離散數(shù)學課后練習1

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練習1.1

1、判斷以下語句是否是命題，若是命題則請將其形式化：（1）a+b（2）x>0（3）“請進！〞

（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。（5）我明天或后天去蘇州。

（6）我明天或后天去蘇州的說法是謠傳。（7）我明天或后天去北京或天津。

（8）假使買不到飛機票，我哪兒也不去。

（9）只要他出門，他必買書，不管他余款多不多。（10）除非你陪伴我或代我雇輛車子，否則我不去。

（11）只要充分考慮一切論證，就可得到可靠見解；必需充分考慮一切論證，才能得到可靠見解。

（12）假使只有懂得希臘文才能了解柏拉圖，那么我不了解柏拉圖。（13）不管你和他去不去，我去。（14）侈而惰者貧，而力而儉者富。（韓非：《韓非子?顯學》）

（15）騏驥一躍，不能十步；駑馬十駕，功在不舍；鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。（荀況：《荀子?勸學》）

解（1）a+b不是命題

（2）x>0不是命題（x是變元）

（3）“請進！〞不是命題

（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。是命題

可表示為p∧┐q，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死

（5）我明天或后天去蘇州。是命題

可表示為p∨q，其中p：我明天去蘇州；q：我后天去蘇州

（6）我明天或后天去蘇州的說法是謠傳。是命題可表示為┐(p∨q)，其中p、q同（5）

（7）我明天或后天去北京或天津。是命題

可表示為p∨q∨r∨s，其中p：我明天去北京，q：我明天去天津，r：我后天去北京，

s：我后天去天津

（8）假使買不到飛機票，我哪兒也不去。是命題

可表示為┐p→┐q，其中，p：我買到飛機票，q：我出去（9）只要他出門，他必買書，不管他余款多不多。是命題

可表示為(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r，其中p：他余款多，q：他出門，r：他買書

（10）除非你陪伴我或代我雇輛車子，否則我不去。是命題

可表示為(p∨q)?r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇車，r：我去

（11）只要充分考慮一切論證，就可得到可靠見解；必需充分考慮一切論證，才能得到可靠

見解。是命題

可表示為(p→q)∧(q→p)或p?q，其中p：你充分考慮了一切論證，q：你得到了可

靠見解

（12）假使只有懂得希臘文才能了解柏拉圖，那么我不了解柏拉圖。是命題可表示為(q→p)→┐q，其中p：我懂得希臘文，q：我了解柏拉圖

（13）不管你和他去不去，我去。是命題

可表示為(p→r)∧(q→r)∧(┐p→r)∧(┐q→r)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去

（14）侈而惰者貧，而力而儉者富。（韓非：《韓非子?顯學》）是命題

可表示為((p∧q)→r)∧((┐p∧┐q)→┐r)，其中p：你奢靡，q：你懶惰，r：你貧困

（15）騏驥一躍，不能十步；駑馬十駕，功在不舍；鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石

可鏤。（荀況：《荀子?勸學》）是命題

可表示為(p→┐q)∧(s→r)∧(m∧n→┐o)∧(m∧┐n→v)，其中p：騏驥一躍，q：騏驥一躍十步，r：駑馬行千里，s：駑馬不斷奔跑，m：你雕刻，n：你放棄，o：將朽木折斷，v：金石可雕刻

2、判定以下符號串是否為公式，若是，請給出它的真值表，并請注意這些真值表的特點（公式中省略了可以省略的括號）：（1）┐(p)（p為原子命題）（2）(p∨qr)→s（3）(p∨q)→p（4）p→(p∨q)（5）┐(p∨┐p)（6）p∧(p→q)→q

（7）p∧(p→q)∧(p→┐q)（8）(p→q)?(┐q→┐p)（9）┐(p∨q)?┐q∧┐p（10）┐p∨q?(p→q)

（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)

