角的概念教學課件

角的概念

1.角是一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.按逆時針方

向旋轉形成的角叫正角.按順時針方向旋轉形成的角叫負角.如果i條射線沒作任

何旋轉，我們稱它形成了一個零角.其中正角、負角、零角統(tǒng)稱為任意角.

2.在直角坐標系中研究角時，如果角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非

負半軸重合，那么角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.若角的

終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.

3.所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構成一個集合，｛娜=a+k36(r,kwZ｝,

即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

4.終邊落在x軸非負半軸的角的集合為：｛a[a=k-36()o,keZ｝；

終邊落在y軸非負半軸的角的集合為：｛a|a=90o+k-36()o,keZ｝；

終邊落在x軸負半軸的角的集合為：｛a|a=180o+k-36()o,keZ｝；

終邊落在y軸負半軸的角的集合為：｛a|a=270o+k-36()o,kGZ｝；

5.第一象限角的集合為：

｛a|k-360o<a<k-360°+90°,keZ｝；

第二象限角的集合為：

｛a|k-360°+90°<a<k-360°+180°,keZ｝；

第三象限角的集合為：

｛a|k-3600+180o<a<k-360o+270°,keZ｝；

第四象限角的集合為：

｛a|k-360o+2700<a<k-360o+360°,keZ｝.

一、角的概念的推廣

1.角：角可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形，

旋轉開始時的射線叫做角a的始邊，旋轉終止時的射線叫做角a的終邊，射線的

端點叫做角a的頂點.

2.角的分類：正角、零角、負角.

3.象限角：如果把角放在直角坐標系內(nèi)來討論，使角的頂點與坐標原點重合，角的

始邊與

x軸的非負半軸重合，那么角的終邊落在第兒象限，就說這個角是第兒象限角.

a是第一象限角可表示為｛a|2k兀VaV2k兀+5,k￡Z｝；

a是第二象限角可表示為｛a|2k兀+<a<2k兀+兀,k￡Z｝；

a是第三象限角可表示為｛a|2k7r+7iVaV2k兀,k￡Z｝；

a是第四象限角可表示為｛a|2k?r+當<a<2k7r+27r,keZ).

4.軸線角：當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，如果角

的終邊落在坐標軸上，就稱該角為軸線角.

終邊落在X軸非負半軸上的角的集合可記作：

a|a=2kji,keZ；

終邊落在x軸非正半軸上的角的集合可記作：a|a=2k兀+兀,k￡Z;

終邊落在y軸非負半軸上的角的集合可記作：

兀

{a|a=2kji+§,k￡Z};

終邊落在y軸非正半軸上的角的集合可記作：{a[a=2k7i+學,k￡Z}；

終邊落在坐標軸上的角可表示為：{a|a=g,k￡Z}.

5.終邊相同的角:所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構成一個集合

{p|p=a+2kjt,kGZ}.

二、弧度制

L角度制:規(guī)定周角的1360為1度的角，這種計量角的度量方法稱為角度制.

2.弧度的定義：規(guī)定圓弧上弧長等于半徑的弧所對的圓心角為1弧度的角，即1360

周角=1°,12兀周角=1rad.

3.弧度與角度的換算：

360°=2無rad;180°=兀rad;

71

10=——rad=0.01745rad；

180

1rad=（180TI）°=57.30°=57°18'.

4.弧長公式：l=|a|-r（其中r為扇形的半徑，a為扇形圓心角的弧度數(shù)）.

5.扇形的面積公式：S扇彩=LlT='|a|r2（其中r為扇形的半徑，a為扇形圓心角的弧

22

度數(shù)）.

知識導學

要理解任意角概念，可通過創(chuàng)設情境：“轉體720°,逆（順）時針旋轉”，從而知

曉角有大于360。角、零角和旋轉方向不同所形成的角等；角的概念得到推廣以后，

將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念；列出幾個終邊相同的

角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示；再

通過創(chuàng)設情境，引入弧度制度量角的大小，通過探究理解并掌握弧度制的定義，領會

定義的合理性.根據(jù)弧度制的定義推導并運用弧長公式和扇形面積公式.以具體的

實例學習角度制與弧度制的互化,能正確使用計算器.

