第二章流變學(xué)基本物理量

第二章流變學(xué)基本物理量第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日第二章流變學(xué)基本物理量簡單實(shí)驗(yàn)：實(shí)際材料發(fā)生的變形和受力情況是復(fù)雜的，要找出其應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系十分復(fù)雜。因此，在流變學(xué)中采用一些理想化的實(shí)驗(yàn)，使應(yīng)力和應(yīng)變能很準(zhǔn)確地定義和分析，這種理想化的實(shí)驗(yàn)被稱為簡單實(shí)驗(yàn)。特點(diǎn)：（1）材料是均勻的，各向同性的。（2）材料被施加的應(yīng)力和應(yīng)變是均勻的和各向同性的，即應(yīng)力、應(yīng)變與坐標(biāo)及其方向無關(guān)。在流變學(xué)中討論變形時(shí)，要研究變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系；而討論流動(dòng)時(shí)，要研究應(yīng)力與應(yīng)變速率的關(guān)系。因此，首先要定義材料發(fā)生各種變形或流動(dòng)時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變速率。第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)變（strain)1.各向同性的壓縮和膨脹

A.邊長變化參數(shù)和B.體積變化參數(shù)V/Vo第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.拉伸和單項(xiàng)壓縮3.簡單剪切和簡單剪切流動(dòng)第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)力(stress)應(yīng)力產(chǎn)生原因：物體在外力或外力矩作用下會產(chǎn)生流動(dòng)或（和）形變，同時(shí)為抵抗流動(dòng)或形變，物體內(nèi)部產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)力。應(yīng)力的定義：材料內(nèi)部單位面積上的響應(yīng)力，t=df/ds單位為Pa或MPa(1Pa=1N.m-2)，df為作用在表面上無限小面積ds上的力，在簡單實(shí)驗(yàn)中，由于力是均勻的，t=f/s特點(diǎn)：在平衡狀態(tài)下，物體所受的外應(yīng)力與內(nèi)應(yīng)力數(shù)值相等。第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日由于研究聚合物流體的粘彈性，所以首先引入張量概念，并研究應(yīng)力—應(yīng)變—應(yīng)變速率張量之間的關(guān)系，并由此導(dǎo)出流變狀態(tài)方程。張量(Tensor)高聚物流變學(xué)的發(fā)展，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用密切相關(guān)。特別是張量分析的數(shù)學(xué)概念。幫助建立矢量空間的思維能力，以便更好的理解流變學(xué)基本方程，以及一些加工應(yīng)用方程的推導(dǎo)。全面學(xué)習(xí)和研究流變學(xué)，必須具有矢量代數(shù)、線性代數(shù)和張量運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日十九世紀(jì)中葉，柯西將應(yīng)力和應(yīng)變引入彈性理論，發(fā)現(xiàn)要決定一個(gè)體積元的受力狀態(tài)要用九個(gè)分量來表示，這九個(gè)分量彼此不相分離，就好象某種物理量的九個(gè)分量。在相當(dāng)長一段時(shí)間內(nèi)物理學(xué)家都很難給它起名，繼而晶體物理學(xué)家在自己的研究領(lǐng)域又發(fā)現(xiàn)許多這種量，法國物理學(xué)家沃特根據(jù)最初發(fā)現(xiàn)它的張力來源，將它們命名為“張量”。第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日零階張量（標(biāo)量），有大小，無方向，純數(shù)值的量如：質(zhì)量、體積、密度、溫度、熱導(dǎo)率、熱擴(kuò)散率、比定壓熱容和能量。一階張量（向量、矢量），有大小，方向如：位移、速度和溫度梯度等。矢量用粗體代號或一個(gè)腳碼代號表達(dá)，

ai=a=axi+ayj+azki、j、k是平行于x、y、z軸的單位矢量，三個(gè)分量ax、ay、az是矢量在x、y、z軸上的投影，常把x、y、z寫成1、2、3簡單的說：張量概念是矢量概念和矩陣概念的推廣，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，矩陣（方陣）是二階張量，而三階張量則好比立體矩陣，更高階的張量用圖形無法表達(dá)。

張量(Tensor)第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日二階張量和高階張量，有大小，方向。如：σ張量物理學(xué)定義——在一點(diǎn)處不同方向面上具有各個(gè)矢量值的物理量。流變學(xué)應(yīng)用的是二階張量，是“面量”。張量數(shù)學(xué)定義——在笛卡爾坐標(biāo)系上一組有3n個(gè)有序矢量的集合。指數(shù)n稱為張量的階數(shù)，二階笛卡爾張量n=2,標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量。

