）的對稱點的坐標(biāo)征：①關(guān)x軸對稱的P的坐標(biāo)為(a，b；②關(guān)y對稱的的坐標(biāo)為(－；③關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(－a，－b)．（5）點M（x,y平移的坐標(biāo)特征：M（x,yM(y)M(y+b（1點M(a,b)到x軸，y軸的距離：到x的距離為b)到軸的距離為

的因素，若找不到，就要借助割補法，割補法的主要秘訣是過點向x軸、y軸作垂線，從而將其割補成可以直接計算面積的圖形來解決坐標(biāo)點的距

（2平行于x，y直線上的兩點間的距離：點M(xM(之的距離為－x，點M(x

，y)M(x

，y間的距離為|－x

；

平行于x軸的直線上的點縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直離問題

點M(0y)，M(0)間的距離|－y，點M(，y)，M(，y)間的距離－．

線上的點的橫坐標(biāo)相等知識點二函

數(shù).函數(shù)的相關(guān)概念

（1量、變量：在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．（2）函數(shù)：在一個化過程中，有兩個變量x和，對于的每一個值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就稱是自變量，是的函數(shù)．函數(shù)的表示方法有：列表法、圖像法、解析法（3數(shù)自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實數(shù)；分式的分母不為；二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；使實際問題有意義．

失分點警函數(shù)解析式，同時有幾個代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各個代數(shù)式中自變量的公共部分.例：函數(shù)y=x中自變量的取值范x圍是x-3且x≠5.

513－，4513－，45.函數(shù)的圖象

（1）分析實際問題斷函數(shù)圖象的方法：①找起點：結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應(yīng)到圖象中找對應(yīng)點；②找特殊點：即交點或轉(zhuǎn)折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化；③判斷圖象趨勢：判斷出函數(shù)的增減性，圖象的傾斜方向.（2）以幾何圖形（點）為背景判斷函數(shù)圖象的方法：①設(shè)時間為t（或線段長為x，找因變量與t(或x)之存在的函數(shù)關(guān)系，用含t(或x)的式子表示，再找相應(yīng)的函數(shù)圖象要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.一函第10

函數(shù)技巧：①當(dāng)函數(shù)圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態(tài)時，函數(shù)隨x的增大而增大（減?。?；②函數(shù)值變化越大，圖象越陡峭；③當(dāng)函數(shù)y值始終是同一個常數(shù)，那么在這個區(qū)間上的函數(shù)圖象是一條平行x軸的線段.知點一函的念其圖、質(zhì)

關(guān)鍵點撥對應(yīng)舉例.一次函數(shù)的相關(guān)概念

（）概念：一般來說形如y＝＋b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)．特別地，當(dāng)＝0時，稱為正比例函數(shù)．（象形狀：一次函數(shù)y＝kx＋b是一條經(jīng)過0,b-b/k直線特別地，正比例函數(shù)y的象是一條恒經(jīng)過點（0,的直線

例：k＝1時函數(shù)＝＋－1是比例函數(shù),，b符號

K0，b＞0

K0，b＜0

K＞0，b=0

k，b>0

k，b

k，b＝0

（）一次函數(shù)y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確2.

一次函

大致圖象

定了與軸交點的位置.（比較兩個一次函數(shù)函數(shù)值的大?。盒再|(zhì)法，借助函數(shù)的圖的性質(zhì)

經(jīng)過

一、二、三

一、三、

一、三

一、二、

二、三、

二、四

象，也可以運用數(shù)值代入法象限

四

四

四

例：已函數(shù)=－2x＋函數(shù)圖象性質(zhì)

y隨x的增大而增大

y隨x的增大而減小

值y隨的增大而減小(填“增大”或“減小”．.一次函數(shù)與坐點坐標(biāo)

點坐標(biāo)：求一次函數(shù)與x的交點，只需0,解x即可；求y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.故次函數(shù)ykxb的圖象與軸的交點是，與y的交點是(b)；比例函數(shù)y＝(k的圖象恒過點(0，．

例：一次函數(shù)yx2與x軸交點的坐標(biāo)（-2,0，與y軸交點的坐標(biāo)是（0,2.知識點二：確定一次函的表達式（）常用方法：待定數(shù)法，其一般步驟為：①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達式為y＝kx(k≠0)

確一次函數(shù)的表達式需要兩組條件，而確定正比例函數(shù)的表.確定一次函數(shù)的條件.一次函數(shù)圖象的平移

②代：將已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，解方程或方程組；③解：求出kb的值，得到函數(shù)表達式．（）常見類型：①已知兩點確定表達式；②已知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定表達式；③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由平移所得到的，且經(jīng)過點0,1）則可設(shè)要求函數(shù)的解析式為y=2x+b,再把點（0,1）坐標(biāo)代入即可規(guī)律：①一次函數(shù)圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值相同.②若向上平移h單位，則值增h；若向平移h單位，則b減小h.

