人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步講義第06課一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率、握手、面積問題）（原卷版）

第06課一元二次方程的應(yīng)用（平均變化率、握手、面積問題）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實際問題，總結(jié)運用方程解決實際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.通過分析實際問題，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，從而解決實際問題。知識精講知識點01列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟知識精講1.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.2.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.知識點02一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.2.常見模型問題常見的類型應(yīng)用公式進(jìn)行解答，就會解題就會方便很多，下表就是常見基本公式：(1)增長率問題： a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.“共”或“累計問題” (2)降低率問題： (3)傳染問題 (4)握手問題 (5)送禮問題 (6)枝干問題 （1）平均增長率：設(shè)原價為a，連續(xù)增長兩次，價格變?yōu)閎，每次增長的百分率為x，那么：增長第一次價格為： ；增長第二次在上一次價格的基礎(chǔ)上再乘 ，即 最終價格SKIPIF1<0，得出等量關(guān)系；（如果增長三次，就將指數(shù)2變換為3即可）“累計問題”：設(shè)第一個月為a，連續(xù)增長兩個月，累計總數(shù)為b，設(shè)平均增長率為x，則：第一個月為a，第二個月為 ，第三個月為 ，所以三個月累計 （2）平均降低率：設(shè)原價為a，連續(xù)降價兩次，價格變?yōu)閎，每次降價的百分率為x，那么：增長第一次價格為： ；增長第二次在上一次價格的基礎(chǔ)上再乘 ，即 最終價格 ，得出等量關(guān)系；（3）傳染問題：設(shè)開始挈帶病毒的人數(shù)為a，一個病人一輪傳染x個病人，兩輪傳染之后一共有b個人挈帶病毒，則：傳染輪數(shù)挈帶病毒人數(shù)傳染人數(shù)第一輪 第二輪 兩輪結(jié)束后一共挈帶病毒數(shù) （4）握手問題：這個問題和求多邊形對角線的個數(shù)類似，以6個人舉例：首先A站起來，和其余5個人一次握手，共握手5次；然后B站起來，和其余5個人一次握手，共握手5次；以此類推，每個人都站起來和其余人握手，一共握手：SKIPIF1<0次，但是握手完成后發(fā)現(xiàn)，任意兩人之間握手2次，重復(fù)了一次，因此需要乘以SKIPIF1<0去重復(fù)；也就是一共握手SKIPIF1<0次。由此推廣。當(dāng)人數(shù)為x時，一共握手 次；送禮問題，與之有相似的推導(dǎo)過程：因為甲送給乙禮物和乙送給甲禮物，含義不同，故不需要去重復(fù)，因此送禮問題的公式為： =總次數(shù)；3.形積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.面積類問題內(nèi)挖類型 外擴類型 開路類型 SKIPIF1<0開門問題 要點詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.能力拓展能力拓展考法01數(shù)字問題【典例1】已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少．【即學(xué)即練1】有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字少2，求這個兩位數(shù).考法02平均變化率問題【典例2】隨著國家“惠民政策”的陸續(xù)出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛(wèi)計委通過嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價200元/瓶，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．【即學(xué)即練2】某產(chǎn)品原來每件是600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，求平均每次降價率.考法03形積問題【典例3】如圖，有長為48米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度25米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃ABCD．（1）當(dāng)AB的長是多少米時，圍成長方形花圃ABCD的面積為180SKIPIF1<0?（2）能圍成總面積為240SKIPIF1<0的長方形花圃嗎?說明理由.【即學(xué)即練3】如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？【即學(xué)即練4】如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．（1）設(shè)花圃的一邊AB長為x米，請你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長為米；（2）若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的長與寬．【即學(xué)即練5】改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（SKIPIF1<0）16SKIPIF1<0，寬（SKIPIF1<0）9SKIPIF1<0的矩形場地SKIPIF1<0上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與SKIPIF1<0平行，另一條與SKIPIF1<0平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112SKIPIF1<0，則小路的寬應(yīng)為多少？考法04動點問題【典例4】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，點Q從點A開始沿AB邊向點B以lcm/s的速度移動點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s速度移動，兩點同時出發(fā)，連接PQ．（1）經(jīng)過多長時間后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）△PBQ的面積能否等于7cm2？試說明理由．【即學(xué)即練6】如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，現(xiàn)有兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的分別從點SKIPIF1<0和點B同時出發(fā)，沿邊SKIPIF1<0，BC向終點C移動．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的速度分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止移動，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點移動時間為SKIPIF1<0．問是否存在這樣的SKIPIF1<0，使得四邊形SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0？若存在，請求出此時SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一個兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積大SKIPIF1<0，已知十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大SKIPIF1<0．則這個兩位數(shù)是（）A．64 B．75 C．53或75 D．64或752．某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1003．國家實施”精準(zhǔn)扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為SKIPIF1<0，根據(jù)題意列方程得（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．某校九年級（1）班在舉行元旦聯(lián)歡會時，班長覺得快要畢業(yè)了，決定臨時增加一個節(jié)目：班里面任意兩名同學(xué)都要握手一次．小張同學(xué)統(tǒng)計了一下，全班同學(xué)共握手了465次．你知道九年級（1）班有多少名同學(xué)嗎？設(shè)九年級（1）班有x名同學(xué)，根據(jù)題意列出的方程是（）A．SKIPIF1<0=465 B．SKIPIF1<0=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=4655．肆虐的冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將會有225人感染，若設(shè)1人平均感染x人，依題意可列方程（）A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝2256．某?！把袑W(xué)”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是SKIPIF1<0，則這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x=3568．如圖，某小區(qū)有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人形通道，設(shè)人行道的寬度為xm，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題組B能力提升練1．某鋼鐵廠一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進(jìn)操作技術(shù)，使得第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？若設(shè)二、三月份平均每月的增長率為x，則可得方程（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到90個紅包，則該群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人3．如圖，是一個長為30m，寬為20m的矩形花園，現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為米．4．如圖，某農(nóng)家擬用已有的長為8m的墻或墻的一部分為一邊，其它三邊用籬笆圍成一個面積為12m2的矩形園子．設(shè)園子中平行于墻面的籬笆長為ym（其中y≥4），另兩邊的籬笆長分別為xm．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x的取值范圍．（2）若僅用現(xiàn)有的11m長的籬笆，且恰好用完，請你幫助設(shè)計圍制方案．5．如圖，要建一個面積為150平方米的長方形倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻的長為18米，在與墻平行的一邊，要開一扇3米寬的門，已知圍建倉庫的現(xiàn)有木板材料可使新建板墻的總長為32米，那么這個倉庫與墻垂直的一邊應(yīng)長多少米？6．如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB,BC邊足夠長,點P從點B開始沿BA邊向點A以1厘米/秒的速度移動,同時,點Q也從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動,幾秒后,△BPQ的面積為36平方厘米?7．“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長類動物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強，一日本游客在非洲旅游時不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人受到感染，（1）問每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果得不到控制，按如此的傳播速度，經(jīng)過三輪后將有多少人受到感染？題組C培優(yōu)拔尖練1．一塊長為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0的矩形荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個矩形（其中三個矩形的一邊長均為SKIPIF1<0）區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地．（1）設(shè)通道的寬度為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______________________；（用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）；（2）若塑膠運動場地總的占地面積為SKIPIF1<0，請問通道的寬度為多少？2．（2016內(nèi)蒙古包頭市）一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設(shè)豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的SKIPIF1<0，求橫、豎彩條的寬度．3．如圖，在矩形ABCD中，BC＝20