所以我們說張量是物理量的家族，是各種物理量的概括和一般化。第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日張量是反映事物內(nèi)某一部分與另一部分不可分割聯(lián)系的物理量，包含著相互聯(lián)系的一系列物理量，是向量標(biāo)值的多線形函數(shù)，如表面、內(nèi)部應(yīng)力、剪切速率等。標(biāo)量在統(tǒng)一的張量概念里是0階張量；線向量在統(tǒng)一的張量概念里是一階張量；面向量是二階張量有大小、方向和作用平面；多階張量是多維向量的綜合體；一般常用二階張量。第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日張量的特征：張量可以按定量關(guān)系在不同坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換，可以從一個(gè)直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)直角坐標(biāo)系中，還可以轉(zhuǎn)換到柱面坐標(biāo)系（r,θ,z)和球面坐標(biāo)系(r,θ,φ)中。張量分量可在各種坐標(biāo)系中描述。張量分量具有一定的空間分布。張量具有可分解性和可加和性。第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日幾個(gè)特殊的張量單位張量單位張量的表達(dá)式第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日對稱張量二階張量的下標(biāo)i與j互換后所代表分量不變，稱為二階對稱張量。即有σij=σji二階對稱張量的矩陣表示形式中各元素關(guān)于對角線對稱。因而只有六個(gè)獨(dú)立元素。有：第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日反對稱張量二階反對稱張量的分量滿足pij=-pji對角線各元素為零，從而只有三個(gè)獨(dú)立分量，有任何一個(gè)二階張量均可唯一的分解為一個(gè)二階對稱張量和一個(gè)二階反對稱張量之和。第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日張量的代數(shù)運(yùn)算（1）張量相等兩個(gè)張量相等，則各分量一一對應(yīng)相等。若兩個(gè)張量在某一笛卡爾坐標(biāo)系中相等，則它們在任意笛卡爾坐標(biāo)系中也相等。Aij=Bij第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日（2）同階張量加減兩張量必須同階才能加減。張量的加減為同一坐標(biāo)系下對應(yīng)分量相加減。即Tij=Aij+Bij第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日（3）張量數(shù)乘張量Aij和標(biāo)量λ的乘積，也稱張量放大。就是把Aij的各個(gè)分量分別乘以λ。有Bij=λAij根據(jù)以上法則，流變學(xué)中常用的一種變換第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日(4)張量的單點(diǎn)積張量Aij和張量Bij的單點(diǎn)積，按矩陣乘法運(yùn)算，單點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。有第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日二階張量用粗體字符或帶大括號，或用雙腳標(biāo)表示流變學(xué)中的參量如：應(yīng)力、應(yīng)變、剪切應(yīng)力、剪切速率和應(yīng)力速率等都是張量。第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)力的分量表示法和應(yīng)力張量在流變學(xué)中，應(yīng)力的性質(zhì)包括三個(gè)方面，除應(yīng)力的方向和大小外，還必須指出應(yīng)力是作用在材料的哪一個(gè)表面上，因?yàn)橥瑯哟笮『头较虻膽?yīng)力，如作用在不同的表面，材料會發(fā)生不同的變形。采用應(yīng)力的分量表示法就可以完全地描述一個(gè)應(yīng)力的性質(zhì)，即應(yīng)力的方向、大小和作用面。應(yīng)力的分量用兩個(gè)下標(biāo)表示。第一個(gè)下標(biāo)表示該應(yīng)力的作用面，第二個(gè)下表則表示應(yīng)力的方向。在直角坐標(biāo)系中，材料試樣的作用面分為x，y，z面。x面為與x軸垂直的面，y面與z面也一樣。第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日tx={Txx,Txy,Txz}t1={T11,T12,T13}ty={Tyx,Tyy,Tyz}t2={T21,T22,T23}tz={Tzx,Tzy,Tzz}t3={T31,T32,T33}將t1，t2，t3沿坐標(biāo)軸方向分解，得到T12指的是作用在第一個(gè)面元上的牽引t1力在n2方向的分量。第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)力張量可完整地描述物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。9個(gè)分量組成的數(shù)組稱為應(yīng)力張量或?qū)懗蒚=第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日平衡時(shí)，物體所受的合外力與和外力矩等于零，于是，平衡時(shí)應(yīng)力張量中沿主對角線對稱的剪切分量應(yīng)相等。即Tij=Tji(i,j=1,2,3).這表明，平衡時(shí)應(yīng)力張量為對稱張量，其中只有六個(gè)獨(dú)立分量。三個(gè)為法向應(yīng)力分量，三個(gè)為剪切應(yīng)力分量。而所有所有Tij(i≠j;i,j=1,2,3)分量都作用在相應(yīng)面元的切線方向上，稱為應(yīng)力張量的剪切分量；所有Tii(;

