測量平差重點難點

第二章全章共分5節(jié)，是本課程的重點內容之一。

重點：偶然誤差的規(guī)律性，精度的含義以及衡量精度的指標。

難點：精度、準確度、精確度和不確定度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律；牢固掌握衡量精度的兒個指標。

第三章全章共分7節(jié)，是本課程的重點內容之一。

重點：協(xié)方差傳播律，權與定權的常用方法，以及協(xié)因數(shù)傳播律。

難點：權，權陣，協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣等重要概念的定義，定權的常用方法公式應用的條件，

以及廣義傳播律（協(xié)方差傳播律和協(xié)因數(shù)傳播律）應用于觀測值的非線性函數(shù)情況下

的精度評定問題。

要求：通過本章的學習，弄清協(xié)因數(shù)陣，權陣中的對角元素與觀測值的權之間的關系；

能牢固地掌握廣義傳播律和定權的常用方法的全部公式，并能熟練地應用到測量

實踐中去，解決各類精度評定問題。

第四章全章共分5節(jié)。

重點：測量平差的基本概念，四種基本平差方法的數(shù)學模型和最小二乘原理。

難點：函數(shù)模型的線性化，隨機模型。

要求：牢固掌握木章的重點內容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含義；對于較

簡單的平差問題，能熟練地寫出其數(shù)學模型。

第五章全章共分4節(jié)，是基本測量平差方法之一。

重點：條件平差的數(shù)學模型，平差原理,基礎方程及其解以及精度評定問題。

難點：各種不同類型的控制網(wǎng)（水準網(wǎng)，測角網(wǎng)和測邊網(wǎng)）中，必要觀測數(shù)——t的

確定，非線性條件方程線性化，以及求平差值非線性函數(shù)的中誤差。

要求：通過本章的學習，能牢固掌握并能推導條件平差全部的公式；能熟練地列出各

種控制網(wǎng)中的條件方程并化為線性形式；并求出平差值、單位權中誤差和平差

值函數(shù)的中誤差。

第六章全章共分3節(jié)，是基本測量平差方法之一。

重點：附有參數(shù)的條件平差數(shù)學模型，平差原理，基礎方程及其解。

難點：各種不同類型的控制網(wǎng)中，條件方程個數(shù)——c的確定，函數(shù)模型的建立。

要求：了解附有參數(shù)的條件平差法的平差原理；在對各種類型的控制網(wǎng)平差時，能準確

地確定條件方程的個數(shù)；并熟練地列出條件方程以及組成法方程。

7

全章共分9巧，是基本平差方法之一。

重點：間接平差原理、數(shù)學模型、基礎方程及其解，以及精度評定等內容。

難點：測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)坐標平差和導線網(wǎng)、GP$網(wǎng)間接平差時誤差方程的列立及線性化，

求參數(shù)的非線性函數(shù)的中誤差。

要求：通過本章的學習，牢固掌握間接平差的平差原理并能推導全部的公式；能熟練

地列出測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)坐標平差的線性化誤差方程，以及參數(shù)的非線性函數(shù)的權

函數(shù)式；并求出參數(shù)平差值、單位權中誤差和參數(shù)函數(shù)中誤差。

第八章全章共分3節(jié)，是基本平差方法之一。

重點：附有限制條件的間接平差原理，函數(shù)模型的建立和法方程的組成，以及求參數(shù)

函數(shù)的中誤差。

難點：誤差方程的列立，限制條件個數(shù)——s的確定及方程的列立，求參數(shù)函數(shù)的協(xié)因數(shù)。

要求：了解附有限制條件的間接平差原理，能熟練地列出對各種控制網(wǎng)平差時的誤差方程

和限制條件方程，并組成法方程。

第九章全章共分5節(jié)，是對4種基本平差方法的綜合和總結。

重點：附有限制條件的條件平差（概括平差函數(shù)模型）函數(shù)模型的建立，概括平差函數(shù)

模型與4種基本平差方法函數(shù)模型之間的關系。

難點：最小二乘估計量最優(yōu)統(tǒng)計性質的證明和單位權方差估值公式的推導。

要求：弄清各種平差方法的共性和特性，以及4種基本平差方法函數(shù)模型與概括平差函數(shù)