1.角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖

形.如圖1-1-1.

B

a

-------

圖1-1-1

2.角的概念的推廣

按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.

如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成一個零角.如圖1-1-2中的角是一個正

角，等于750°,圖1-1-3中，正角a=210。,負角p=-150°,y=-660°.

3.在直角坐標系內(nèi)討論角

象限角:當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合，如果角的終

邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限角.

4.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構成一個集合

S={郵=a+k-36()o,kWZ},即任?與角a終邊相同的角，都可以表示為角a與整數(shù)個周

角的和.

5.兒個重要的角的集合

(1)象限角的集合

第一象限角的集合為{a|k-360。<a<90o+k-360°,keZ}={a|a=p+k-360o,00<p<

90°,keZ}.

第二象限角的集合為{3如360。+90。<a<180°+k-360°,kGZ}={a|a=p+k-360°,90°<p

<180°,keZ}.

第三象限角的集合為{a|180o+k-360o<aV270o+k-360o,keZ}

={a|a=p+k-360o,180°<p<270°,kGZ}.

第四象限角的集合為{a|270°+k-360°<a<360°+k36()o,keZ}

={a|a=p+k-360o,270°<p<360°,kGZ}.

(2)兒種特殊角的集合

終邊落在x軸正半軸上的角的集合為{a[a=k-360o,kwZ}.

終邊落在x軸負半軸上的角的集合為{a[a=k-360o+18()o,keZ}.

終邊落在x軸上的角的集合為{a|a=kT80o,keZ}.

終邊落在y軸正半軸上的角的集合為{a[a=k-36()o+90o,kGZ}.

終邊落在y軸負半軸上的角的集合為{a[a=k-360o+270o,keZ}.

終邊落在y軸上的角的集合為{a[a=k-18()o+90o,keZ}.

終邊落在坐標軸上的角的集合為{a[a=k-9()o,keZ}.

終邊落在kX上的角的集合為｛a|a=kl8()o+45o,kez｝.

終邊落在y=-x上的角的集合為｛如1="80。+135。,1<?2｝.

終邊落在y=±x上的角的集合為｛同(1=如90。+45。,1<62｝.

題組一：基礎概念

.【題目】.在直角坐標系中，作出下列各角：

(1)360°(2)-270°(3)390°(4)-540°

.【題目工設集合麻陽。為小于90。的角｝,N=｛8|。為第一象限的角｝,貝ijMflN

等于()

4｛。|0為銳角｝"｛0|0為小于90。的角｝

C｛0|0為第一象限角｝D.以上均不對

解：小于90。的角由銳角、零角、負角組成.

而第一象限角包括銳角及終邊在第一象限的角.

MCIN由銳角及其終邊在第?象限的負角組成.故選D.

提示

(1)上述兒個概念用起來容易混淆，要加以辨別，搞清它們之間的關系.

(2)角的集合還常與集合的交、并、補運算聯(lián)合起來命題，是知識點的交匯，欲

引起注意.

.【題目工下列各命題正確的是（）

A.終邊相同的角一定相等B.第一象限角都是銳角

C.銳角都是第一象限角D小于90。的角都是銳角

解析：可根據(jù)各種角的定義，利用排除法予以解答.對于A,-60。和300。是終邊相同的

角，它們并不相等,應排除A.

對于B,390。是第一象限角，可它不是銳角,應排除B.

對于D,-60。是小于90。的角，但它不是銳角，

應排除D.

綜上，應選C.

答案：C

.【題目】.下列命題中，正確的是（）

A.終邊相同的角一定相等B.銳角都是第一象限角

C.第一象限的角都是銳角D小于90。的角都是銳角

解析：終邊相同的兩個角彼此相差360。的整數(shù)倍，它們可能相等也可能不等，所

以排除A;第一象限的角是指｛01卜360。<01<1<-360。+90。，keZ）,所以銳角組成的集

合是第一象限的角所成集合的子集，故C錯;小于90。的角也可以是負角，因此D

錯；因此正確的答案為B.