i=1,2,3)分量都作用在相應(yīng)面元的法線方向上，稱為應(yīng)力張量的法向分量。剪切力的物理實(shí)質(zhì)是粘滯力或內(nèi)摩擦力，法向力的物理實(shí)質(zhì)是彈性力（拉力或壓力）。于是應(yīng)力張量可以完整地描述粘彈性物體在流變過程中的復(fù)雜內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)。第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日簡單實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力張量（三種基本）1.拉伸實(shí)驗(yàn)拉伸試驗(yàn)中，在一個(gè)矩形斷面的試樣的端面上施加一個(gè)與端面垂直的力，采用笛卡爾坐標(biāo)系，很明顯該應(yīng)力為txx:txx=f/A且tx={Txx,Txy,Txz}={f/A,0,0}ty={Tyx,Tyy,Tyz}={0,0,0}tz={Tzx,Tzy,Tzz}={0,0,0}T=Txx00000000第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.各向同性的壓縮T=Txx000Tyy000Tzz第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.簡單剪切應(yīng)力與作用面平行第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日接觸力(內(nèi)力)接觸力是物體內(nèi)的一部分通過假想的分隔面作用在相鄰部分上的力，也即外力向物體內(nèi)傳遞。第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日偏應(yīng)力張量根據(jù)力的性質(zhì)不同，應(yīng)力張量可以分解表示，其中最常見的分解形式如下：T=1/3(trT)I+σ式中：trT=T11+T22+T33稱為張量的跡I為單位矢量

σ偏應(yīng)力張量若定義–p=1/3trT則T可分解為T=-pI+σ分量式：T=-pδij+σij式中p為各向同性壓力（靜水壓力），處在任何狀態(tài)下的流體內(nèi)部都具有各向同性壓力。它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，負(fù)號表示壓力方向指向封閉曲面的內(nèi)部。

δij=0（i=j）δij=1（i≠j）單位張量I=1

00010010第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日軸向應(yīng)力張量，作用于物體時(shí)指引起體積大小改變（流體靜力學(xué)）剪切應(yīng)力張量，形狀改變（偏應(yīng)力張量）+第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日偏應(yīng)力張量是應(yīng)力張量中最重要的部分，直接關(guān)系到物體流動(dòng)和形變（粘性形變和彈性形變）的描寫。與應(yīng)力張量相似也是對稱張量，只有六個(gè)獨(dú)立分量。三個(gè)為法向應(yīng)力，三個(gè)為剪切應(yīng)力分量：

第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日例1靜止液體的內(nèi)應(yīng)力靜止液體內(nèi)只有法向應(yīng)力（實(shí)際上就是各向同性壓力），無剪切應(yīng)力。故各應(yīng)力分量為

應(yīng)力張量記為

應(yīng)力張量只有各向同性壓力，偏應(yīng)力張量為0任何靜止的平衡液體，或是靜止或流動(dòng)的無粘流體都處于這種應(yīng)力狀態(tài)。

第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日例2均勻拉伸或壓縮設(shè)流體只受到一個(gè)方向的拉力或壓力，除此之外不再有任何其他作用力，各應(yīng)力分量為：材料在單軸拉伸流場中（紡絲過程）處于這種應(yīng)力狀態(tài)。此時(shí)體系處于沿x1方向的均勻拉伸或壓縮狀態(tài)。τ0為拉伸，τ<0為壓縮。第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日例3均勻剪應(yīng)力設(shè)流體的應(yīng)力狀態(tài)為：只有剪切分量T12=T21=,=常數(shù)，而所有其他剪切分量為零。這種剪應(yīng)力稱均勻剪應(yīng)力。當(dāng)流體沿x1方向流動(dòng)，而在x2=常數(shù)的平面上受到剪切時(shí)，例如在x1方向分層流動(dòng)的簡單剪切流場中，可能發(fā)生均勻剪應(yīng)力。簡單剪切流場發(fā)生在許多儀器、設(shè)備、模具內(nèi)的材料流動(dòng)場中，是流變學(xué)研究的最重要的流動(dòng)形式。第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日考察在簡單剪切流場中材料所受的法向應(yīng)力的情況