達式，只需一組條件即可只要給出一次數(shù)與y軸交點坐標(biāo)即可得出b的值b值為其縱坐標(biāo)，可快速解.如:已知一次函數(shù)經(jīng)過點（0,2，則可知例：將一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2

679.679.知識點三：一次函數(shù)與程（組）不等式的關(guān)系.一次函數(shù)與方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k是常數(shù)，k0的圖象x軸交點的橫坐標(biāo).

例：.一次函數(shù)與方程組

二元一次方程組點坐標(biāo).

y=ky=k

的解兩個一次函數(shù)y=kx+b和y=kx+b圖象的交

（）已知關(guān)于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數(shù)y=ax+b與x軸的交點坐標(biāo)為（1,0.8.

與

（1函數(shù)y=kx+b函數(shù)值＞0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集

（2次函數(shù)y=-3x+12，當(dāng)x＞4時，y的值為負數(shù)．不等式

（2函數(shù)y=kx+b函數(shù)值＜0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集知識點四：一次函數(shù)的際應(yīng)用（1）設(shè)出實際問題的變量；（2）建立一次函數(shù)系式；

一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的10.

一般步驟常見題型

（3）利用待定系數(shù)求出一次函數(shù)關(guān)系式；（4）確定自變量的值范圍；（5）利用一次函數(shù)性質(zhì)求相應(yīng)的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義；（6）做答.（1）求一次函數(shù)的析式.（2）利用一次函數(shù)性質(zhì)解決方案問題第11反例數(shù)圖和質(zhì)

取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.知點：比函的念及圖、質(zhì)

關(guān)點與應(yīng)例1.

反比例函

（義：形如＝(≠0)的函數(shù)稱為反比例函，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)．

例：函數(shù)y=3x，m=－2時則該函數(shù)是反比例函數(shù)．?dāng)?shù)的概念

（）形式：反比例函有以下三種基本形式：①y＝；②y=kx-1;③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)k的號

圖象

經(jīng)過象限

隨變化的情況（）判斷點是在反比例函數(shù)圖象上的方法：①把點的橫、縱坐標(biāo)代入看k

圖象過第

每個象限內(nèi)，函數(shù)的值

是否滿足其解析式；②把點的橫、縱2.

反比例函

一、三象限（x、同號）

隨的增大而減小

坐標(biāo)相乘，判斷其乘積是否等于k.失分點警數(shù)的圖象和性質(zhì)

k

圖象過第二、四象限

每個象限內(nèi)，函數(shù)的值隨的增大而增大

（2）反比例函數(shù)值小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即（x、異號）

是否在同一個象限內(nèi)，若不在則不能運用性質(zhì)進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.3.

反比例函

（1由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2圖象的兩個分支都無限接近軸和軸，但都不會與軸和軸相交；

例：若(ab)在反比例函數(shù)

y

kx

的數(shù)的圖象特征

（）圖象是中心對稱形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限和二、四象限的角平分線．

圖象上，則，在該函數(shù)圖象上.填“在"、"在"

5.2225.2224.

待定系數(shù)

只需要知道雙曲線上任意一點坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)即可

例：已知反比例函數(shù)圖象過點（3－1），則它的解析是y=3/x.法知識點二：反比例系數(shù)的何意義及一次函數(shù)的綜合（義：從反比例數(shù)y＝(≠0)圖象上任意點向軸和軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為||,該點、一個垂足和原點為頂點的三角形

失點示已知相關(guān)面積，求反比例函數(shù)的表達式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象系數(shù)的幾何意義

的面積為（）常見的面積類型

限，則k＜0.例：已知反比例函數(shù)圖象上任一點作坐標(biāo)軸的垂線所圍成矩形為3，該反比解式y(tǒng)或x6.

與一次函

（）確定交點坐標(biāo)：方法一】已知一個交點坐標(biāo)為，則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標(biāo)為（【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標(biāo)，再分別代入兩個函數(shù)解析式中求解（在同一坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，

y.x涉及與面積有關(guān)的問題時，①要善于把點的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形的邊長，對于不好直接求的面積往往可分割轉(zhuǎn)化為較好求的數(shù)的綜合

可采用假設(shè)法，分k＞0和k0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可也可逐一選項判斷、排除（比較函數(shù)值的大小：主要通過觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點坐標(biāo)，確定出解集的范圍

三角形面積；②也要注意系數(shù)k的幾何意義.例：如圖所示，三個陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：=SAOC△＞.OPEeq\o\ac(△,S)知識點三反比例函數(shù)的實際應(yīng)7

般

（題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；（設(shè)出函數(shù)表達式；

（）依題意求解函數(shù)達式；（）根據(jù)反比例函數(shù)表達式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.第12

二函的象性知點：次數(shù)概及解式

關(guān)點與應(yīng)例

.一次函

形如yax＋＋(，b，是常數(shù)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

例：如果函=(a－是二次函數(shù)，那a的值范圍是的定義2.解式

（1三種析式：①一般式：+bx+c;頂點式≠，中二次函數(shù)的頂坐標(biāo)（k;③點式：)(x-x),其中x為拋物線與112x軸點的橫標(biāo).（2系數(shù)：巧設(shè)二次函數(shù)的解析；根據(jù)已條件，得關(guān)于待定數(shù)的方程（組）解方程（），求出定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析

a若已知條件是圖象上的三個點或三對對應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點式；若已知拋物線x軸的兩個交點坐標(biāo)，可設(shè)交點式知識點二：二次函數(shù)的象與性質(zhì)

b時隨x增大而增b時隨x增大而增大.2最小2最大3.開口

向

向下

（1）較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：①直接代入求值法；②性質(zhì)法：當(dāng)自變量在對稱軸同側(cè)時，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；當(dāng)自變量在對稱3.