模型之間的關系。

第十章全章共分6節(jié)。

重點：誤差橢圓、相對誤差橢圓三個參數(shù)的計算、作法和用途，任意方向。（或吠）的

位差的計算公式。

難點：極值方向WE和程F的確定和誤差橢圓的作用。

要求：通過本章的學習，能熟練地求出任意方向0(或次)上的位差；根據(jù)已知待定點坐

標平差值協(xié)因數(shù)陣，準確地計算誤差橢圓、相對誤差橢圓的三個參數(shù)并畫出略圖,

誤差橢圓在平面控制網(wǎng)優(yōu)化設計中的作用。

第一章思考題1.1觀測條件是由那些因素構成的？它與觀測結果的質量有什么聯(lián)系？

1.2觀測誤差分為哪幾類？它們各自是怎樣定義的？對觀測結果有什么影響？試舉例說明。

1.3用鋼尺丈量距離，有下列幾種情況使得結果產(chǎn)生誤差，試分別判定誤差的性質及符號：

(1)尺長不準確；

(2)尺不水平；

(3)估讀小數(shù)不準確；

(4)尺垂曲；

(5)尺端偏離直線方向。

1.4在水準了中，有下列幾種情況使水準尺讀書有誤差，試判斷誤差的性質及符號：

(1)視準軸與水準軸不平行；

(2)儀器下沉；

(3)讀數(shù)不準確；

(4)水準尺下沉。

1.5何謂多余觀測？測量中為什么要進行多余觀測？

答案：

1.3(1)系統(tǒng)誤差。當尺長大于標準尺長時，觀測值小，符號為“+”；當尺長小于標準

尺長時，觀測值大，符號為

(2)系統(tǒng)誤差，符號為

(3)偶然誤差，符號為“+”或“-”

(4)系統(tǒng)誤差，符號為

(5)系統(tǒng)誤差,符號為

1.4(1)系統(tǒng)誤差，當i角為正時，符號為當i角為負時，符號為“+”

(2)系統(tǒng)誤差，符號為“+”

(3)偶然誤差,符號為"+”或

(4)系統(tǒng)誤差，符號為

第二章思考題

2.1為了鑒定經(jīng)緯儀的精度，對已知精確測定的水平角夕=450000,作12次同精度觀測,

結果為：

45°00'06"45°59'55"45°59'58"4500004

4500003"45°00'04"45°00'00"45°59'58"

45°59'59"45°59'59"45°00'06'45°0003,

設。沒有誤差，試求觀測值的中誤差。

2.2已知兩段距離的長度及中誤差分別為300.465m±4.5cm及660.894m±4.5cm,試說明這

兩段距離的真誤差是否相等？他們的精度是否相等？

2.3設對某量進行了兩組觀測，他們的真誤差分別為：

第一組：3,-3,2,4,-2,-1,0,-4,3,-2

第二組：0,-1,-7,2,1,-1,8,0,-3,1

試求兩組觀測值的平均誤差￡、R和中誤差可、（72,并比較兩組觀測值的精度。

2.4設有觀測向量L,]7,已知名=2秒，&=3秒，44=一2秒2,試寫出其

協(xié)方差陣。。

22XX

'4-20'

2.5設有觀測向量X=[4心4了的協(xié)方差陣〃=-29-3,試寫出觀測值

3133XX

0-316

L”L2,小的中誤差及其協(xié)方差（7%、和與心。

答案：

2.16=3.62"

2.2它們的真誤差不一定相等，相對精度不相等，后者高于前者

2.3?=2.44=2.44=2.7<7,=3.6

兩組觀測值的平均誤差相同，而中誤差不同，山于中誤差對大的誤差反應靈敏，故通常采用

中誤差做為衡量精度的的指標，本題中@<力，故第一組觀測值精度高

（4一2、

242丫丫=0Q（秒2）2?5%=2,%=3，%=4.。%=-2,%4=°,氣4=-3

y7

第三章思考題

3.1下列各式中的乙（i=l,2,3）均為等精度獨立觀測值，其中誤差為（T,試求X的中誤差:

⑴x=g（L,+￡3）+4；

（2）x=生

k

3.2已知觀測值4，4的中誤差S=。2=。，02=0，設乂=24+5,丫=4-24，

Z=L.L,,t=X+Y,試求X,Y,Z和/的中誤差。

3.3設有觀測向量4=[4L2其協(xié)方差陣為

-400~

DLL=030

002

分別求卜列函數(shù)的的方差:

(1)F1=L]—3k；

(2)F2—3L,2J

Tsin/

3.4設有同精度獨立觀測值向量f=&JLj的函數(shù)為X=S"百工，

匕=%s—&，式中%B和S.為無誤差的已知值，測角誤差。=1"，試求函數(shù)的方差。：、

CT；及其協(xié)方差

)2)1)2

3.5在圖中△ABC中測得NA士邊長6±q，c±(Tc,試求三角形面積的中誤差區(qū)。

3.6在水準測量中，設每站觀測高差的中誤差均為1mm,今要求從已知點推算待定點的高

程中誤差不大于5cm,問可以設多少站？

3.7有一角度測4個測回，得中誤差為0.42〃，問再增加多少個測回其中誤差為0.28〃？

3.8在相同觀測條件下，應用水準測量測定了三角點A,B,C之間的高差，設三角形的邊

長分別為S/=10km,S2=8km,S尸4km,令40km的高差觀測值權威單位權觀測，試求各段

觀測高差之權及單位權中誤差。

3.9以相同觀測精度NA和ZB,其權分別為乙=；,Peg已知％=8",試求單位

權中誤差缶和NA的中誤差2。

■5-2"

3.10已知觀測值向量L的權陣為士力=,試求觀測值的權弓和弓、

21LL—24L,■

答案:

+片］+H

3.1⑴4=(J

3.2(Tv=2(T,CTV=V5<T,￡T.=7^；=V13<T

3.3D,.=22,DF,=184+27c

,S2

3.4(T2=—^■―—(cos2L,+sin2L.cot2L,)

"Vp2sin2L.V"1”

吟=1(秒B

巴必=o

222222222

3.5<7(^^bCcos\(y\/(/?")+CsinAo;+bsinAcr(

3.6最多可設25站

3.7再增加5個測回

3.8[=4.0,6=5.0,6=10.0,CTO=V4OCT(M

3.90)=5.66,(JA=11.31

3.104=4,2=—

445

第四章思考題

4.1幾何模型的必要元素與什么有關？必要元素就是必要觀測數(shù)嗎？為什么？

4.2必要觀測值的特性是什么？在進行平差前，我們首先要確定哪些量？如何確定幾何模型

中的必要元素？試舉例說明。

4.3在平差的函數(shù)模型中，n,t,r,u,s,c等字母代表什么量？它們之間有什么關系？

4.4測量平差的函數(shù)模型和隨機模型分別表示那些量之間的什么關系？

4.5最小二乘法與極大似然估計有什么關系？

第五章思考題參考答案

(a)n=6,t=3,r=3

(b)n=6,t=3,r=3

(c)n=14,t=5,r=9

(a)n=13,t=6,r=7

共有7個條件方程,其中有5個圖形條件,2個極條件。

(b)n=14,t=8,r=6

共有6個條件方程,其中有3個圖形條件,3個極條件。

(c)n=16,t=8,r=8

共有8個條件方程,其中有6個圖形條件,2個極條件。

(d)n=12,t=6,r=6

共有6個條件方程,其中有4個圖形條件,1個圓周條件，1個極條件。

5.3n=23,t=6,r=17

共有17個條件方程，其中有9個圖形條件，1個圓周條件，1個固定角條件，1個

固定邊條件，5個極條件。

5.4(1)n=22,t=9,匚13：7個圖形條件，1個圓周條件，2個極條件，2個邊長條件，?

個基線條件。

(2)

第六章思考題

6.1某平差問題有12個同精度觀測值，必要觀測數(shù)t=6,現(xiàn)選取2個獨立的參數(shù)參與平差,

應列出多少個條件方程？

6.2有水準網(wǎng)如圖，A為已知點，高程為=10.000〃?，同精度觀測了5條水準路線，觀

測值為4=7.25Im,h2=0.312m,h3=-0.091m,h4=1.654m,h5=0.400m,若設

AC間高差平差值Ac為參數(shù)戈，試按附有參數(shù)的條件平差法，

（1）列出條件方程

（2）列出法方程

（3）求出待定點C的最或是高程

6.3下圖水準網(wǎng)中，A為已知點，Pl,P2,P3為待定點，觀測了高差4~小，觀測路線長

度相等，現(xiàn)選擇P3點的高程平差值為參數(shù)，求P3點平差后高程的權。

6.4下圖水準網(wǎng)中，A為已知點，高程為“八=10.000m,修~匕為為待定點，觀測高差及

路線長度為:Y

〃產(chǎn)1.270m,SI=2;

1

/22=-3.380m,S2=2;//__

/i=2.114m,S3=l;

37\

〃4=L613m,S4=2;

1\A

/?5=-3.721m,S5=l;1\

\/

〃6=2.931m,S6=2;

/p.