答案:B

.【題目工給出下列四個命題：（1）小于90。的角是銳角；（2）鈍角是第二象限角;

（3）第一象限角一定是負角；（4）第二象限角必大于第一象限角。其中真命題的

個數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【題目工下列說法中，正確的是（）

A.第二象限的角是鈍角

B.第二象限的角必大于第一象限的角

C.-150。是第二象限角

D.-252°16\467°44\1187。44,是終邊相同的角

思路分析：第二象限的角除包含鈍角以外，還包含與鈍角相差2k無,k《Z的角及若

干負角，如460。是第二象限的角但不是鈍角；460。是第二象限的角，730。是第一

象限角，顯然460。小于730。；-150。應為第三象限角，故A、B、C都是錯誤的.

答案：D

.【題目工下列命題中的真命題是(D)

A.第一象限的角是銳角

8.小于90。的角是第一象限角

C.第二象限的角比第一象限的角大

D.相等的角一定是終邊相同的角

.【題目］設工={0|0為銳角},8={0|0為小于90。的角},C={0|0為第一象限角},

。={0|6為小于90。的正角},則()

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

思路分析：A={0|0°<6<90°},B={6|0<90°},C={0|k-360o<0<90o+k-360°,keZ},

D={9|0o<9<90°},顯然，A=D.

答案：D

.【題目］已知Z={銳角},8={0。到90。的角},C={第一象限角},。={小于90°

的角}.求ACB,AUC,CAD,AUD.

思路解析：搞清各集合的范圍，是解題的關鍵.

A={a|0°<a<90°}；B={a|00<a<90°};

C={a|k-3600<a<k-360°+90°,keZ};

D={a|a<90°}.

，AnB={a|00<a<90°};AUC={a|k-3600<a<k-360°+90°,keZ}

CnD={a|k-3600<a<k-360°+90°,k為非正整數(shù)};AUD={a|a<90°}.

.【題目工判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①小于90。的角是銳角；②第一象限的角小于第二象限的角;

③終邊相同的角一定相等；④相等的角終邊一定相同；

⑤若ae［90。,180。］,則a是第二象限角.

思路分析：利用各種角的定義進行判斷.

解：①銳角集合是｛a|0o〈aV90。｝,即ad（O。,90。），它是小于90。的正角，而小于

90。的角還可以是負角和零角，顯然①是錯誤的；

②由于角的概念的推廣，第一、二象限的角不再局限于0?！?60。間的（0。,90。）與

（90°,180°）,像390。是第一象限角，120。是第二象限角，顯然390。>120。，所以②

也是錯誤的；

③終邊相同的角可能彼此相差360。的整數(shù)倍，顯然③是錯誤的；

④由于角的頂點是原點，始邊與x軸的非負半軸重合，所以相等的角終邊一定相

同，顯然④是正確的；

⑤由于90。、180。都不是象限角，顯然⑤是錯誤的.

辨析比較第一象限角、小于90。的角、0?！?0。的角、銳角這四種角的范圍有差

別.銳角一定是第一象限角，而第一象限角不都是銳角，小于90。的角應當包括銳角、

零角及負角，在下一節(jié)學習了弧度制后，角變?yōu)閷崝?shù)，其大小關系更加明顯.

知識點五已知角a終邊所在的象限，求多（nCN,n>l）所在的象限

.【題目】.用集合表示下列各角：“0。到90。的角”“第一象限角”“銳角”“小于90。的

角90。的角”.

解：0。到90。的角的集合為何0。女<90。｝

第一象限角的集合為｛a|k-3600<a<k-360°+90°,kGZ）

銳角的集合為｛a|0°<a<90°）

小于90。的角的集合為｛a|a<90°）

0。—90。的角的集合為｛a|0°<a<90°｝

.【題目】.集合4={a|a=k?90°-36°,keZ},5={p|-180°<p<180°},則ZA5等于

()

A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}

思路解析：在集合A中，令k取不同的整數(shù)，找出既屬于A又屬于B的角度即

可.k=-l,0,l,2驗證可知AnB={-126°,-360,54°,1440}.