二次

對稱軸

x

a

軸異側(cè)時，可先利用函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè)，再利用性質(zhì)比較；④圖象法：畫出數(shù)的圖象和性質(zhì)

草圖，描點后比較函數(shù)值大小.失分點警（2）自變量限定范圍求二增減性

x>x增；x時2x減

b當(dāng)>2當(dāng)＜

次函數(shù)的最值時，首先考慮時y的增大而減小對稱軸是否在取值范圍內(nèi)，而不能盲目根據(jù)公式求解例：當(dāng)x≤5時，拋物線y=x+2x+7最小值為7.最值

4acx=＝.，

4acx＝.，a系數(shù)、bc

acb2－4

決定拋物線的開口方向及開口大小決定對稱軸（x=-b/2a）的位置決定拋物線軸的交點的位置決定拋物線與x軸的交點個數(shù)

當(dāng)a，拋物線開口向上；當(dāng)a0，拋物線開口向下當(dāng)a號，＜對稱軸在y軸左邊；當(dāng)b，，對稱軸為軸；當(dāng)ab號，＞0，稱軸在y右邊．當(dāng)c0，拋物線與軸的交點在正半軸上；當(dāng)c0，拋物線經(jīng)過原點；當(dāng)c＜0，拋物線與軸的交點在負半軸上.b－ac＞0，拋物線與軸有個交點;b－ac＝0，拋物線與軸有個交點;b－ac＜0，拋物線與軸沒有交點

殊形符號：①±b+c即為±1時，y的值；②4a±2b+c±2，y的值.③的符號斷對稱軸-與的大小.若稱軸在直線的左邊，-b/2a＞，再根據(jù)a的符號即可得出結(jié)④的符號，需判斷對稱軸與-1的小.知點二函的移失點示4.

平移與解

注：二函數(shù)的平移實質(zhì)是頂點標(biāo)的平移因此只要出原函數(shù)頂點

拋物線平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”,左平移易弄反.析式的關(guān)系

的平移方式可確定平后的函數(shù)析式

例：將拋物線y=x沿軸向右平移單位后所得拋物線的解析式是y=（x2）

．知點二函與元次方以不式

5.6.2222225.6.222222二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與不等式

y=ax2bx(a與x軸ax2的根.Δ24acΔ24ac當(dāng)Δ＝－ac＜，無實根拋物線y=ax＋＋＝0在軸上方部分點的坐標(biāo)都為，所對應(yīng)x的所有值就不等式＋bx＞的解集；在x軸下方部分點的坐標(biāo)均為負，所應(yīng)的值就不等式＋bx＋c＜的集第13講二函的用

例：已經(jīng)二函數(shù)-3x+m(m為常數(shù))的象與x的一個點（，則關(guān)于x一元二方程x-3x+m=0兩個實根為.知點：次數(shù)應(yīng)

關(guān)點

則需要建立實物拋物線實際問題中求最值結(jié)合幾何圖

④檢驗x的是否在自量的取值圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；

在x軸，軸、原點、拋物方便解（最小么”要設(shè)橫由于面積等兩條邊的積，所以何問題的面積的最值問題常會通過次函數(shù)來決同樣需意自變量的值范圍.

第單第講

圖的步識三形平面圖與相交線、行線知點：線線、線1.（）直線的本事實：經(jīng)過兩點有且有一條直線．基本事實（2）線段的本事實：點之間，段短．知點角角平線（）角：有共端點的兩條射線組成的圖形．

關(guān)點例：在墻壁固定一根放的木條，則至少要2枚釘子，依據(jù)是兩確一直.例：2.概念3.角的度量4.余角和補角

（）角平分：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點這個角分兩個相等的角的射線1＝′，′＝''，°＝''(1)余角∠1∠＝?與互余角；(2)補角∠1∠＝?∠與互補角.（）性質(zhì)：角或等角的余角等同角或等角)的補相．

（11525'＝°；37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''（）32°的角是58°，°的補角是°知點相線平線5.三線八角6.對頂角、鄰補角

（位角：形如”F錯：形如“”;(3)旁內(nèi)角形如“U.（）概念：條直線相交后所得的只有一個公共點而沒有共邊的兩個角叫做對角（）性質(zhì)：頂角等鄰補角之為°.（1）念：兩條直線互相垂直，其中的一直線叫做一條直線垂

一個角的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角可能不止一個，要注意多方位觀察例：在平面中，三條直線相交于1點，則圖中有6組對頂角.例：如圖所示，點線．7.垂線（）性質(zhì)：過一點有且有一條直與已知直垂直．

A到BC的距離為AB點B到AC的

D②垂線段最．

距離為BDC到

8.平行線

（）點到直的距離：直線外一點到這條直線的線段的長（）平行線性質(zhì)與判定兩兩互兩直（）平行公及其推論

AB距離為BC（1如果出現(xiàn)兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點作已知直線的平行線.（2在平行線的查考時，通常會結(jié)合對頂角、角平分線、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，解題時注意這些性質(zhì)的綜合運用.

