2023年高考數(shù)學(xué)必做模擬卷-新高考Ⅱ考綱卷08（解析版）

PAGE12023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷08一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故選B。2．若復(fù)數(shù)，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】，則，故選A。3．在中，是以為第三項(xiàng)、為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，是以為第三項(xiàng)、為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則的形狀是（）。A、直角三角形B、等腰直角三角形C、銳角三角形D、鈍角三角形【答案】C【解析】由題意可知，，而，∴是銳角三角形，故選C。4．學(xué)習(xí)為了獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的優(yōu)秀學(xué)生，將梅、蘭、竹、菊四幅名畫送給獲獎(jiǎng)的甲、乙、丙三位學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少獲得一幅，則在所有送法中甲得到名畫“竹”的概率是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由題意可知總方法數(shù)，先分組，，再分配，由分步計(jì)數(shù)原理可知總方法數(shù)，滿足條件方法數(shù)，概率，故選B。5．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵是定義在上的偶函數(shù)，∴，∴，∵在上為增函數(shù)，∴在上為減函數(shù)，由可得，且，解可得或，故不等式的解集為，故選B。6．在棱長(zhǎng)為的正方體中，若為中點(diǎn)，為側(cè)面的中點(diǎn)，且平面，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】連接、、，則為中點(diǎn)，，，連接，∵，，∴，又為的中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，∴，故選A。7．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，令（），，則必有（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】設(shè)，定義域?yàn)?，，∴為單調(diào)遞增函數(shù)，∵，∴，即，∴，即，故選A。8．已知橢圓：，過(guò)其左焦點(diǎn)做直線交橢圓與、兩點(diǎn)，取點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，若點(diǎn)為的外心，則（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，由題意可知直線一定有斜率且斜率一定不為，設(shè)：，聯(lián)立得：，恒成立，設(shè)、，則、，∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，又軸垂直平方，∴可設(shè)，∴的直線方程為：，∴，解得，∴，∴，故選D。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）。A、個(gè)球都是紅球的概率為B、個(gè)球不都是紅球的概率為C、至少有個(gè)紅球的概率為D、個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，從甲袋中摸出個(gè)紅球的概率為，則摸出的球不是紅球的概率為，從乙袋中摸出個(gè)紅球的概率為，則摸出的球不是紅球的概率為，A選項(xiàng)，個(gè)球都是紅球，即從甲袋中摸出的球是紅球與從乙袋中摸出的球是紅球同時(shí)發(fā)生，則其概率為，對(duì)，B選項(xiàng)，“個(gè)球不都是紅球事件”是“個(gè)球都是紅球事件”的對(duì)立事件，∴所求概率為，錯(cuò)，C選項(xiàng)，至少有個(gè)紅球與兩球都不是紅球?yàn)閷?duì)立事件，∵兩球都不是紅球的概率為，∴所求概率為，對(duì)，D選項(xiàng)，由兩球都不是紅球的概率為，由A選項(xiàng)可得個(gè)球都是紅球的概率為，則個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為，對(duì)，故選ACD。10．已知、，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）。A、的最大值為B、的最大值為C、的最大值為D、的最小值為【答案】BC【解析】∵、，，∴，∴、，A選項(xiàng)，∵，∴，錯(cuò)，B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)等號(hào)成立，對(duì)，C選項(xiàng)，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)等號(hào)成立，對(duì)，D選項(xiàng)，∵，當(dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)等號(hào)成立，不符合條件，錯(cuò)，故選BC。11．已知函數(shù)，，則（）。A、若在上單調(diào)遞增，則B、若函數(shù)，則為奇函數(shù)C、當(dāng)時(shí)，若，則的取值范圍是D、若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，錯(cuò)，B選項(xiàng)，∵，∴定義域，且，對(duì)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴或，錯(cuò)，D選項(xiàng)，令，則，當(dāng)，則不成立，當(dāng)，則，設(shè)，則，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴的大致圖像如圖所示，∴若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則，對(duì)，故選BD。12．如圖所示，、、…、（）是函數(shù)：上的點(diǎn)，、、…、是軸正半軸上的點(diǎn)，且、、…、均為等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）。A、B、、，（）C、D、【答案】ABD【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)知，而，，B選項(xiàng)正確，，且，解得，則，又，解得，，則，A選項(xiàng)正確，，，同理可求，，…，即，∴，同理，…，，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，，D選項(xiàng)正確，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在梯形中，、、，若，則。【答案】【解析】∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴。另解：如圖建系，過(guò)做，垂足為，∵，∴，設(shè)、，則，又，∴，∴，又，∴，∴。14．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則。附：若，則，，。【答案】【解析】∵函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，∴二次方程無(wú)實(shí)根，∴，∴，又∵沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，∴，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，∴，∴。