答案：C

.【題目工已知角a、0的終邊相同，那么a-0的終邊在（）

4x軸的非負半軸上反y軸的非負半軸上

Cx軸的非正半軸上D歹軸的非正半軸上

解析：???角a、B終邊相同，

.*.a=k-360°+p,kGZ,

作差01-（3=如360。+坪=k-360。，keZ.

Aa-p的終邊在x軸的非負半軸上.

答案:A

類題演練3

題組二：終邊相同的角與象限角

.【課本習題P53],已知角的頂點與坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸

重合，作出下列各角并指出它們是哪個象限的角.

（1）420°；（2）-75°；（3）855°；（4）-510°.

解：（1）第一象限；（2）第四象限；（3）第二象限；（4）第三象限.

.【題目工已知角的頂點與坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，作

出下列各角并指出它們是哪個象限的角.

(1)490°；(2)-100°；(3)760°；(4)-390°.

解：（1）第二象限；（2）第三象限；（3）第一象限；（4）第四象限.如圖.

.【題目]若a為銳角，則角a終邊在第二象限，角180。一。終邊在第二象限,

角180。+。終邊在第二象限，角360。一。終邊在第四象限.

.【題目工一30。角是D

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

.【課本例題P4例1】.在0。?360。范圍內(nèi)與一950。12'角終邊相同的角是A

A.129。48'B.29。48'C.279°48'D.209。48'

.【課本例題P4例1].-950°12/角是B

A.第象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

.【課本習題P5課后練習4】.在0。?360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角,

并指出它們是第兒象限角：

(1)-54°18z；(2)395°8'；(3)—1190030z.

答案：(1)305。42'第四象限角;

(2)35°8‘第一象限角;

(3)249。30'第三象限角.

.【課本習題P9A1].在0。?360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出

它們是第兒象限角：

(1)-265°；(2)-1000°；(3)-843。10'；(4)39000.

答案：(1)95。第二象限角；

(2)80。第一象限角；

(3)236。50'第三象限角；

(4)300。第四象限角.

.【題目1700。角是D

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

.【題目1400。角是A

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

.【題目】.在0。?360。范圍內(nèi)與一1050。角終邊相同的角是A

A.30°B.120°C.210°D.330°

.【題目工下列各角與95。角終邊相同的角是D

A.-5°B.85°C.395°D.-265°

.【題目工已知a=1690。，

(1)把a改寫成B+k-360。(k@Z,0。鄒<360。)的形式；

(2)求仇使。的終邊與a相同，且-360。<6<360。，并判斷。屬于第幾象限.

解：⑴a=250°+4-360°(k=4,0=250。).

(2)與a終邊相同，

/.0角可寫成250°+k-360。.

XV-3600<0<360°,

.,.-360°<250o+k-360o<360°,kCZ.

解得k=-l或0.

.?.0=-110°或250°,

...o是第三象限角.

變式提升2

.【題目工在一720。到720。之間與一1050。角終邊相同的角是.

【答案】-690。，-330°,30°,390°

.【題目工在一720。到720。之間與一1050。角終邊相同的角是.

【解析】???與一1050。終邊相同的角可寫成：

-1050°+*-360°(%GZ),

，-720°<-1050°+A;-360o<720o,

.?.330°<A：-360o<1770o,

整數(shù)左的值為1,2,3,4.

...所求角為一690。，-330°,30°,390°.

【答案】一690°,-330°,30°,390°

.【題目工在-720。到720。之間與角-1000。角終邊相同的角是.

解法一：與角-1000。終邊相同的角的集合是5={砸=-1000o+k-36()o,kGZ},S中適

合-720。到720。之間的元素是

-1000°+lx360°=-640°,-l000o+2x360°=-280°,-l000o+3x360°=80°,-l

000°+4x360°=440°.

解法二：V-72O°<-1000°+k-360°<720°,

743

解得」WKW竺.

99

Vkez,Ak=l,2,3,4.

把k=l,2,3,4分別代入。=-1000。+10360。,1<62,可以得集合中的元素為

-640°,-280°,80°,440°.