（12）(p∨q→r)?(p→r)∧(q→r)解（1）┐(p)不是公式

（2）(p∨qr)→s不是公式

（3）(p∨q)→p是公式p∨q(p∨q)→pp→(p∨q)pq00010110111011111111（4）p→(p∨q)是公式（真值表見上表，恒真）

（5）┐(p∨┐p)是公式（恒假）┐pp∨┐p┐(p∨┐p)p01101100

（6）p∧(p→q)→q是公式（恒真）p→qp∧(p→q)pq0010p∧(p→q)→q1011101101001111

（7）p∧(p→q)∧(p→┐q)是公式（恒假）pq┐qp→qp∧(p→q)p→┐q001101011010110100011110p∧(p→q)∧(p→┐q)0000

（8）(p→q)?(┐q→┐p)是公式（恒真）pq┐p┐qp→q┐q→┐p001101011100101011011101(p→q)?(┐q→┐p)1111

（9）┐(p∨q)?┐q∧┐p是公式（恒真）p∨q┐(p∨q)pq┐p┐q001101011100101001111000┐q∧┐p┐(p∨q)?┐q∧┐p10001111

（10）┐p∨q?(p→q)是公式（恒真）p→q┐p∨q?(p→q)pq┐p┐p∨q00110101100110111011111

（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)是公式（恒真）p→qq→rp→r(p→q)∧(q→r)pqr00001111001100110101010111110011110111011111010111010001(p→q)∧(q→r)→(p→r)11111111

（12）(p∨q→r)?(p→r)∧(q→r)是公式（恒真）p∨qp∨q→rp→rpqrq(p→r)∧(p∨q→r)?(p→→r00001111001100110101010100111111110101011111011111011101(q→r)11010101r)∧(q→r)11111111

*3、A國的人只有兩種，一種永遠說真話，一種永遠說假話。你來到A國，并在一個二叉路口不知如何走才能到達首都。守護路口的士兵只準你問一個問題，而且他只答“是〞或“不是〞。你應當如何發(fā)問，才能從士兵處獲知去首都的道路。

解設p：你是說真話的；q：我應當向右走去首都你應當問：p?q?當回復“是(真)〞，你選擇向右走；當回復“不（假）〞時，你選擇向左走。由于p?q真，當且僅當p真且q真（士兵說真話且應當向右走）

或p假且q假（士兵說假話且應當向左走）

p?q假，當且僅當p真且q假（士兵說真話且應當向左走）

或p假且q假（士兵說假話且應當向右走）

練習1.2

1、試判定以下各式是否為重言式：（1）(p→q)→(q→p)（2）┐p→(p→q)（3）q→(p→q)（4）p∧q→(p?q)

（5）(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q)（6）(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s))解（1）否（2）是（3）是（4）是（5）否（6）否

2、試用真值表驗證E6，E8，E10，E11，E23。證（1）E6(A∨B)∨C?A∨(B∨C)B∨CABCA∨B(A∨B)∨C00001111

（2）E8

A∨(B∨C)01111111E6111111110011001101010101001111110111111101110111A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)