15．過(guò)圓：上的動(dòng)點(diǎn)作圓：的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓內(nèi)不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為。【答案】【解析】如下圖所示，過(guò)圓：上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則、、，則且為銳角，∴，同理可得，∴，則為等邊三角形，連接交于點(diǎn)，∵為的角平分線，則為的中點(diǎn)，∴，且，∴，若圓內(nèi)的點(diǎn)不在任何切點(diǎn)弦上，則該點(diǎn)到圓的圓心的距離應(yīng)小于，即圓內(nèi)的這些點(diǎn)構(gòu)成了以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的內(nèi)部，∴圓內(nèi)不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為。16．將邊長(zhǎng)為、銳角為的菱形沿較長(zhǎng)的對(duì)角線折疊成大小為的二面角，若該菱形折疊后所得到的三棱錐內(nèi)接于表面積為的球，則的值為。【答案】【解析】設(shè)菱形為，，，則較長(zhǎng)的對(duì)角線為，設(shè)與交于點(diǎn)，沿折疊成三棱錐，則，，由題意可知該菱形折疊后所得到的三棱錐的外接球半徑，空間幾何體外接球球心一定在過(guò)底面外接圓圓心且垂直與底面的垂線上，設(shè)外接圓圓心為，∵，∴在外，且，設(shè)外接圓圓心為，∵，∴在外，且，∴三棱錐的外接球球心為，則一定為過(guò)且垂直于平面的垂線與過(guò)且垂直于平面的垂線的交點(diǎn)，作出剖面，則在中，，，又在中，、，∴，∴，∴，∴。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）如圖所示，為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，。（1）求的面積；（2）若關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，求的值?！窘馕觥浚?）在中，由余弦定理得：，即，即，解得（可?。┗颍ㄉ崛ィ?分∴；4分（2）設(shè)，由對(duì)稱性可知，在中，由正弦定理，∴，則，6分∴，又為銳角，∴，8分∴。10分18．（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，，且、。（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和?！窘馕觥浚?）證明：∵，、，當(dāng)、時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，即，，2分當(dāng)、時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，即，，4分∴，，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；6分（2）解：由（1）得，則，7分∴，9分上式減下式得：，∴。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示的斜三棱柱中，，、、。（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的正切值的大小。【解析】（1）證明：在中，∵，∴⊥，1分又∵⊥且、是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴⊥平面，3分又平面，∴平面⊥平面；4分（2）解：在中，∵+=，∴⊥，又∵⊥且、是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴⊥平面，5分∴以為原點(diǎn)，為軸，在平面中過(guò)作的垂線為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，6分則、、、，由=得，7分取平面的一個(gè)法向量，8分設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，10分∴，11分設(shè)的大小為，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為。12分20．（本小題滿分12分）某傳輸設(shè)備由奇數(shù)根相同的光導(dǎo)纖維并聯(lián)組成，每根光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)的概率均為（），且每根光導(dǎo)纖維能否正常傳輸信號(hào)相互獨(dú)立。已知該設(shè)備中有超過(guò)一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)，這個(gè)傳輸設(shè)備才可以正常工作。記（，）根光導(dǎo)纖維組成的這種傳輸設(shè)備可以正常工作的概率為。（1）用表示；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）為提高這個(gè)傳輸設(shè)備正常工作的概率，在這個(gè)傳輸設(shè)備上再并聯(lián)兩根相同規(guī)格的光導(dǎo)纖維，且新增光導(dǎo)纖維后的傳輸設(shè)備有超過(guò)一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)才可以正常工作。確定的取值范圍，使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個(gè)傳輸設(shè)備正常工作的概率?！窘馕觥浚?）由題設(shè)知表示根光纖中至少有根能正常傳輸信號(hào)的概率，∴；3分（2）證明：當(dāng)時(shí)，，∵，∴；6分（3）根光纖中至少根能正常傳輸信號(hào)，這個(gè)傳輸設(shè)備才可以正常工作，∴新增的兩根光纖都能正常工作、僅有一個(gè)能正常工作、都不能正常工作時(shí)，根光纖組成的傳輸設(shè)備可以正常工作的概率分別設(shè)為、、，7分則，，，8分∴新增兩根光纖這個(gè)傳輸設(shè)備能正常工作的概率為：，9分∴，10分∵，，解得，∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，新增兩根光纖可以提高傳輸設(shè)備正常工作的概率。12分21．（本小題滿分12分）設(shè)為橢圓：（）上任意一點(diǎn)，、為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)參數(shù)和滿足什么條件時(shí)，直線、、的斜率依次成等比數(shù)列；（3）在（2）的條件下求面積的取值范圍?！窘馕觥浚?）由橢圓的定義可得，可得，由可得，，則橢圓方程為；3分（2）設(shè)點(diǎn)、，由消去得：，5分∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，∴，解得，6分由韋達(dá)定理得，，，由題意知，，即，即為，即有，即，即，∴；8分（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，10分由（2）可得，∴，則，由時(shí)，，僅有一個(gè)交點(diǎn)，則最大值取不到，則面積的取值范圍是。12分22．（本小題滿分12分）已知（）對(duì)于恒成立。（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值?！窘馕觥浚?）當(dāng)時(shí)，，令，定義域?yàn)?，則，令，解得，2分當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，∴，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)