答案：-640°,-280°,80°,440°

.【題目工將一885?；癁閍+Z?360。(0。女<360。，左GZ)的形式是

A.-165°+(-2)-360°B.195°+(-3)-360°

C.195°+(-2)-360°D.165°+(-3)-360°

【解析】-8850=195。+(-1080°)

=195°+(-3)-360°.

【答案】B

.【題目工將下列各角表示為a+左360。(左CZ,0。％<360。)的形式，并判斷角在

第幾象限.

(1)560°24'(2)一560°24'

(3)2903°15f(4)-2903015,

(5)3900°(6)-3900°

【解】(1)V560o24,=200°24,+360°

，560。24與200。24,終邊相同在第三象限

(2)V-560°24,=159°36,+(-2)-360°

，一560。24與159。36終邊相同在第二象限

(3)V2903o15,=23o15,+8-360°

.,.2903°15'與23。15,終邊相同在第一象限

(4)V-2903015,=336°45,+(-9)-360°

2903。15,與336。45,終邊相同在第四象限

(5)V3900°=300°+10-360°

.?.3900。與300。終邊相同在第四象限

(6)V-3900°=60°+(-11)-360°

...一3900。與60。終邊相同在第一象限

.【題目工與角-1050。終邊相同的最小正角是.

思路分析：由于-1050。=30。-3*360。，所以與角-1050。終邊相同的最小正角是30。.

答案：30。

.【題目】.與1995。的終邊相同的絕對值最小的角是

【答案】-165°

.【題目］與角1560。終邊相同的角的集合中，最小正角是,最大負角是

【解析】1560°=120°+4x360°,

1560o=-240°+5x360°.

【答案】120°-240°

.【題目工(1)已知-990。<(1<-630。，且a與120。角的終邊相同，則a=.

(2)在-720。到720。之間與-1050。角終邊相同的角是.

解析：(l)：a與120。角終邊相同,故有0(=10360。+120。,1<金2.

XV-9900<a<-630°,

A-9900<k-360°+120°<-630°,HP-11100<k-360o<-750°.

當k=-30t,a=(-3)-36O°+12O°=-96O°.

(2)與1050。角終邊相同的所有的角可表示為a=k-360°+(-l050°),keZ,

依題意得-720。<妙360。-1050°<720°,

解得11<k<4U,I.k=l,2,3,4.

1212

所求的角為1x3600-1050°=-690°,

2x3600-10500=-330°,3x360°-l050°=30°,

4x3600-1050°=390°.

答案：(1)-960°(2)-690°,-330°,30°,390°

.【題目工在一360。到360。之間與一1050。角終邊相同的角是A

A.一330°和30。B.一320。和30°C.-330。和20°D.-3300和120。

.【題目工在0°到360。范圍內(nèi)與一21。終邊相同的角是班，在一360。到720。范圍

內(nèi)與一21。終邊相同的角有J個；分別是一21。，339。，699°.

.【題目工如圖1-1-5,寫出終邊落在直線尸岳上的角的集合.(用0。到360。的角

表示)

思路分析：先在0。到360。之間找到兩個角，使得其終邊分別與射線產(chǎn)石x(xX))、

產(chǎn)百x(xSO)重合，再寫出與其終邊相同的角的集合，最后求并集.

解：終邊落在廣岳(xK))上的角的集合是Si={a|a=60°+k-360°,keZ}:

o

終邊落在y=V5x(xS0)上的角的集合是S2={a|a=240+k-360°,keZ}.

于是，終邊落在尸底上的角的集合是$=$|1^2=

{a|a=60°+k-360°,keZ}U{a|a=240°+k-360°,keZ}

={a|a=60°+2k-180°,keZ}U{a|a=60°+(2k+1)-180°,keZ}

={a|a=60°+180°的偶數(shù)倍}U{a|a=60°+180°的奇數(shù)倍}

={a|a=60°+180°的整數(shù)倍}={a|a=60°+n-180°,nWZ}.