平．知點命與明（1概念：對某一事件作出正確或不正判斷的語

(或式子)叫命

例：下列命題是假命題的有(

③

)9.命題與證明

題，正確的題稱為真題；錯誤命題稱為假命題.（命的結(jié)構(gòu)：由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成命題常寫"如果p那么的形，其中是設(shè)，q是結(jié).（）證明：一個命題的題設(shè)出發(fā)，通過推理來斷命題是成立的過程.證明一個命是假命題時，只要舉出一個反例署名命題不成就可以了一般三角形其性質(zhì)第15講

①相等的角不一定是對頂角；②同角的補角相等；③如果某命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題；④若某個命題是定理，則該命題一定是真命題.知點：角的類性質(zhì)

關(guān)點與應(yīng)例1.

三角形的

（1按角關(guān)系分類（）按邊的系分類

失點示在運用分類討論思想計算等腰分類

三角形周長時，必須考慮三角形三邊關(guān)系.

三邊關(guān)系

三角形任意邊之和大第三邊，意兩邊之差小于第三邊．

例：等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為3.

角的關(guān)系

（1內(nèi)角定理：①三角形的角和等180；②推論：直三角形的銳角互余（2外角性質(zhì)：①三角形的個外角等與它不相的兩個內(nèi)角和.②三角形的意一個外大于任何它不相鄰的內(nèi)角.性質(zhì)

15.利用三角形的內(nèi)、外角的性質(zhì)求角度時，若所給條件含比例，倍分關(guān)系等，列方程求解會更簡便.有也會結(jié)合平行、折疊、等（邊三形的性質(zhì)求解.

三角形中的重線段

平分中線

角平三角將

（1）角平分線、高合求角度時，注意運用三角形的內(nèi)角和為°這隱含條件.（2）當(dāng)同一個三角中出現(xiàn)兩條高，求長度時，注意運用面積這個中間量來列方才能夠求

解.高

銳角三角形三條高相于三角形部；直角三角形的三條高相

中位線

交于直角頂；鈍角三形的三條相交于三角形的外部平行于第三，且等于三邊的一如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC則∠α

1∠BAC-∠(180°∠B-∠）2

三角形

-（90°∠C）

12

(∠C-∠B）；中內(nèi)、外角與

如圖②，BO、CO分別∠ABC、∠ACB的分線，則有∠O=

12

∠A+90°；

對于解答選、填空題可以直接通過論解題，起角平分線的規(guī)

如圖③BOCO分別為∠ABC∠ACD∠OCD的平分則∠

11∠A∠O22

到事半功倍效果.律總結(jié)∠；如圖④，BO、CO分別∠CBD、∠BCE的分線，則∠O=90-知點三形全的質(zhì)判

12

∠A.全等角形的性質(zhì)

(1)(2)(3)全三角形的周長等、面積．

失點示運用全等三角形的性質(zhì)時要注意找對應(yīng)邊與對應(yīng)一般三角形全

（三邊應(yīng)相等）

（兩邊和們的夾角對應(yīng)相等）

ASA（兩和它們的夾角對相等）

AAS（兩和其中一個角的邊對應(yīng)相等）

失點示如圖，和AAA不能定兩個三角全等.

三角形全

等等的判定

直角(1)斜邊和條直角對應(yīng)相等（）三角(2)證明兩個直角形全等同形全SAS,ASA和AAS.等（1利用全等證角、邊相等或求線段長求角度：特征的邊角放到兩個全等的三角中，通過明全等得結(jié)論在尋求等的條件，注意公

例：如圖，在△ABC中，已知∠

全等三角

角、公共邊對頂角等行條件.（2全等角形中的輔助線的作法

∠BE=CD

，，形的運用

①直接連接：如圖①連接公共，構(gòu)造全等.AB=5，②倍長中線：用于證線段的不關(guān)系，如圖②，由SAS可△ACD≌△EBD，AE=2，則則AC=BE.在ABE中，AB+BEAE即AB+AC＞2AD.③截長補短：適合證線段的和關(guān)系，如圖③、④.第講等、邊直三形知點：腰等三形

CE=3.關(guān)點與應(yīng)例

2222

.等腰

（）性∠B＝∠；①等邊對等：兩腰相，底角相，即＝AC②三線合一頂角的平線、底邊的中線和底邊上的高互相重合;

三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成.如：如左圖，已知⊥為BC的中點，則三角形的形狀是等腰三角形三角形

③對稱性：腰三角形軸對稱圖，直線是對稱軸

失點示等腰三角形的（2判

腰和底不明確時，需分類討論

.2.等邊三角形

①定義：有邊相等的角形是等三角形；②等角對等：即若∠＝∠，則ABC是等腰角形.（）性①邊角關(guān)系三邊相等三角都相且都等于60°即AB＝BC＝AC∠BAC＝B＝∠＝60；②對稱性：邊三角形軸對稱圖，三條高線(或角平分線或中)所的直線是對稱軸（）判①定義：三都相等的角形是等三角形；②三個角都等（均為°）的角形是等邊三角形；③任一內(nèi)角°的等腰三形是等邊角形.即若＝AC，且∠＝60°，則△ABC等邊三形.

