基于“數(shù)”概念理解的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開發(fā)

基于“數(shù)”概念理解的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開發(fā)摘要 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理解性學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)圍繞概念的層階化理解展開，教師要在技術(shù)工具上做好創(chuàng)造性的支持。以整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)為載體，開發(fā)驗(yàn)證型、探索型、理解型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)思維支點(diǎn)或模型，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“數(shù)”概念理解的框架，讓靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化、系統(tǒng)化，進(jìn)而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效開展。關(guān)鍵詞“數(shù)”概念理解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證性探索性理解性“數(shù)”概念是人們?cè)趯?shí)踐中，從數(shù)學(xué)對(duì)象的眾多屬長(zhǎng)方形磁片等實(shí)驗(yàn)材料。實(shí)驗(yàn)步驟可以這樣展開：第性中概括、抽象出本質(zhì)屬性，其高度抽象性則是“數(shù)”廠步，猜想。出示數(shù)“11"，11為什么會(huì)寫成這樣，有概念教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以學(xué)生動(dòng)手操;其他寫法嗎？這里的兩個(gè)1意思一樣嗎？第二步，驗(yàn)作為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，通過實(shí)際操作，證。（1）圈11。要求學(xué)生用不同的方法圈數(shù)圖片中在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié):蘑菇的數(shù)量，如一個(gè)一個(gè)圈、五個(gè)五個(gè)圈、十個(gè)一圈等論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動(dòng)［1］。數(shù);方法。（2）擺11。要求學(xué)生用小棒拼擺出蘑菇的數(shù)量，學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)ⅰ白?、學(xué)、思”合一，讓學(xué)生在猜想（或假;方法有10個(gè)小棒擺一排，1個(gè)小棒單獨(dú)放的；10個(gè)設(shè)）、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)中提煉出“數(shù)”概念產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)!小棒捆在一起，1個(gè)小棒單獨(dú)放……（3）寫11。方法I意義、文化背景和思想方法等，有利于學(xué)生對(duì)概念本;有：兩個(gè)1中左邊特別胖，右邊特別瘦；左邊寫得高，I質(zhì)的探索和理解。 ：右邊寫得矮;左邊寫得大，右邊寫得小……學(xué)生嘗試I一、開發(fā)驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓“數(shù)”概念的理，用不同的方法表示10個(gè)1和1個(gè)1,即探討“11”的解可視化 ，表示，區(qū)別11中兩個(gè)1的不同意義。第三步，歸納。驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為促進(jìn)數(shù)學(xué)概念理解的一種；任意選?。?0+幾）個(gè)長(zhǎng)方形磁片，用十個(gè)十個(gè)圈數(shù)的具身認(rèn)知工具，是基于自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的起始性，方法，探究10個(gè)長(zhǎng)方形磁片疊加表示十位上的1，這理解,讓學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察模型、試驗(yàn)分析等手，里的1放在哪里合適？通過位置關(guān)系證明十位上的1段，檢驗(yàn)自己得出的數(shù)學(xué)結(jié)論（或猜想）的正確性的，與個(gè)位上的1的區(qū)別。第四步，應(yīng)用。繼續(xù)利用長(zhǎng)方一種實(shí)踐活動(dòng)［2］。在“數(shù)”概念教學(xué)中，驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，形磁片在黑板上展示，學(xué)生自主增加磁片數(shù)量、確定可以使學(xué)生在物、圖與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系中多感官參與活，擺放位置,表達(dá)對(duì)12~19的理解。動(dòng)，擺脫經(jīng)驗(yàn)性理解的束縛，逐步向數(shù)學(xué)化符號(hào)表征［ 實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，能夠使學(xué)生轉(zhuǎn)化，抽象出概念的本質(zhì)屬性。