A00001111B0011001101010101CB∨C01110111A∧(B∨C)00000111A∧B00000011A∧C00000101(A∧B)∨(A∧C)00000111E811111111

（3）E10┐(A∨B)?┐A∧┐BA∨B┐(A∨B)AB0011010101111000┐A1100┐B1010┐A∧┐B1000E101111

（4）E11┐(A∧B)?┐A∨┐BAB┐A┐BA∧B┐(A∧B)001101011100101000011110┐A∨┐B1110E111111

（5）E23(A∧B→C)?(A→(B→C))B→CABCA∧BA∧B→C000011110011001101010101000000111111110111011101A→(B→C)11111101E2311111111

3、不用真值表，用代入、替換證明E12，E13，E24。證（1）E12：A∨(A∧B)┝┥A

A∨(A∧B)┝┥(A∧t)∨(A∧B)據(jù)E17用RR┝┥A∧(t∨B)對E8用RS┝┥A∧t據(jù)E16用RR┝┥A據(jù)E17

（2）E13：A∧(A∨B)┝┥A

A∧(A∨B)┝┥(A∨f)∧(A∨B)據(jù)E18用RR┝┥A∨(f∧B)對E9用RS┝┥A∨f據(jù)E19用RR┝┥A據(jù)E18

（3）E24：A→B┝┥┐B→┐A

┐B→┐A┝┥┐┐B∨┐A對E14用RS┝┥B∨┐A據(jù)E1用RR┝┥┐A∨B對E4用RS┝┥A→B據(jù)E14

4、試用真值表驗證I3，I4，I5，I6。證（1）I3A∧(A→B)→BA→BA∧(A→B)A∧(A→B)→BAB00110101110100011111

（2）I4(A→B)∧┐B→┐A┐B┐AAB0011010110101100A→B1101(A→B)∧┐B1000I41111

（3）I5┐A∧(A∨B)→B┐B∧(A∨B)→A┐AA∨B┐A∧(A∨B)AB0011

A0011B0101┐B1010A∨B0111┐B∧(A∨B)00100101110001110100┐A∧(A∨B)→B1111┐B∧(A∨B)→A1111

（4）I6(A→B)∧(B→C)→(A→C)A→BB→CABC00000011010111111101A→C1111(A→B)∧(B→C)1101I6111111110011010100111101010100011111

5、不用真值表，用代入、替換證明I7，I8。

證（1）I7：(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)(A→B)∧(C→D)┝┥(┐A∨B)∧(┐C∨D)(A∧C)→(B∧D)┝┥(┐A∨┐C)∨(B∧D)

┝┥(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)由于

(┐A∨B)∧(┐C∨D)┝(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)故(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)。

（2）I8：(A?B)∧(B?C)┝(A?C)

(A?B)∧(B?C)┝┥(A→B)∧(B→A)∧(B→C)∧(C→B)

┝┥((A→B)∧(B→C))∧((C→B)∧(B→A))┝(A→C))∧(C→A)┝┥(A?C)

6、用三種不同方法證明以下規(guī)律等價式：（1）A?B┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)（2）A→(B→C)┝┥B→(A→C)（3）A→(A→B)┝┥A→B

（4）A→(B→C)┝┥(A→B)→(A→C)證（1）證法1：(A∧B)∨(┐A∧┐ABA∧B┐A┐B┐A∧┐BA?B001010000110101100100B)10011100011證法2：A?B┝┥(A→B)∧(B→A)┝┥(┐A∨B)∧(┐B∨A)┝┥(┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)

證法3：先證A?B┝(A∧B)∨(┐A∧┐B)(a)

設?為任一指派，使?(A?B)=1，那么?(A)=?(B)=1或?(A)=?(B)=0，從而

?(A∧B)=1或?(┐A∧┐B)=1，即?((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。(a)得證；再證(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝A?B(b)

設?為任一指派，使?(A?B)=0，那么?(A)=1，?(B)=0，或者?(A)=0，?(B)=1，從而?(A∧B)=0且?(┐A∧┐B)=0，即?((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。(b)得證。

（2）證法1：B→CA→CA→(B→C)B→(A→C)ABC00000101011011111111101111001101011101010111011101111111證法2：A→(B→C)┝┥┐A∨(┐B∨C)┝┥(┐A∨┐B)∨C┝┥(┐B∨┐A)∨C┝┥┐B∨(┐A∨C)┝┥B→(A→C)

證法3：先證A→(B→C)┝B→(A→C)(a)設?為任一指派，使?(A→(B→C))=1，那么?。?(A)=0，則?(A→C)=1，從而?(B→(A→C))=1ⅱ）?(A)=1，?(B)=0，則?(B→(A→C))=1ⅲ）?(A)=?(B)=?(C)=1，則?(B→(A→C))=1

綜上，(a)得證；同理可證B→(A→C)┝A→(B→C)。

（3）證法1：A→(A→B)(A→(A→B))?(A→B)ABA→B00101011011011111111證法2：A→(A→B)┝┥┐A∨(┐A∨B)┝┥(┐A∨┐A)∨B┝┥┐A∨B┝┥A→B

證法3：先證A→(A→B)┝A→B(a)設?為任一指派，使?(A→B)=0，那么?(A)=1，?(B)=0，從而?(A→(A→B))=0。

(a)得證；

再證A→B┝A→(A→B)(b)

設?為任一指派，使?(A→(A→B))=0，那么?(A)=1，?(A→B)=0。(b)得

證。

（4）證法1：A→BA→CA→(B→C)(A→B)→(A→C)ABCB→C0000111001100101010101101110111100111110101111110111111011111111證法2：(A→B)→(A→C)┝┥┐(┐A∨B)∨(┐A∨C)┝┥(A∧┐B)∨(┐A∨C)┝┥((A∧┐B)∨┐A)∨C