如若等腰三角ABC一個內(nèi)角為30°則另外兩個角的度數(shù)為30°、120或°、°.（等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質(zhì).（等邊三角形有一個特殊的角°，所以當(dāng)?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時，會結(jié)合直角三角形30°角的性質(zhì)，即例：△ABC中∠，，BC=3，△ABC的周長為知點角分和直分線3.角平

（）性：角平分上的點到的兩邊的離相等．即若∠1＝∠，⊥OA⊥，則＝

中，例：如圖，△ABC∠，AB的垂直分線

（）判：角的內(nèi)到角的兩的距離相的點在角的角平

平分線ACD，交AB，4.垂直

分線上．（）性：線的垂直平分上的點到條線段的端點距離

CD=2，平分線圖

相等．即若OP垂且平分AB，則PB.（）判：到條線段兩端距離相等點在這條段的垂直

則AC=形

平分線上．

知點：角角的定與質(zhì)(1)兩銳角余即∠＋∠B＝°；B＝

（）直積S=1/2ch=1/2ab(中為直角5.直角三角形的性質(zhì)

；(3)邊上的線長等于斜邊長的一半即若是線，則CD＝

h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關(guān)的求長度問題（已知兩邊，利用勾股定理求(4)股定：直角邊a、b的平方等于斜邊c的平方即

a＋b＝.

長度，若斜邊不明確，應(yīng)分類討

222.?222.?6.直角三角形的判定

(1)有個角是直角的三角形是角三角形.即若＝90°，則△是eq\o\ac(△,Rt)(2)如果三角形條邊的中線于這條邊一半，那這個三角形是直角三形．即若AD＝，△ABC是Rt△(3)勾定的逆理a＋b＝c，△ABC是Rt.

論（在折疊問題中，求長度，往往需要結(jié)合勾股定理來列方程解決第講

相似三角形知點：例段

關(guān)點與應(yīng)例1.

在四條線段，bcd中，如果與的比等于c與d的，即a，那么這四線段，b，，d叫做成例線段，稱比例線b

列比例等式，注意四線段的大順序，防止出比例混亂.段．(1)

acb

?ad、≠

已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同比例

(2)

acb

ab

≠

一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中的一個表示出其他的的基本性質(zhì)

am(3)等比性：＝…＝＝(b＋＋…＋?b

字母，再代入求解.如下題可,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=代入求解.＝（、d、···n）（條線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)段

l

l

8，則例：若.b5利用平行線截線段成例求線段或成比例即如所示，若l∥l∥，345

ABB

D.EF

ll

線段比時，意根據(jù)圖列出比例式，靈活運比例基本質(zhì)求解3.

平行

（）平行于三角一邊的直線其他兩邊(或兩邊的

l

例：如圖，知D，分是的邊和AC上的點AE=2，CE=3，使線分段成例定理

延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例OA即如圖所示若AB∥CD，則ODO（）平行于三角一邊的直線和其他兩邊相交，所

C

O

D

DE∥，么BC：CD應(yīng)等

.4.

黃金

構(gòu)成的三角和原三角相似．如圖所示，DE∥BC，則△ADE∽51點C線段AB分成兩線段和BC，果＝=≈，那么線段被點金分割．中點C做線黃金割點，

例：把長為的線段進黃金分割，那么較線段長為5(5－1)cm分割與比叫做金比．知點相三角的質(zhì)判

6.1.6.1.(1)兩角

判定三角形相似的思路：①條件中若有平行(AAA).

線，可用平行線找出相等的角而判定；②條5.

相似

如圖，若∠＝∠D，∠＝∠E則△ABC∽△DEF.(2)

D

件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾這對等角的兩組邊對應(yīng)成比例；③條件中若有兩邊對應(yīng)成比例可找夾角相等；④條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證三角形的判定

∠ADDFDE

ABC

F

明直角邊和斜邊對應(yīng)成比例；⑤條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對底角相等或找底、腰對應(yīng)成比例(3)

D△ABC∽

ABDEDFEF

F相似三角形的性質(zhì)

(1)相成例(2)相比似的平相似三角形應(yīng)高的比對應(yīng)角平線的比和應(yīng)中線的比等于相比．

例：(1)已知△ABC∽△，△ABC周長為3，△DEF的周長為，則△與△DEF的面積之比為9：如圖，BC，AF⊥已知S△ADE:SABC=1:4，則AF:AG=1：2.（1熟悉利用利用相似求解問題的基本圖

相似三

形，可以迅速找到解題思路，事半功倍（2明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)角基型知點：角角數(shù)定

常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應(yīng)邊然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結(jié)果第解角角關(guān)點與應(yīng)例銳角三角函數(shù)

∠的對邊a正弦:sinA＝斜邊c∠的鄰邊b余弦:cosA＝＝斜邊c∠的對邊a正切:＝＝∠的鄰邊

根據(jù)定義求角函數(shù)值，一定根題目圖形來解，嚴格照三角函的定義求解有時需要過輔助線構(gòu)造直角三形2.