巧妙變式：如圖1-1-6,若角a的終邊落在y=^x(xKJ)與產(chǎn)-字x(xgO)所夾的

小區(qū)域內(nèi)，求角a的集合.

思路點撥：應先寫出終邊落在y邛x(xM))與產(chǎn)-冬腔0)上的角的集合，再運

用不等式寫出所在小區(qū)域內(nèi)的角的集合.所夾的小區(qū)域內(nèi)角a的集合是

{a|30°+k-3600<a<150°+k-360°,

keZ}.

方法歸納若過原點的直線1的傾斜角為a,則終邊落在直線1上的角的集合是

伸懺a+kT80o,kGZ}.當k取偶數(shù)時，表示終邊落在直線1所在的上半平面部分；當

k取奇數(shù)時，表示終邊落在直線1所在的下半平面部分.求兩條射線所夾區(qū)間角的集

合的關鍵是找出與區(qū)間的兩條邊界終邊相同的角的集合.

知識點三象限角的集合

.【課本例題P4例2].終邊落在y軸上的角的集合為。

A.{a|a=Z?360°+90°,kGZ}B.{a|a=A?90°+90。，k^Z}

C.{a|a=A?180°,kRZ}D.{a|a=^180°+90°,kRZ}

.【課本例題P5例3].終邊落在直線尸上的角的集合為D

A.{a|a=k-360°+45°,左6Z}B.{a|a=A/90°+45°,k^Z}

C.{a|a=k-180°-45°,k￡Z}D.{a[a="T80°+45。，k&Z}

.【課本習題P9A2].終邊落在x軸上的角的集合為。

A.{a|a=%-360°+90。，左WZ}B.{a|a=k90°+90°,A：GZ}

C.{a|a=^-180°,kGZ}D.{a|a=^180°+90°,k5}

.【題目]終邊落在x軸正半軸上的角的集合為A

A.{a|a=Z?360。，k^Z}B.{a|a=A?180°,kGZ}

C.{a|a=A?90°,左CZ}D.{a|a=%-3600+90°,k￡Z}

.【題目】.終邊在x軸非負半軸上角的集合是{aIa=k-360。,左WZ）；終邊在x

軸上角的集合是{aIa=k*%GZ}.終邊在第一象限的角的集合是

TC

{a|A-360o<a<,+Arx360o/￡Z.

.【題目工用集合的形式表示與下圖中的角的終邊相同的角的集合.

思路分析：運用兩角關系及終邊相同角解決.

解：(1)從圖①中看出，圖中兩個角的終邊在一條直線上.

在0。一360。范圍內(nèi)，且另一個角為225。，故所求集合為：

S={p|p=45°+k-360°,kGZ}U{p|p=225°+k-360°,kGZ}.

={PIP=45°+2k-180°,k￡Z}U{p|p=45°+l80°+2k-180°,keZ}.

={p|p=45°+2k-180°,kGZ}U{p|p=45°+(2k+l)-180°,keZ}.

={PIP=45°+n-180°,neZ}

(2)從圖②中看出，圖中兩個角的終邊關于x軸對稱，故所求集合為:

S={P|p=30°+k-360°,keZ}U{P|p=330°+k-360°,keZ}.

={p|p=30°+k-360°,keZ}U{p|p=-30°+360°+k-360°,keZ}.

={PIP=30°+k-360°,kGZ}U{p|p=-30°+(k+1)-360°,kGZ}.

={p|p=±30°+n-360°,neZ}.

(3)從圖③中看出，圖中兩個角的終邊關于y軸對稱，故所求集合為:

S={p|p=30°+k-360°,keZ}U{p|p=150°+k-360°,keZ}.

={P|P=30°+k-360°,keZ}U{|3|p=-30o+180°+2k-180°,kGZ}.

={郵=30。+2k?180。,keZ}U{p|p=-30°+(2k+l)-180°,keZ}.

={P|p=(-1)n-30°+n-180°,n€Z}.