┝┥((A∨┐A)∧(┐B∨┐A))∨C┝┥(t∧(┐A∨┐B))∨C┝┥(┐A∨┐B)∨C┝┥┐A∨(┐B∨C)┝┥A→(B→C)

證法3：先證A→(B→C)┝(A→B)→(A→C)(a)

設?為任一指派，使?((A→B)→(A→C))=0，那么?(A→B)=1，?(A→C)=0，

即?(A)=?(B)=1，?(C)=0，從而?(B→C)=0，?(A→(B→C))=0。(a)得證；再證(A→B)→(A→C)┝A→(B→C)(b)

設?為任一指派，使?(A→(B→C))=0，那么?(A)=1，?(B→C)=0，即?(B)=1，?(C)=0，從而?(A→B)=1，?(A→C)=0，?((A→B)→(A→C))=0。(b)得證。

7、用三種不同方法證明以下規(guī)律蘊涵式：（1）A∧B┝A?B（2）(A→B)→A┝A

（3）A→B┝((A?B)→A)→B

（4）(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝C證（1）證法1：A∧B(A∧B)→ABA?B001010000100(A?B)11111111證法2：A∧B┝(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝┥A?B

證法3：設?為任一指派，使?(A∧B)=1，則?(A)=?(B)=1，從而?(A?B)=1。A

∧B┝A?B得證。

（2）證法1：((A→B)→A)ABA→B(A→B)→A→A00101011000111111111證法2：(A→B)→A┝┥┐(┐A∨B)∨A┝┥(A∧┐B)∨A┝┥(A∨A)∧(┐B∨A)┝┥A∧(┐B∨A)┝A

證法3：設?為任一指派，使?(A)=0，則?(A→B)=1，從而?((A→B)→A)=0。(A

→B)→A┝A得證。

（3）證法1：(A→B)→ABA→BA?B(A?B)→A((A?B)→A)→B(((A?B)→A)→B)0010101101000111101111111111證法2：A→B┝┥┐A∨B((A?B)→A)→B┝┥┐((A?B)→A)∨B┝┥((A?B)∧┐A)∨B

┝┥(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧┐A)∨B┝┥(┐A∧┐B)∨B┝┥┐A∨B∴A→B┝((A?B)→A)→B

證法3：設?為任一指派，使?(A→B)=1，則（?。?(A)=0；（ⅱ）?(B)=1。對

（ⅱ）顯然有?(((A?B)→A)→B)=1；

對（?。﹦t可令?(B)=0（?(B)=1的狀況已證），于是?(A?B)=1，?((A?B)→A)=0，?(((A?B)→A)→B)=1。

A→B┝((A?B)→A)→B得證。

（4）證法1：A∨BA→CB→C(A∨B)∧(A→C)((A∨B)∧(A→C)∧ABC∧(B→C)0000111001100101010100011111111101011011100001010(B→C))→C111111111111111證法2：(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝┥(A∨B)∧(┐A∨C)∧(┐B∨C)┝┥(A∨B∨C)∧(A∨B∨┐C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)∧(A

∨┐B∨C)┝(A∨B∨C)∧(A∨┐B∨C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)┝┥(A∨C)∧(┐A∨C)┝┥C

證法3：設?為任一指派，使?((A∨B)∧(A→C)∧(B→C))=1，則?(A∨B)=?(A→C)=?(B

→C)=1。由?(A∨B)=1有兩種狀況：（?。?(A)=1，由?(A→C)=1得?(C)=1；（ⅱ）?(B)=1，由?(B→C)=1得?(C)=1。(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝C得證。

△8、驗證以下規(guī)律等價式和規(guī)律蘊涵式，并寫出它們的對偶式：（1）┐(┐A∨┐B)∨┐(┐A∨B)┝┥A

（2）(A∨┐B)∧(A∨B)∧(┐A∨┐B)┝┥┐(┐A∨B)（3）B∨┐((┐A∨B)∧A)┝┥t

（4）┐A∨(┐B∨C)┝┐(┐A∧B)∨(┐A∨C)

