高二數(shù)學(xué) 空間向量及其運(yùn)算同步教案 新人教A版

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一、本講進(jìn)度

第九章直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體

9．5空間向量及其運(yùn)算

二、主要內(nèi)容

1、空間向量的概念及其運(yùn)算性質(zhì)；

2、利用空間向量的運(yùn)算性質(zhì)解決立體幾何的證明與計(jì)算問(wèn)題。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、空間向量的概念及運(yùn)算

與平面向量一樣，在空間，具有大小和方向的量叫做向量。向量的表示法：①圖形表示法。用有向線段表示；②符號(hào)表示法（字母表示法）；如向量AB，向量a。向量的特征：只與長(zhǎng)度與方向有關(guān)，與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即在空間，我們只研究自由向量。

由于空間任意兩個(gè)向量之間的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的法則完全與平面向量一致，如加法與減法的三角形法則：OA+AB=OB，AB=OB-OA，在此基礎(chǔ)上可推導(dǎo)出多邊形法則：A1A2+A2A3+?+An?1An=A1An。三角形法則是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，通過(guò)加法可以合并向量，

???????????????????????????????????????????起消元的作用。通過(guò)減法可以分解為若干基本向量，表達(dá)化歸的思想。

向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算性質(zhì)：（1）加法交換律：a+b=b+a

（2）加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)（3）數(shù)乘分派律：λ（a+b）=λa+λb

2、共線向量與共面向量的比較定義符號(hào)共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在直線相互平行或重合??????????????????????????????共面向量平行于同一平面的向量??a∥b??a∥α幾何位置平行或重合??平行或在平面內(nèi)????a∥b(b≠0)?????????a，b不共線，p與a，b共面?p=xa+yb????????????定理a=λb實(shí)數(shù)λ唯一存在??實(shí)數(shù)x，y唯一存在向量參數(shù)表示式???OP=OA+ta（a為非零方向?????向量）MP=xMA+yMB????????????OP=(1-t)OA+tOBt∈R?????????OP=OM+xMA+yMBx∈R，y∈R?????????3、空間向量基本定理：假使三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序數(shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc。

用集合表示為：所有空間向量組成的集合是{p|p=xa+yb+zc，x，y，z∈R，a，

??????????????????????????????b，c不共面}

其中a，b，c叫基向量，{a，b，c}是空間一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y，z唯一存在。推論：O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，

??????????????y，z，使：

???OP=xOA+yOB+zOC

?????????利用空間向量基本定理，可以將空間任一向量表示為不共面的三個(gè)向量的線性組合。從而把向量之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基底的運(yùn)算，表達(dá)了化歸和消元的思想。

4、空間兩個(gè)向量的數(shù)量積與平面向量類似。

5、用向量解幾何問(wèn)題的一般方法是；找適當(dāng)基底（尋常找同一頂點(diǎn)出發(fā)的若干向量）；用基底表示基向量；通過(guò)向量的計(jì)算解決幾何問(wèn)題，如長(zhǎng)度用模、夾角用數(shù)量積。四、典型例題

1??????例1、空間四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為B臺(tái)點(diǎn)，求證：EF?（AB+DC）。

2???解題思路分析：

法一：利用多邊形法則，找出EF與有關(guān)向量的等量關(guān)系，再對(duì)相關(guān)向量進(jìn)行變換，達(dá)到題目要求。

例如：EF=ED+DC+CF，EF=EA+AB+BF∴2EF=ED+EA+CF+BF+DC+AB∵E，F(xiàn)分別為AD，BC中點(diǎn)

∴ED與EA為相反向量，ED+EA=0同理，CF+BF=0

??????????????????????????????????????????????????????????????????????1??????∴2EF=DC+AB，EF?（AB+DC）

2????????????法二：構(gòu)造基本三角形，利用加法定理

??????1???1???1//例如：取AC中點(diǎn)G，則EG??DC，EG?DC，F(xiàn)G??AB，EG?AB

222//∴EF=EG+GF=

?????????1???1???1??????DC+AB=（AB+DC）222法三：選擇適當(dāng)基底，把問(wèn)題中的向量轉(zhuǎn)化為基底之間的關(guān)系或運(yùn)算例如：選基底{AB，AC，AD}則AE????????????????1??????1??????AD，AF=（AB+AC）

22??????∴EF=AF-AE==

1?????????（AB+AC-AD）21??????（AB+DC）2說(shuō)明：基底的選法是不唯一的。此題選從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條有向線段作為基底是選基底的最常用方法。還有一種常用選法是在空間任取一點(diǎn)O，以從點(diǎn)O出發(fā)的三條不共面的向量為基底。

例2、已知向量{a，b，c}中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量p=a+b，q=a-b，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？

解題思路分析：由空間向量基本定理可知，空間任意不共面的三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

∵a+b，a-b與a，b構(gòu)成平行四邊形∴a+b，a-b，a，b一定共面∴a與b不能與a+b，a-b構(gòu)成基底∴c與a+b，a-b可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

例3、平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P，Q分別是A1D1，CC1，BC，A1D的中點(diǎn)，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）AN（2）PQ（3）MN

解題思路分析：

利用多邊形法則，或構(gòu)造若干個(gè)相關(guān)的三角形

?????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1???

（1）AN=AB+BC+CN=AB+AD+CC1

2??