特殊角

度數(shù)三角函數(shù)

30°

45°

60°的三角函

sinA

5.（15.（12背式itanα.數(shù)值

tanA1知點解角三形3.

解直角

在直角三角中，除直外，一共五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角角形中除角外的已元素求出所有未知元素的過程

科學(xué)選擇解角三角形方法口訣已知邊直邊，正弦、余弦方三角形的概念

叫做解直角角形．

便；已知直邊求邊，理所然用正切4.

解直角

2b2c(1)a(2)A90°

已知兩邊求邊，勾股理最方便已知兩邊求角，函數(shù)系要記牢已知銳角求角，互余系不能少三角形的常用關(guān)系

a(3)邊之間的關(guān)系：sinA，＝，ccatan＝.b

已知直邊求邊，用除需正余弦例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，則10,b=5.知點解角角的用

解直角三角中“雙直三角形”基本模型：仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(2)()i坡解題法：這兩模型種都一條公α共的直角邊解題時，往往通過這條邊為中介在個三角形依次求邊或通過公共相等，列程求解(3)方角：平面上，通過觀察Ο作一條水平向右為東向)和一條鉛垂線向上為北向，則從點O出發(fā)視線與水線或鉛垂線所夾的角，做觀測的向角．（圖③）(1)6.

解直角

(2)三角形實際應(yīng)用的一般步驟

(3)得出數(shù)學(xué)題的答案檢驗答案是否符合實際意義，從而到問題的解．第單

四形第講

多形平四形知點：邊

關(guān)點與應(yīng)例

.多邊形的相

（）定義：平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接成的封閉形叫做多形．多邊形求度數(shù)時，靈形(n3)活選擇公式度數(shù)，解

nn4.23

關(guān)概念.多邊形的內(nèi)角和、外角和.正多邊形

(n2)2()n－.1.2nn360°/n.

決多邊形內(nèi)角和問題時，多數(shù)列程求解.例：若一個多形的內(nèi)角和為，這個多邊形的邊為10．(2)從多邊的一個點出發(fā)引對線，可以把這個多邊分割成個三角形，該多邊形為形．()n形對稱軸..知點平四邊的質(zhì)

平行四邊形的定義5.平行四邊形的性質(zhì)D平行四邊形中的幾個解題模型

兩組對邊分平行的四形叫做平四邊形，平行四邊形用“eq\o\ac(□,”)eq\o\ac(□,)表示.1行等ABCDCDAD且（）角：對等，鄰互補即∠＝∠BCD∠ABC＝∠ADC∠ABC∠BCD°，∠BAD＋∠ADC180（）對角線互相平分即＝OC，＝OD（）對稱性中心對稱但不是軸對稱等三≌CDBAODCOB,AOB△OAOECOF.②一.3EAD

四一（行四邊中有相等的邊、角平行關(guān)系，所以經(jīng)需結(jié)合三角形全等來題（平行四形對稱中心的任一線等分平行四邊形的積及周長.例：如圖ABCD中，EF過對角線的交點OAB=4，AD=3，，則四邊形的長為

2.2.BEC4據(jù)平四的求，可AEBC=AFCD.知點平四形判（）方法一定義法）：兩組對邊分別行四邊形平行四邊形即若AB∥CD，AD∥，則四邊形ABCD是eq\o\ac(□,.)（）方法二兩組對邊分別相的四邊是平行四形

例：如圖四形的對角線相于點7

.平行四邊形的判定

即若AB＝，AD＝BC，則四邊形ABCD是eq\o\ac(□,.)（）方法三有一組對邊平且等四邊形平行四邊形.即若AB＝CD，AB∥，或AD=BC,AD∥則四邊ABCD是eq\o\ac(□,.)eq\o\ac(□,)（）方法四對角線互相平的四邊形是行四邊形即若OA＝OB＝OD，則四邊形ABCD是eq\o\ac(□,.)（）方法五兩組對角分別相等的四邊形是平行邊形

，請你添一個條件BO=DO或AD∥BC或ABCD（只添加一即可），使四邊形ABCD為平行四邊形若∠ABC＝∠ADC∠BAD＝∠BCD，四邊形ABCDeq\o\ac(□,是)第20講

特殊的平四邊形知點：殊行邊的性與定

關(guān)點及應(yīng)例矩

形

菱

形

正方形

矩形中,Rt≌△DCA≌CDBRt△_兩對全等1.質(zhì)