（5）┐(A∨B)∨C┝A∨(┐B∨C)

解（1）┐(┐A∨┐B)∨┐(┐A∨B)┝┥(A∧B)∨(A∧┐B)

┝┥A∧(B∨┐B)┝┥A

對偶式：┐(┐A∧┐B)∧┐(┐A∧B)┝┥A

（2）(A∨┐B)∧(A∨B)∧(┐A∨┐B)┝┥A∧(B∨┐B)∧(┐A∨┐B)┝┥A∧(┐A∨┐B)┝┥A∧┐B┝┥┐(┐A∨B)對偶式：(A∧┐B)∨(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝┥┐(┐A∧B)

（3）B∨┐((┐A∨B)∧A)┝┥B∨((A∧┐B)∨┐A)┝┥B∨(┐B∨┐A)┝┥t對偶式：B∧┐((┐A∧B)∨A)┝┥f

（4）┐A∨(┐B∨C)┝A∨┐B∨┐A∨C┝┐(┐A∧B)∨(┐A∨C)對偶式：┐(┐A∨B)∧(┐A∧C)┝┐A∧(┐B∧C)

（5）┐(A∨B)∨C┝(┐A∧┐B)∨C┝(┐A∨C)∧(┐B∨C)┝┐B∨C┝A∨(┐B∨C)對偶式：A∧(┐B∧C)┝┐(A∧B)∧C

練習1.3

1、求以下公式的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式，并據(jù)主析（合）取范式直接確定弄真該公式的指派和弄假該公式的指派：

（1）(┐p∨┐q)→(p?┐q)（2）q∧(p∨┐q)

（3）p∨(┐p→(q∨(┐q→r)))

（4）(p→(q∧r))∧(┐p→(┐q∧┐r))

（5）p→(p∧(q→r))

解（1）(┐p∨┐q)→(p?┐q)┝┥┐(┐p∨┐q)∨((┐p∨┐q)∧(p∨q))

┝┥(p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)（主析取范式）┝┥q∨(p∧┐q)（析取范式）

┝┥p∨q（合取范式、主合取范式）弄真指派：p101弄假指派：p0q110q0

（2）q∧(p∨┐q)┝┥q∧(p∨┐q)（合取范式）┝┥((p∧┐p)∨q)∧(p∨┐q)┝┥(p∨q)∧(┐p∨q)∧(p∨┐q)（主合取范式）┝┥p∧q（析取范式、主析取范式）弄真指派：p1弄假指派：p010q1q001

（3）p∨(┐p→(q∨(┐q→r)))┝┥p∨(p∨(q∨(q∨r)))

┝┥p∨q∨r（合取范式、主合取范式）

┝┥(p∧(q∨┐q)∧(r∨┐r))∨(q∧(p∨┐p)∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p)∧(q∨┐q))┝┥(p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r)∨

(┐p∧q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)（析取范式、主析取范式）

弄真指派：p1111000弄假指派：p0

q1100110q0r1010101r0

（4）(p→(q∧r))∧(┐p→(┐q∧┐r))┝┥(┐p∨(q∧r))∧(p∨(┐q∧┐r))┝┥(┐p∨q)∧(┐p∨r)∧(p∨┐q)∧(p∨┐r)（合取范式）

┝┥(┐p∨q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p

∨q∨┐r)（主合取范式）

┝┥(┐p∧p)∨(q∧r∧p)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(q∧r∧┐q∧┐r)（析取范式）┝┥(p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)（主析取范式）

弄真指派：p10弄假指派：p111000

q10q001110

r10r010011

（5）p→(p∧(q→r))┝┥┐p∨(p∧(┐q∨r))┝┥┐p∨(p∧┐q)∨(p∧r)（析取范式）

┝┥(┐p∧q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧

┐q∧┐r)∨(p∧q∧r)（主析取范式）

┝┥(┐p∨p)∧(┐p∨┐q∧r)（合取范式）┝┥┐p∨┐q∧r（主合取范式）

弄真指派：p0000111弄假指派：p1

q1100001q1

r1010101r0

2、主析取范式的兩個不同析取項可能在同一指派下均真嗎？為什么？主合取范式的兩個不同合取項可能在同一指派下均假嗎？為什么？

答主析取范式的兩個不同析取項不可能在同一指派下均真。由于給定命題公式，其每個命題變元p1,…,pn在每個析取項中均恰出現(xiàn)一次，要使某個析取項在某指派下為真，則該指派下p1,…,pn的取值完全確定，而兩個析取項又不一致，所以一個指派最多弄真一個析取項。同理可知主合取范式的兩個不同合取項不可能在同一指派下均假。