3.任意角的概念

.【題目］若角a的終邊經(jīng)過點尸(-1,石)，則與角a終邊相同的角的集合是()

A.{a|a=135°+k-360°,keZ}B.{a|a=150°+k-360°,k￡Z}

C.{a|a=120°+k-360°,keZ}D.{a|a=240°+k-360°,keZ}

思路分析：如圖，過點P作PM，x軸于點M,在RtaPMO中，

V|OM|=1,|MP|=V3,

\PM\

tanZPOM=

\OM\

：.ZPOM=60°.

，與角a終邊相同的角的集合是{砸=120。+10360。,14￡2}.

答案：C

?【題目工若a=-21。，則與a終邊相同的角可以表示為

A.k-36Q0+2\°(kGZ)B.M80°+21°QkGZ)

C.Zr-360°-21°(左CZ)D.左180°—21°(左GZ)

【答案】C

.【課本習題P5.5],寫出與一225。終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等

式一72(TWB<360。的元素B寫出來：

【解】?.?-225。=135。-360。

.?.與370。23,終邊相同角的集合為

S={BIB=135°+左360。，左CZ}

在一720。?360。范圍內(nèi)的角分別是

135°,135°-360°,135°-720°.

即135°,-225°,-585°.

.【課本習題P9A3]寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等

式一360。忘B<360。的元素B寫出來：

(1)60°；(2)-75°；(3)-824°30'；(4)475°；

(5)90°；(6)270°；(7)180°；(8)0°.

【解】⑴{BB=60。+上-360°,左WZ},-300°,60°；

(2)(BB=-75。+左360°,kSZ},-75°,285°；

(3)(38=-824°30'+卜360。，kO,一104。30',-824°30'；

(4)(BB=475°+左-360。，左6Z},-245°,475°；

(5){Bp=90°+^-360°,kRZ},-270°,90°；

(6){PIB=270°+左360°,左GZ},-90°,270°；

(7){3IB=180°+左-360。，k^l},-180°,180°；

(8){PI6=左360°,k￡Z},-360°,0°.

.【題目工與一460。終邊相同的角可以表示成

A.460°+^-360°（左CZ）B.100。+左360°（左GZ）

C.260°+左-360°（AdZ）D.-260。+七360。QgZ）

【解析】V-460°=-2x360o+260°

一460。與260。角終邊相同，

.?.與一460。角終邊相同的角可表示成260。+上360。（左GZ）.

【答案】C

.【題目］與-457。角終邊相同角的集合是（）

A.{a|a=k,360°+457°,kGZ}B.{a|a=k-360°+97°,kGZ}

C.{a|a=k-360°+263°,keZ}D.{a|a=k-360°-263°,kGZ}

解法1：-457°=-2x360°+263°,/.應選C.

解法2：-457。角與-97。角終邊相同，

又-97。角與263。角終邊相同，

又263。角與好360。+263。角終邊相同，

二應選C.

答案：C

.【題目］與-457。終邊相同的角的集合是（）

A.{a|a=k-360°+457°,k^Z}B.{a|a=k-360°+97°,keZ}

C.{a|a=k-360°+263°,kGZ}D.{a|a=k-360°-263°,keZ}

思路分析：本題考查終邊相同的角的表示方法，可用特殊值法來研究.

解法一：當k=-2時，有＞457。=-2、360。+263。；也可采用定義分析.

解法二：因為-457。角與-97。角終邊相同，-97。角與263。角終邊相同，所以-457。角

與263。角終邊相同；還可用排除法加以排除.

解法三：因為R57。角與-97。角終邊相同，容易排除A、B、D.

答案：C

?【題目］寫出與370。23,終邊相同角的集合S,并把S中在一720。?360。間的角寫

出來.

【解】V370°23,=10o23,+360°

.?.與370。23,終邊相同角的集合為

S=｛aIa=10°23'+左360°,kGZ)

在一720。?360。之間的角分別是

10°23\10°23'—360°,10°23'—720°.

即10°23',-349°37',-709°37'.

.【題目】.如果a與x+45。具有同一條終邊，角0與x-45。具有同一條終邊，那么a

與B間的關系是()

A.a+p=0B.a-p=0

C.a+p=k-360°,keZD.a-p=k-360°+90°,keZ

思路解析：利用終邊相同的角的關系，分別寫出a、0,找出它們的關系即可.由題

意，wa=k-3600+x+45°,kez；|＞止360。+*-45。,11￡2.兩式相減，得

a-p=(k-n)-360°+90°,(k-n)eZ.