30.782m,S7=2;\，t

若設P2點高程平差值為參數(shù)，求：（1）列出條件方程；（2）列出法方程；（3）求出觀測值

的改正數(shù)及平差值；（4）平差后單位權方差及P2點高程平差值中誤差。

6.5如圖測角網(wǎng)中，A、B為已知點，C、D為待定點，觀測了6個角度，觀測值為:

Ll=40°23'58"，L2=37°

L3=53°49'02”,L4=57°00'05”

L5=3159'00"，L4=36°25'56”

若按附有參數(shù)的條件平差，（1）需要設哪些量為參數(shù)；（2）列出條件方程；（3）求出觀測值

的改正數(shù)及平差值。

思考題參考答案

6.2n=5t=3r=2u=lc=3

6.3n=5t=3r=2u=lc=3

Vl+V4+V5+W]=0

也+也-吟+卬2=0

U]+U2-X+卬3=0

.=1，.=1

6.4(1)V]+V2+V3+4=0

P3+^4+彩+6=。

吟+1，6+口?+8=0

V1+V7-X=0

(2)

-5102O'一段一一4-

141006

K2

01520(+-8=0

2024-1儲0

000-100_

K5_

(3)v=[-l-1-2-4044]7(mm)

￡=[1.269-3.3812.1121.609-3.7212.9350.786丫(〃〃〃)

(4)<7：=34.7?！啊?)

。戈=0.5,。)=17.3(機機b,=4.2(機加)

6.5(1)設戈=NADB,Xo=10301O'06"

(2)vi+v6=0

也+^3+^4+V5-17''=0

,,

-0.955□]+0.220也-0.731v3+0.649v4-0.396彩+0.959v6+2=0

(3)法方程：

200.004r-0-

04-0.2580-17

+=0

0.004-0.2582.990(2

1000_X0

K=[04.23-0.3『

x=0

V=[0,34.24.444.3-0.3『(")第七章思考題

7.1如圖閉合水準網(wǎng)中，A為已知點，高程為〃八=10.000皿，Pl,P2為高程未知點，觀測

高差及路線長度為：

/?i=1.352m,Sl=2km;

〃2=-0.531m,S2=2km;

/?3=-0.826m,S3=lkm;

試用間接平差求各高差的平差值。

7.2圖中A、B、C為已知點，P為為待定點，網(wǎng)中觀測了3條邊長心~小，起算數(shù)據(jù)及觀

測數(shù)據(jù)均列于表中，現(xiàn)選待定點坐標平差值為參數(shù)，其坐標近似值為(57578.93m,

70998.26m),試列出各觀測邊長的誤差方程式。

坐標,.

點號

X/mY//HL\

A60509.59669902.525

ri?/

B58238.93574300.086

C51946.28673416.515

邊號LIL2L3

觀測值Im3128.863367.206129.88

7.3下圖水準網(wǎng)中，A、B為已知點尸1~P3為待定點，觀測高差小?自，相應的路線長度為

4km，2km,2km,2km,4km,若已知平差后每千米觀測高差中誤差的估值為3m/n,試求

尸2點平差后高差的中誤差。第1I章，思考題

8.1附有限制條件的間接平差中的限制條件與條件平差中的條件方程有何異同？

8.2附有限制條件的間接平差法適用于什么樣的情況？解決什么樣的平差問題？在水準測

量平差中經(jīng)常采用此平差方法嗎？

8.3在圖中的大地四邊形中，A、B為已知點，C、D為為待定點，現(xiàn)選取L3,L4,L5,

L6,L8的平差值為參數(shù)，記為無，戈2,…其5,列出誤差方程和條件方程。

8.4如圖水準網(wǎng)中，A為已知點，高程為“A=10.000m,觀測高差及路線長度為:

線路h/mS/km

若設參數(shù)其=［尤戈2戈31、［凡凡定權時C=2km,試列出：

（1）誤差方程和限制條件

（2）法方程式

8.5試證明在附有限制條件的間接平差中：（1）改正數(shù)向量V與平差值向量￡互不相關；（2）

T

聯(lián)系數(shù)K,與未知數(shù)的函數(shù)0=fx+fn互不相關。

思考題參考答案

8.3n=8t=4u=5s=l

令L3,LA,L5,L6,L8的參數(shù)近似值為X：°(i=1,2…5),且父=X°+￡,誤差方程為:

Vj=力+X3-”5—.

