六奧第十六講 勾股與弦圖

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在小學(xué)奧數(shù)中，會涉及到好多有關(guān)正方形的圖形面積問題，我們在解決類似問題的時(shí)候，用的比較多的就是弦圖和旋轉(zhuǎn)。

1.弦圖

弦圖其實(shí)是在勾股定理的前提下引出的，大家知道，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是勾股定理。自古至今，勾股定理的證明方法不下百種，這里我們借助其中的一種來進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)。

第一種拼法：有四個完全一致的直角三角形，直角邊分別為a和b（假設(shè)a＞b），斜邊為c，將他們按下圖方式，拼成正方形。

圖中AF=a，DF=b，AD=c，正方形ABCD的面積等于c

正方形的面積=4個直角三角形的面積+中間小正方形EHGF的面積

212=4×2×a×b+(a?b)

=a+b即a+b=c

其次種拼法：有四個完全一致的直角三角形，直角邊分別為a和b（假設(shè)a＞b），斜邊為c，將他們按下圖方式，拼成正方形。

22222

圖中AE=a，AH=b，EH=c,正方形ABCD的面積=(a?b)2

正方形ABCD的面積=4個直角三角形的面積+中間小正方形EHGF的面積

12=4×2×a×b+c=2ab+c

2故(a?b)2=2ab+c

2即得到a+b=c

熟記這兩種圖形的模型，對我們解決有關(guān)正方形的面積有很大幫助。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方的和，等于斜邊的平方。

222

例1、如下圖，在直線l上的一側(cè)擺放著七個正方形。已知斜放置的3個正方形的面積分別是1，2，3，水平放置的四個正方形的面積依次計(jì)為S1,S2,S3和S4。試確定S1+S2+S3+S4的值.。

S112S2S33S4

例2、如下圖，4個形狀大小完全一致的直角三角形和一個面積等于4的正方形，恰可拼成一個面積等于52的大正方形，試確定直角三角形的兩條直角邊的長。

ADBC

例3、小華與小明分別用4個形狀大小完全一致的直角三角形拼圖。小華拼成的長方形的周長等于20cm.小明拼成一個大正方形，而大正方形中間有一個面積為1cm的小正方形的空洞。求小明拼成的大正方形的周長？

2

例4、如圖，三角形ABC中，∠ACB=90，分別以AC,BC,AB為邊向形外作正方形ACGF,BCHK和ABDE，正方形ABDE的面積是25平方厘米，正方形BCHK的面積是9平方厘米，問：圖中陰影四邊形AFBD的面積是多少平方厘米？

O

例5、如圖，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角ADE的面積。

EAB

例6、ABC是一個直角三角形，分別以AC、BC為邊向

DF

C

ABC外作正方形，又以AB為斜邊向

ABC外作等腰直角三角形ABD，AD=BD。若陰影部份和為8，求ABD的面積。

例7、如圖，已知四邊形ABCD和DEFG為正方形，且三角形ADG的面積為5，求三角形DEC的面積。

2例8、下圖是一個面積為18cm、CD?7cm的四邊形ABCD．其兩條對角線BD和AC在

四邊形ABCD的內(nèi)部相交，當(dāng)BD?10cm，AC?BC，?BCA?90?時(shí)，求△ACD的面積．

DAB

C

例9、△ABC是直角三角形，在邊AB、BC、CA上分別取點(diǎn)D、E、F，使得當(dāng)△D求△ABCEF成為等腰直角三角形、BE?3cm、DB?1cm時(shí)，AD?AF?FC?EC．的面積。

AFDB

例10、如圖，P是正方形ABCD外面的一點(diǎn)，PB?12厘米，△APB的面積是90平方厘米，△CPB的面積是48平方厘米。請問：正方形ABCD的面積是多少平方厘米？

ADEC

BP