（1）四個角都是直（1四邊相等（對角線相等且互2對角線互相垂直、平

(1)四條邊都相等，四個角都是直角

的等腰三角所以經(jīng)常結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)解題（具有平行四邊形的一切性質(zhì)，對邊平行且相等）

相平分即（3）面積=長×寬ABD

分，一條對角線平分一組對角（3）面積=底×高對角線_乘積的一半

角線相等且互相垂直平分積=長×邊長AOB

（）菱形中，有兩對等的等腰三角形△≌Rt≌△≌Rt△若∠ABC=60°，則ABC和ADC為等邊三角形，且四個直角三角形中都有一個30°銳角.（）正方形中有個等腰直角三角形，解題時結(jié)合等腰直角三角形的銳角為45°，邊=角邊判定

（定義法：有一個角是直角的平行四邊形（2）有三個角是直

（1義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形（2角線互相垂直的平行四邊形

定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形（2）一組鄰邊相等矩形

例：判斷正誤鄰邊相等的四邊形為菱形（）有三個角是直角的四邊形式矩形（）（對角線相等的平

（3條邊都相等的四邊形（3一個角是直角的菱形

對角線互相垂直平分的四邊形是行四邊形

（）對線相等且互相垂直、

菱形

（）平分

對邊相等的矩形是正方形（）

3.3.包含關(guān)系：聯(lián)系知點：殊行邊的拓歸（1）任意四邊形多到的中點四邊形一定是平行四邊形

如圖，四邊形4.

中點

（2）對角線相等的邊形所得到的中點四邊形是矩形.

ABCD為菱形，四邊形

（3）對角線互相垂的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.（4）對角線互相垂且相等的四邊形所得到的中點四邊形是方形（1）矩形：如圖①，AD上任意一點，過矩形中心O，則△AOE≌△COF,S.

則其中點四邊形EFGD的形狀是形5.

特殊四

（2）正方形如圖②，若EF，則EF=MN;如圖，為AD邊上任意一點，則PE+PF=AO.（變式：如圖④，四邊形ABCD為矩形，則的求法利用面積法，需連接邊形中的解題

圖

③

圖①圖④

圖②模型第六單

圓第21圓基性知點：的關(guān)念（1圓：面上到定點的距離等于長的所有組成的圖形．如所示的圓做⊙（2弦與徑：連接圓上任意兩點線段叫做，過

關(guān)點與應(yīng)例（經(jīng)過圓心的直是該圓的對稱軸，圓的對稱有1.

與圓有

圓心的弦叫直徑，直是圓內(nèi)最的弦.（3?。荷先我鈨牲c間的部分叫弧，小于圓的

無數(shù)條；（3點確一個圓，經(jīng)過關(guān)的概念和性質(zhì)

弧叫做劣弧大于半圓弧叫做優(yōu).（4圓心：頂點在圓心的角叫做心角.（5圓周：頂點在圓上，并且兩都與圓還一個交點的角叫圓周角.（6弦心：圓心到弦的距離.

1點或點圓有無數(shù)個（任意三角形的個頂點確定一個圓即該三角的外接圓知點垂定理其論2.

垂徑定

定理

垂直于弦的徑平分這弦，并且分弦所對的兩條?。?1)(不是的直

關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要理及其論

推論

(2)弦的垂平分線過圓心，并平分弦所的兩條弧

添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形

4.1.4.1.根據(jù)圓的對性，如圖示，在以五條結(jié)論中：AC=BD延伸AE=BE;④AB⊥CD;⑤是直徑.只要滿足其兩個，另三個結(jié)論定成立，即推二知三知點圓角弧弦關(guān)系3.

圓心

定理

在同圓或等中，相等圓心角所的弧相等，所對的弦相等．

圓心角、弧弦之間的量角、、弦的關(guān)系

推論

在同圓或等中，如果個圓心角兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它所對應(yīng)的余各組量分別相等．

關(guān)系必須在圓等式中成立.知點圓角理其論圓周角定理及其推論

（1定理一條弧所對的圓周角等它所對的心角的一.如圖∠∠O.圖圖b圖(2)推論.b∠∠C=90.A+∠C=180ABC+∠ADC=180.與圓有關(guān)的置關(guān)系第22講

在圓中求角時，通常要通過一些圓性質(zhì)進行化.比如圓心與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同或等弧的周角間的轉(zhuǎn)化連直徑，到直角三角形通過兩銳互余進行轉(zhuǎn)化例：如圖，是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，∠，則∠的度數(shù)為．知點：圓關(guān)位關(guān)系

關(guān)點及應(yīng)例點與圓的位置關(guān)系

d.(1)<r點在＝rO上；(3)d>r⊙．

判斷點與圓間的位置系，將該點的圓心距半徑作比即可2.