如“11~20的認(rèn)識(shí)”教，在實(shí)驗(yàn)操作中發(fā)現(xiàn)知識(shí)生長(zhǎng)的原點(diǎn)。學(xué)生最早對(duì)數(shù)學(xué)難點(diǎn)在于怎樣突破位值制和十進(jìn)制，教學(xué)中可借助［的認(rèn)識(shí)，正是其觸摸、點(diǎn)數(shù)（shu）物體的動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。 ，化。學(xué)生從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象獲得數(shù)的感性認(rèn)識(shí)，再經(jīng)過理性本課可準(zhǔn)備11個(gè)無序排列的蘑菇圖、磁性小棒、分析，對(duì)結(jié)論的真?zhèn)巫鞒雠袛?，這種差異性和多元性,充分反映了每位學(xué)生不同的已有經(jīng)驗(yàn)和理解起點(diǎn)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：從實(shí)驗(yàn)前對(duì)11的猜想到“圈”“擺”“寫”，學(xué)生在實(shí); 首先，從“一個(gè)圓”開始，學(xué)生在等分的變化中感物直觀的基礎(chǔ)上理解十位上1的意義，經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)性理;受分?jǐn)?shù)中核心知識(shí)的整體性與關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而加深對(duì)分解的修正、再創(chuàng)造過程，有效還原“11”原本的形態(tài)，充;數(shù)的理解。兒童早期在分割幾何圖形時(shí)采用的是“分分獲得體驗(yàn)“十進(jìn)制”的經(jīng)驗(yàn)。在理解“十進(jìn)制”的數(shù)件”的策略，并重復(fù)分半。因此，使用“偶數(shù)等分”認(rèn)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生逐步建立位次感、位i識(shí)分?jǐn)?shù)，正是學(xué)生等分物體動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化。一個(gè)實(shí)I值感，從工具操作的具象，到表象歸納，再到抽象的符■中學(xué)生要想得到圓片的3，通常需要以兩次對(duì)折的號(hào)演繹，運(yùn)用物、圖、形等多元表征，對(duì)數(shù)的關(guān)鍵屬性； I 4與本質(zhì)的獲得奠定基礎(chǔ)。 :方式得到4，這一活動(dòng)順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知過程，激活學(xué)二、開發(fā)探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓“數(shù)”概念的理住已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在等分的過程中直觀感知部分與解結(jié)構(gòu)化 ，整體的關(guān)系，即其中的1份為1，任意的3份為3，在探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生在教師設(shè)置的問題情境j直觀操作中感知一個(gè)圓的1的大小。同樣，如果圓片中，通過動(dòng)手操作、觀察、驗(yàn)證、類比、歸納等方式，發(fā)； 4現(xiàn)全新數(shù)學(xué)結(jié)論的實(shí)踐活動(dòng)，特點(diǎn)是過程開放、探索，的大小不同，其4的大小均是不同的，但是其中的1性強(qiáng)、生成度高［3］。在探究現(xiàn)實(shí)問題、揭示數(shù)學(xué)現(xiàn)象;份都是4。這里，實(shí)物紙片均分實(shí)驗(yàn)使知識(shí)存在于具背后的數(shù)學(xué)原理、理解可推廣的數(shù)學(xué)結(jié)論等方面，探:體的、情境性的、可感知的活動(dòng)中，將抽象的分?jǐn)?shù)概念索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)揮著重要的作用。如''分?jǐn)?shù)的意義"”具體化，使得學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)化理解逐步升華為數(shù)學(xué)的形教學(xué)中，分?jǐn)?shù)具有“份數(shù)、商、測(cè)量運(yùn)算以及比”等不同j式化理解。層次的意義，如何突破對(duì)整體的等分，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的價(jià)［其次，“多個(gè)圓”驗(yàn)證能夠有效聯(lián)結(jié)分?jǐn)?shù)的多層意值？這里，可以借助探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)突破兩個(gè)學(xué)； 3習(xí)難點(diǎn)：第一，整體等分，包括對(duì)具體T的等分以及;義。對(duì)2?4個(gè)圓片4的探討，學(xué)生最易表示出4個(gè)圓許多合并成的整體的等分；第二,分?jǐn)?shù)兩種量的比較，，片的3，直接涂出3個(gè)即可；其次是2個(gè)圓的4，第一也就是比的意義，所以分?jǐn)?shù)在某種意義上來說也是； 4 4比，它主要是兩種量比較的時(shí)候，這兩種量可以相互種情況,有8°%的學(xué)生將兩個(gè)圓看成一個(gè)整體，平均作為單位度量的意義，體現(xiàn)在應(yīng)用當(dāng)中。 ［分成4份,每半個(gè)圓表示1份,第二種情況,少數(shù)學(xué)生本課準(zhǔn)備的實(shí)驗(yàn)材料有兩種大小不同的圓形紙;將2個(gè)圓分別看成一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體,將每個(gè)圓平均分片若干個(gè)，彩色筆、剪刀、粘膠。實(shí)驗(yàn)可以這樣展開：成4份，分別表示出4;對(duì)學(xué)生來說，將3個(gè)圓看作一第一步嘗試畫圖表示分?jǐn)?shù)。在1個(gè)圓形紙片中畫圖;個(gè)整體均分四份是最困難的，一個(gè)一個(gè)均分雖能達(dá)成表示出4。要求學(xué)生獨(dú)立操作后集體交流想法。第二4 _ _j目的，但比較復(fù)雜。那么，使用怎樣的方式更加簡(jiǎn)單步，再試。依次出示2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)圓一組的圖形，畫，呢？學(xué)生通常是將3個(gè)圓疊加，累積成一個(gè)整體再均一 3 1圖表示出一組圖形的4。在學(xué)生獨(dú)立操作后集體討論j分4份。既含有3平均分成4份，又蘊(yùn)含3除以4的不同方法并想辦法驗(yàn)證。第三步，驗(yàn)證。借助剪刀現(xiàn)，除法意義，除法與分?jǐn)?shù)意義的聯(lián)結(jié)，促進(jìn)學(xué)生多層級(jí)場(chǎng)剪下并展示在黑板上，理解多個(gè)圓片的3的表示方理解分?jǐn)?shù)。34 最后，列表分析歸納則有利于整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)綜合法。第四步，列表對(duì)比。出示多組圓的4,討論、歸納;意義。列表對(duì)比將知識(shí)過程與結(jié)果、操作活動(dòng)與思維

I不同數(shù)量圓片用相同分?jǐn)?shù)表示，并能從自然數(shù)1過渡［參與、實(shí)驗(yàn)論證與主動(dòng)探索有機(jī)融合，逐步從形式化到整體“1”,逐步理解單位“1”的喻意。 ;向理解走向結(jié)構(gòu)化理解。從1個(gè)圓到多個(gè)圓均看成

一個(gè)整體，為整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義提供了綜合性載體。相對(duì)位置；以字母B為觀察點(diǎn)，描繪數(shù)字3和5的相從現(xiàn)實(shí)情境過渡到數(shù)學(xué)意義上來，體現(xiàn)為一種逐步豐:對(duì)位置；以字母C為觀察點(diǎn)，表述右邊數(shù)據(jù)、推想左富、精細(xì)化的發(fā)展趨勢(shì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的可見。邊數(shù)據(jù)，試想一下C左邊會(huì)有多少個(gè)負(fù)數(shù)。實(shí)驗(yàn)中學(xué)I從自然數(shù)1過渡到整體“1”，兩個(gè)“1”的變與不變?nèi)?生經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、推理、比較、抽象概括的認(rèn)知全過圖1溫度計(jì)模型I通建構(gòu)單位“1”，一方面讓學(xué)生感受被平均分對(duì)象的，程，深度理解負(fù)數(shù)的意義。廣泛意義，深刻體會(huì)分?jǐn)?shù)部分與整體的含義，另一方圖1溫度計(jì)模型3面滲透集合均分思想，能夠用“部分一整體”表示4的分?jǐn)?shù)意義，實(shí)現(xiàn)了由實(shí)物走向模式的角色轉(zhuǎn)換，逐步建立符號(hào)、模式、言語(yǔ)的聯(lián)結(jié)。三、開發(fā)理解性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓“數(shù)”概念的理解系統(tǒng)化理解性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種文化理解、外顯知識(shí)的生成過程，為抽象架起直觀理解的橋梁，使學(xué)生能從抽象的角度看待知識(shí)，理解數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的機(jī)理，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的規(guī)律推測(cè)問題產(chǎn)生的變化，使得靜態(tài)知識(shí)動(dòng)態(tài)化、學(xué)術(shù)知識(shí)生長(zhǎng)化。如“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”是在學(xué)生認(rèn)［識(shí)了自然數(shù)、整數(shù)，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。如何借助實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生理解負(fù)數(shù)的本質(zhì)意義？:筆者借助理解性實(shí)驗(yàn)展開教學(xué)。叵-4-3-200123但］叵-4-3-200123但］5■'■'■■I 、圖2由溫度計(jì)到數(shù)軸數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開發(fā)，需要教師準(zhǔn)確定位實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo),I刻度，再到細(xì)分畫刻度（如圖1），在推理、概述中用現(xiàn);行意義建構(gòu)。I實(shí)原型概括出了負(fù)數(shù)模型。在探究體驗(yàn)和直觀模型；圖的幫助下,掌握