7

%=我

其中常數(shù)項：

4=『（x；+x”x；）

/2=4_（180"_X；_X；_X；）

/7=^-(1800-%2

限制條件：

[cotX：-cot(X；+X；)]￡1_[cot(X：+X；)+cot(X；+功區(qū)+[cotX；—cot(X；+￡,)]&_

'sinX；_sin(X：+X,sinX：、

%-1-cot(X；+L)乙

、sinX^sinXfsinfX^+L,)

7

8.4(1)誤差方程

匕=￡

匕=&

匕=E+22+4(〃?"?)

匕=&

限制條件

X]一Xj-2=0

（2）法方程

310

130

001

01-1

7.4在剪接平差中,又與￡,￡與丫是否相關？試證明。

7.5有水準網(wǎng)如圖，A、B、C、D為已知點，尸|、P2為待定點，觀測高差〃|~生，路線長

度為$=$2=$5=6h"，53=8km,S4=4km,若要求平差后網(wǎng)中最若點高程中誤差W5機機，

試估計該網(wǎng)每千米觀測高差中誤差為多少？

思考題參考答案

7.1Aj=1.356m,=—0.822加,h3=—0.534m

7.2

--0.93670.3502'F5.22'

V(cin\=-0.1960-0.9806-5.56

7

3,1'一"_6.47_

0.9189-0.3945

7.36；=14,<T（）=3.74

7.5每千米觀測高差中誤差小于3.3mm

第八章思考題

8.1附有限制條件的間接平差中的限制條件與條件平差中的條件方程有何異同？

8.2附有限制條件的間接平差法適用于什么樣的情況？解決什么樣的平差問題？在水準測

量平差中經(jīng)常采用此平差方法嗎？

8.3在圖中的大地四邊形中，A、B為已知點，C、D為為待定點，現(xiàn)選取L3,LA,L5,

L6,L8的平差值為參數(shù)，記為父”父2,…35,列出誤差方程和條件方程。

8.4如圖水準網(wǎng)中，A為已知點，高程為〃八=10.000加，觀測高差及路線長度為:

線路h/mS/km

12.5631

2-1.3261

3-3.8852

4-3.8832

若設參數(shù)戈=［吊戈2戈31=［凡力Aj，定權時C=2km,試列出:

（1）誤差方程和限制條件

（2）法方程式

8.5試證明在附有限制條件的間接平差中：（1）改正數(shù)向量V與平差值向量￡互不相關；（2）

T

聯(lián)系數(shù)K,與未知數(shù)的函數(shù)0=fx+fa互不相關。

思考題參考答案

8.3n=8t=4u=5s=l

令L3,L4,L5,L6,L8的參數(shù)近似值為X：)(i=1,2…5),且戈誤差方程為:

V；=x2+x3-x5-Z,

匕=-g-92-尤3-，2

匕=￡

匕=&

匕=為

匕=月

Vj=—%2—%3一—‘7

%=工

其中常數(shù)項：

4=4-(x；+x；-x；)

/^^-(iso0-%,0-%"-X3)

Z7=￡7-(1800-%2-^-^4)

限制條件：

[cotX：-cot(X；+X-[cot(X：+Xj+cot(X；+乙)慢+[cotX；-C0t(%5+/^)^3-

[cotX^-cotfxf+^jj^+^otfxf+^)-001X；]&-W,=0

'sinX；-sin(X；+X；)sinX；、

-1-cot(X；+G)L

%sinX：sinX；sin(X；+4)

7

8.4(1)誤差方程

匕=為

匕=&

V3=x]+x24-4(mm)

匕=當

限制條件

(2)法方程

第十章思考題

10.1在某測邊網(wǎng)中，設待定點修的坐標為未知參數(shù)，即其=[X]yj,平差后得到反

的協(xié)因數(shù)陣為?？?,1,且單位權方差用=3.0加2,

(1)計算P點縱、橫坐標中誤差和點位中誤差；

(2)計算外點誤差橢圓三要素經(jīng)、E、F；

(3)計算P點在方位角為90°方向上的位差。

10.2如何在尸點的誤差橢圓圖上，圖解出P點在任意方向〃上的位差%?

10.3某平面控制網(wǎng)經(jīng)平差后求得修、P2兩待定點間坐標差的協(xié)因數(shù)陣為:

Q0心3-22

cm2/

-23

單位權中誤差為6。=1'，試求兩點間相對誤差橢圓的三個參數(shù)。

10.4已知某三角網(wǎng)中P點坐標的協(xié)因數(shù)陣為:

2.10