技巧丨等腰三角形常用輔助線添加方法,五道經(jīng)典考題詳解

技巧|等腰三角形常用輔助線添加方法，五道經(jīng)典考題詳解等腰三角形，是初中數(shù)學里的一個重點，和等腰三角形有關(guān)的考試題型，各種變式題也特別多。如何快速解決好等腰三角形問題，做到孰能生巧？今天總結(jié)了以下四種和等腰三角形題型有關(guān)的常見輔助線添加方法，共5道例題，有詳細講解。方法1、作“三線合一力中的“一線”1.如圖,AABC中,AB=AC7D是BC的中點，過A點的直線EF〃BC,且AE=AF,求證:DF=DF.（原題圖） （解析圖）證明露如圖，連接AD.?一△ABC中.AB=AC,D是BC的中點,AAD±BC>VEF/7BC,，ADJLEF,又AE=AF,△AD垂直平分EF.方法一：做三線合一中的一線三線合一，是等腰三角形里最重要的性質(zhì)定理之一。所謂三線，就是等腰三角形中，頂角的角平分線底邊的中線，底邊的高線。必然三線合一。例題1，是三線合一的最基礎(chǔ)的題型，D是BC的中點，那么連接AD，通過三線合一的性質(zhì)，得出AD±BC.方法2、作平行線法2.如圖,在AABC中，AB=AC,點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時,點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，己知點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖①，當點P為AB的中點時,求證：PD-QD；(2)如圖②,過點P作直線BC的垂線，垂足為瓦當點P,Q在移動的過程中，線段BE,DE,CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.① 0 宓。

解答：⑴、過P點作PF〃AC交BC于R?*?點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，，BP=CQi?；PF〃AQ,AZPFB-ZACB,NDPWNDQC.VAB=AC,t\ZB=ZACB,ZB=ZPFB,Z.BP-PF,.\PF-CQ.TNPDF=NQDC,PF=CQ,ZDPF-ZDQC,?,■△PFD咨△QCD,APD=QDt⑵、ED的長度保持不變.理由如下：由⑴知PB=PF.：PEJ_BF,ABE=EF.由⑴知絲△QCD,，F(xiàn)D=DC,二ED=EF+FD=BE+DC=」BC,二ED為定值.方法二：做平行線法這個一般是做一腰的平行線，得出兩個角相等，從而得出三角形全等例題2中，這個題是非常常見的考試經(jīng)典題型。第①小題，得出三角形全等，得出PD=QD。第②小題，過點P做PFIIAC,因為WBF是等腰三角形，PE^BF,三線合一得出BE=EF。又因為三角形全等，得出FD=CD。所以，得出ED=BC的一半，即為定值。方法亂截長補短法3.已知：如圖,在△ABC中,ABhACR是△ABC外一點,且ZABD=60-,ZACD=60-求證：BD+DOAB.（原題圖） （解析圖）證明，延長BD到F,使BF=B號連接AF,CF,VZABD^60°,???△ABF為等邊三角形,AF=AB-AC=BF#ZAFB=60",，ZACF-ZAFC,XVZACD=60°,AZAFB=ZACD=60°JNDFC=/DC凡ADODF..\BD+DC=BD+DF=BF=AB,IPBD+DC=ABt方法三：截長補短法，或者叫截長取短法簡單說，就是在某一條線段上截取一條線段，和已知線段相等?；蛘?，延長某一線段，使之等于某已知線段。此解題方法常用，請大家細心鉆研，平時多探索，勤學苦練。例題3，就是一道延長某一線段，使之等于某已知線段，經(jīng)典考試題型。4.如圖，在△4.如圖，在△ABC中，NBAC=12(T,AD_LBC于D,且AB+B2DC,求NC的度數(shù).（原題圖） ［解析圖）解答：在DC上截取DE=BD,連接AE＞如圖所示，VAD±BC,.\ZADB=ZADE=90°,在△ABD和AAED中，AD三AD,NADB=NADE,DB^DE,AAABD^AAED(SAS)r，AB=AE,二/AEH才又??*AB田DMD,DE=BD,JAB+DEXD,而CD=DE+EC,AAB=EC,AAE=EC,故設(shè)NONEAC二x,???/AEB為4AEC的外角，AEB=/EAC+NC=2x,AZB=2x,???在△皿。中，ZBAC+ZB+ZC=180二120*+2x+x=180°解得：解得：x=20°,貝IJNO20,例題4，這就是一道在某一條線段上截取一條線段，和已知線段相等，通過等量轉(zhuǎn)換，得出結(jié)論的經(jīng)典考試題型。方法4、加倍折半法,倍長中線法5,如圖，CE、CB分別是AABC與的中線,（原題圖） ［解析圖）證明：過B作BFVAC交CE的延長線于F,?；CE是中線，BF//AC,，AE=BE,NA=NABRZACE-ZF,在4ACE和ABFE中，NA=NABF,NACE=NF,AE=BE,^△ACE^ABFE(AAS),ICE二EF才AOBF)ACF^CE,又VZACB=ZABC,CB是△ABC的中線，二AOAB=BD=BF,VNDBC=/A+NACB=NABF+NABC,:.ZDBC^ZFBC>在ADBC和△FBC中，DB=FB,ZDBC-ZFBC,BC=BC,AADBC^AFBC(SAS),二DOCF=2CE.方法四：加倍折半法，倍長中線法例題5，解析說過點B做BFIIAC,最后得出的還是線段相等。其實，這個