牛頓流體只有粘性而無彈性，因此在應(yīng)力張量中與彈性形變聯(lián)系的各法向應(yīng)力分量相等，均可歸于各向同性壓力。而偏應(yīng)力張量中，各法向應(yīng)力分量等于0。應(yīng)力張量T分解為：偏應(yīng)力張量中只有一個(gè)獨(dú)立分量——剪切應(yīng)力分量，故只需定義一個(gè)函數(shù)——粘度函數(shù)——就可以完全描述其力學(xué)狀態(tài)。

第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日高分子液體是粘彈性流體，在剪切場中既有粘性流動(dòng)，又有彈性形變，一般情況下三個(gè)坐標(biāo)軸方向的法向應(yīng)力分量不相等，。因此要完整描述高分子液體的應(yīng)力狀態(tài)，偏應(yīng)力張量中至少需要4個(gè)應(yīng)力分量：流變函數(shù)除了粘度函數(shù)外，還要定義與法向應(yīng)力分量相關(guān)的函數(shù)。第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日偏應(yīng)力張量中法向應(yīng)力分量的值與各向同性壓力的大小有關(guān)。

注意:給出的各向同性壓力的定義有一定任意性，這就使得應(yīng)力張量的分解方法有多種結(jié)果。見下例，同一個(gè)應(yīng)力張量給出兩種不同的分解方法。兩種結(jié)果中各向同性壓力的值不同，由此導(dǎo)致偏應(yīng)力張量中法向應(yīng)力分量的值不同。但不管應(yīng)力張量如何分解，偏應(yīng)力張量中兩個(gè)法向應(yīng)力分量的差值始終保持不變。

第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日在高分子液體流變過程中，單獨(dú)去追求法向應(yīng)力分量的絕對值沒有多大意義。

重要的是，兩個(gè)法向應(yīng)力分量的差值在各種分解中始終保持不變，于是我們就可以定義兩個(gè)法向應(yīng)力差函數(shù)來描寫

材料彈性形變行為：N1、N2加上粘度函數(shù)，用此三個(gè)函數(shù)就可以完整描寫簡單剪切流場中高分子流體的應(yīng)力狀態(tài)和粘彈性。

法向應(yīng)力差不會由于各向同性壓力的加入而改變。第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日形變和形變梯度張量形變：物體在平衡的外力或外力矩作用下發(fā)生形狀和尺寸的變化稱為形變。按宏觀表現(xiàn)來分類:形變可分為簡單剪切、均勻拉伸和壓縮、純剪切、純扭轉(zhuǎn)、純彎曲、膨脹和收縮等。實(shí)際物體的形變往往是這些簡單形變的復(fù)雜組合。高分子液體流動(dòng)中發(fā)生的主要形變方式有剪切、拉伸、壓縮及其組合。第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

簡單剪切形變

物體內(nèi)一些平行平面彼此作相對移動(dòng)，相對移動(dòng)的大小與平面間距成比例，移動(dòng)方向與平面平行。

矩形材料經(jīng)簡單剪切變?yōu)榈捉菫?0-γ的平行四邊形，矩形內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)P（X1，X2，X3）位移到平行四邊形中的P’(x1，x2，x3）點(diǎn)位置，其位置矢量由X變?yōu)閤。由圖可以導(dǎo)出簡單剪切形變的描述方程：第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日注意:X2=常數(shù)的平面為剪切平面，X1方向?yàn)槲矬w層面平移的方向。角γ的大小可以作為簡單剪切形變的度量（當(dāng)γ很?。?。簡單剪切形變不引起物體任何部分體積的改變。第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日均勻拉伸形變

發(fā)生均勻拉伸形變時(shí)，物體在一個(gè)或幾個(gè)坐標(biāo)軸方向經(jīng)歷均勻伸縮。若三個(gè)坐標(biāo)軸方向都有伸縮形變，則形變可由如下方程描寫式中λ1、λ2、λ3稱為拉伸比，可為常數(shù)或時(shí)間t的函數(shù)，λ的值可以作為拉伸形變的一種度量。