3、利用范式證明以下公式為永真式（證明合取范式的每一個合取項中含有互補文字、

n

或其主析取范式中含有2個析取項，n是公式中變元的個數(shù)）（1）(p→q)∧p→q

（2）((p→q)→(┐p→┐q))→((┐q→┐p)→(q→p))（3）(p?q)?((p∧q)∨(┐p∧┐q))

（4）(p?q)?((r∧p)?(r∧q))∧((r∨p)?(r∨q))（5）┐(p?q)?┐p?┐q

（6）┐(p?q)?┐p?┐q

證（1）(p→q)∧p→q┝┥┐((┐p∨q)∧p)∨q┝┥┐(┐p∨q)∨┐p∨q┝┥(p∧┐q)∨┐p∨q┝┥(p∨┐p∨q)∧(┐q∨┐p∨q)∵合取范式的每一個合取項中均含有互補文字∴原式為永真式

（2）((p→q)→(┐p→┐q))→((┐q→┐p)→(q→p))

┝┥┐(┐(┐p∨q)∨(p∨┐q))∨(┐(q∨┐p)∨(┐q∨p))┝┥((┐p∨q)∧(┐p∧q))∨((┐q∧p)∨(┐q∨p))

┝┥(┐p∧┐p∧q)∨(q∧┐p∧q)∨(┐q∧p)∨(┐q∧p)∨(┐q∧┐p)∨(p∧q)∨(p∧┐

q)

┝┥(┐p∧q)∨(┐q∧┐p)∨(p∧q)∨(p∧┐q)

∵主析取范式中含有22個析取項∴原式為永真式

（3）(p?q)?((p∧q)∨(┐p∧┐q))

┝┥(((p→q)∧(q→p))→((p∧q)∨(┐p∧┐q)))∧(((p∧q)∨(┐p∧┐q))→((p→q)∧(q→p)))┝┥(┐((┐p∨q)∧(┐q∨p))∨((p∧q)∨(┐p∧┐q)))∧(┐((p∧q)∨(┐p∧┐q))∨((┐p

∨q)∧(┐q∨p)))

┝┥((p∧┐q)∨(q∧┐p)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q))∧(((┐p∨┐q)∧(p∨q))∨((┐p∨q)∧(┐

q∨p)))

┝┥((p∧┐q)∨(q∧┐p)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q))∧((┐p∨┐q∨┐p∨q)∧(p∨q∨┐p∨q)

∧(┐p∨┐q∨┐q∨p)∧(p∨q∨┐q∨p))

┝┥(p∧┐q)∨(q∧┐p)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q)

∵主析取范式中含有22個析取項

∴原式為永真式

（4）(p?q)?((r∧p)?(r∧q))∧((r∨p)?(r∨q))

┝┥(p→q)∧(q→p)?(((r∧p)→(r∧q))∧((r∧q)→(r∧p)))∧(((r∨p)→(r∨q))∧((r∨q)→

(r∨p)))

┝┥(┐p∨q)∧(┐q∨p)?((┐(r∧p)∨(r∧q))∧(┐(r∧q)∨(r∧p)))∧((┐(r∨p)∨(r∨q))

∧(┐(r∨q)∨(r∨p)))

┝┥(p∧q)∨(┐p∧┐q)?(┐p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r)┝┥(┐((p∧q)∨(┐p∧┐q))∨((┐p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨

r)))∧(┐((┐p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r))∨((p∧q)∨(┐p∧┐q)))

┝┥((┐p∨┐q∨q∨r)∧(p∨q∨┐p∨r)∧(┐p∨┐q∨p∨r)∧(p∨q∨┐q∨r)∧(┐p∨

┐q∨p∨┐r)∧(p∨q∨┐q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨q∨┐r)∧(p∨q∨┐p∨┐r))∧((p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q))

┝┥(