直

線

位置關(guān)系圖形

相離

相切

相交

由于圓是軸稱和中心稱圖形，所以關(guān)于圓位置或計題中常常和圓的位置關(guān)系

公共點個數(shù)數(shù)量關(guān)系

0個dr

1個dr

2個d＜

出現(xiàn)分類討多解的情.例：已知：的半徑為，圓心直線l的距離為1，將線沿直于l的方向移，使與O相切，則平移的距是1或3.知點切的質(zhì)判

3.4.3.4.切線的判定切線的性質(zhì)切線長

（）與圓有一個公共點的直線是圓的切線（義法）.（）到圓的距離等于半徑的直線是圓的切線.（）經(jīng)過徑外端點并且垂直于這條半徑的直是圓的切.（）切線圓只有一個公共點.（）切線圓心的距離等于圓的半徑.（）切線直于經(jīng)過切點的半徑.（定：從圓外一點作圓的切線，這點與點之間的段長叫做點到圓的切線（切長定理：從圓外一點可以引圓的兩切線，兩線長相等圓心與這一點連線平分條切線的角.

切線判定常的證明方：①知道直線和圓有共點時，半徑，證垂直；②不道直線與有沒有公共點時，作直，證垂段等于半徑.利用切線的質(zhì)解決問時，通常連過切點的徑，利用角三角形的性質(zhì)來解問題.例：如圖，、AC、DB是⊙的切線，P、、D為切點如果AB=5，AC=3則BD的長為2.知點三形圓圖形

相關(guān)概念

圓心確定

內(nèi)、外心的性質(zhì)

內(nèi)切圓半徑與三角形邊的關(guān)系：（1任意三角形的內(nèi)切（如圖a，設(shè)5.

三

角

經(jīng)過三角形定點的圓叫做三角形外接圓，

三角三條垂平

到三角形的三個頂點的

三角形的周長為，則S△ABC=1/2Cr.（2直角三角形的內(nèi)切圓（如圖）形的外接圓

外接圓的圓叫做三角形的外心，個三角形

分線交點

距離相等

①若從定導(dǎo)，r=1/2(a+b+c);若從面積推導(dǎo)，則可得r=.6.

三角

叫做圓的內(nèi)三角形與三角形各都相切的圓叫三形的內(nèi)切圓，內(nèi)圓的

到三角形三條角平

到三角形的三條邊的距離

這兩種結(jié)論可在做選擇題和填空題時直接應(yīng)用.例：已知△的三邊長，，，則它的外切圓半徑是形的內(nèi)切圓

圓心叫做三形的內(nèi)心，這個角形叫圓的外切三形

分線的交點

相等第23講

與圓有關(guān)計算知點正邊與（）正多邊形有關(guān)概念：邊長(a)、中O)、中心角∠AOB)、半徑、邊距r),如圖所示①

關(guān)點與應(yīng)例1

.正多邊形與圓

（）特殊多邊形中各中心角、長度比：中心角=°中角90°中心角=60，△BOC為等邊△a:r:R=2:1:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2

例：(1)如果個正多邊形中心角為72°，么這個正多邊形的邊數(shù)5.(2)半徑的正四形的邊心距為32，中心角等面積為72.

2側(cè)2側(cè)知點：圓關(guān)計公式.弧長和扇形面積的計算

rn1扇形的弧長l＝扇形面積S＝＝lr；360（錐面展開圖是一個扇形，扇形的半徑于圓錐的線，扇形弧長等于圓錐的底周長.（）計算式：

例：已知扇的圓心角45°半徑為12，該扇形的弧長為3在求不規(guī)則形的面積，注意利用割法與等積化方法歸為規(guī)圖形，再用規(guī)則圖形的式求解.

.圓錐與側(cè)面展開圖

=rl

例：如圖，已知一扇形的為3，心為°，則圖中陰影部分的積為第七單元

圖形與變換第講平、稱旋與似知點：形換（定：①軸對稱：把一個圖形沿某一條線翻折過，如果它夠與另一

關(guān)點與應(yīng)例常見的軸對圖形：等三1.

圖形

個圖形重合那么就稱兩個圖形于這條直線對稱．②軸對稱圖：如果一平面圖形著一條直線折疊，直線兩旁的部分

角形、菱形矩形、正形、正六邊、圓等的軸對稱

夠重合，那這個圖形做軸對稱形，這條直線叫做對稱軸.（性：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，么對稱軸任何一對應(yīng)點所連線段的垂直分線；反來，成軸稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被稱軸垂直平2.

圖形

））移

畫位似圖形一般步驟：①確定位似心，②分連接并延長位中心和能表原圖的關(guān)鍵；③根據(jù)似比，確定能表所作的似的平移

圖形的關(guān)鍵；順次連上③平移不改圖形的形和大小，圖形全等．

只改變圖形位置，平后新舊兩

述各點，得放大或縮的圖形．3.

圖形

（在面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某方向旋轉(zhuǎn)個角度，樣的圖形運動稱為旋，這個定稱為旋轉(zhuǎn)心，轉(zhuǎn)動的角度稱為旋轉(zhuǎn)角．）的旋轉(zhuǎn)

一對

4.

圖形

（一圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)，如它能夠與另個圖形重，那么這兩個圖形關(guān)這個點對或中心對，該點叫做對稱中心．的中對稱