第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日圖給出兩種典型的拉伸形變過程。

A表示一維拉伸形變，其形變度量可記為：λ11,λ2=λ3=1/λ0.5;B表示二維拉伸形變，材料在x2x3兩個(gè)方向受到拉伸，形變度量記為：λ21,λ31,λ1=1/λ2λ3若λ1=λ2=λ3，則表明物體經(jīng)歷均勻膨脹或壓縮；若λ1=1/λ2，而λ3=1，這種形變是純剪切的。假定在拉伸形變過程中材料的體積保持不變，則有λ1λ2λ3=1第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日形變梯度張量設(shè)在時(shí)刻t1，t2物體分別占有空間位形1、位形2。在t1時(shí)刻物體內(nèi)的任一線元dX,在t2時(shí)刻占據(jù)的空間位置變?yōu)閐x,則定義t1-t2時(shí)刻間，物體內(nèi)發(fā)生的形變梯度為：第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日一般來說，F(xiàn)一個(gè)非對稱張量，這一性質(zhì)決定了F不是形變的恰當(dāng)度量。從應(yīng)力張量的性質(zhì)看，應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量都是對稱張量，由此可見與其相對應(yīng)的形變度量也應(yīng)該是對稱張量。F形變梯度張量，這是一個(gè)二階張量。用分量式展開來寫，記為：第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日Cauchy-Green形變張量和Finger形變張量

盡管F不是對稱張量，但F可構(gòu)成一些新的張量，這些張量是對稱張量，它們能正確的描述有限形變。這些張量有Cauchy-Green形變張量，定義為：式中FT為F的轉(zhuǎn)置張量，(FT)ij=Fjicauchy-Green張量分量式記為：式中F-1為F的逆張量。當(dāng)Finger形變張量，定義為

另外上式中還利用了張量的性質(zhì)：（FT）-1=（F-1）T第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日Finger張量分量式記為：注意Cauchy張量與Finger張量不是有限應(yīng)變的等值度量。Cauchy張量與Finger張量的不同之處在于其定義不同，形象地說：盡管兩者都可以描述形變，但兩者是有差別的。第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日例1簡單剪切形變中形變張量簡單剪切形變：x1=X1+X2tg,x2=X2,x3=X3根據(jù)定義，形變梯度張量為：求逆矩陣的方法：①用定義，當(dāng)AB=E(或BA=E)且A,B為方陣時(shí)，有A-1=B②用伴隨矩陣③用初等變換法第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日形變張量分別記為：可以看出，F(xiàn)確實(shí)為非對稱張量，而C和C-1均為對稱張量，后者具有無形變時(shí)度量不變的性質(zhì)。第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日例2均勻拉伸形變中形變張量均勻拉伸形變：x1=1X1,x2=2X2,x3=3X3根據(jù)定義得到

第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日速度梯度和形變率張量在流動(dòng)過程中，與流體應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的更重要物理量，往往不是形變的大小，而是形變進(jìn)行的速率，它與流動(dòng)場中的速度梯度密切相關(guān)。速度梯度張量定義：設(shè)在某一瞬時(shí)位形，流體內(nèi)的流動(dòng)速度場為v，如下：

分量式記為

注意公式中速度矢量v和位置矢量x都應(yīng)是同一瞬時(shí)位形中的物理量。第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日速度梯度張量L一般為非對稱張量，按張量性質(zhì)，一個(gè)非奇異的二階張量總可以分解成一個(gè)對稱張量與一個(gè)反對稱張量之和。于是可以將L寫成：式中

其中d為對稱張量，稱形變率張量，表征了材料形變的速率。ω為反對稱張量，稱旋轉(zhuǎn)速率張量，與材料的形變無關(guān)。第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日例1簡單剪切流場中的形變率張量簡單剪切流場，一律取x1方向?yàn)榱鲃?dòng)方向，X2方向?yàn)樗俣忍荻确较?，第三個(gè)方向X3為中性方向。簡單剪切流場的速度場為：式中稱剪切速率，單位為s-1x1x3x2由此得速度梯度張量：第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日分解L得到形變率張量d和旋轉(zhuǎn)速率張量ω分別為：可以看出，d為對稱張量，ω為反對稱張量。第