答案：D

.【題目】.在角的集合｛a|a=k-9()o+45o,keZ｝中,

(1)有兒種終邊不相同的角？

(2)有幾個屬于區(qū)間(-360。，360。)內(nèi)的角？

思路分析：本題主要考查對。=k90。+45。(1462)所表示的角的認識，從代數(shù)角度看,

取k=...,-2,-1,0,1,2,…可以得a為…，-135。，-45。，45°,135°,225°,...?

從圖形角度看01=1090。+45。出￡2),即以角45。為基礎，依次加上90。的整數(shù)倍，即

依次按順時針方向或逆時針方向旋轉90。，所得各角如圖1-1-7所示.

圖1-1-7

解：（1）在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種.

a7

（2）由-360?！?090。+45。<360。得—1<1<<：,

又kWZ,故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.

所以在給定的角的集合中屬于區(qū)間（-360。，360。）的角共有8個.

方法歸納把代數(shù)計算與對圖形的認識結合起來，會使這類問題處理起來更容易

些.在數(shù)學學習中，數(shù)形結合的方法始終是解決問題的最重要的方法之一，做題時

要注意這種思想的應用.

.【題目1若一180°VaV-90°,則180。一a與a的終邊

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.以上都不對

【解法一】特例法，不妨取a=—100。,則180。-a=280。,這時一100。和280。關

于丁軸對稱.

【解法二】,/（180。7+&=90。，

...180。一a與a終邊關于90。終邊所在直線即y軸對稱.

【答案】B

.【題目目設2={閔0=無?180。+(—1)幺30。,JWZ},0={a|a=M8O°±3O°,k￡Z},

則有

A.P=QB.P^QC.F^QD.PC\Q=0

【解析】P={a|a斗T800+(-1)K-30°,左GZ}

={a|a=w360o+30°,HGZ}U{a|a=w360°+150°,〃WZ}

2={a|a=w360°±30°,?GZ}U{a|a=w360°+180o±30°,〃￡Z}

={a|a=M-360o±30°,nGZ}U{a|a=n,360o+150°,?GZ}U{a|a=H-360°+210°,

?eZ}

【答案】B

.【題目】.若2={aIa=k-36Q0,左WZ}；B={aIa="80。，％eZ}；C={aI

a=Q90°,kWZ},則下列關系中正確的是

A.A=B=CB.A=B三C

C.A^B=CD.A^B^C

【解析】集合Z為終邊在x軸非負半軸上角的集合；

集合8為終邊在x軸上角的集合；

集合C為終邊在坐標軸上角的集合；

因此力妾的C.

【答案】D

.【題目】.第一象限角的集合為

{a|k-360o<a<k-360°+90°,keZ}；

.【題目】.第二象限角的集合為

{a|k-360o+900<a<k-360o+180°,keZ}；

.【題目工第三象限角的集合為

{a|k-360o+1800<a<k-360o+270°,kGZ}；

.【題目工第四象限角的集合為

{a|k-360o+2700<a<k-360o+360°,kGZ}.

【題目工第一象限角的集合為A

A.{a\k-360°<a<k-360°+90°,kRZ}

B.{a|Q360°+90°VaVQ360°+180°,k^Z}

C.{a|K360°+180°Va<k360°+270°,kRZ}

D.{a|k360°+270°VaVA?360°+360°,kGZ}

【題目工第二象限角的集合為B

A.{a|k360°Va<A?3600+90°,kRZ}

B.{a|A-360o+90o<a<^360o+180°,k^Z}

C.{ak360°+180°Va<左3600+270。，k&Z}

D.{a|k360°+270°VaV6360°+360°,k￡Z}

【題目工第三象限角的集合為C

A.{a|k-360°Va<A?360°+90°,kRZ}

B.{a|^360°+90°<a<^-360°+180°,k^Z}

C.{a|k360°+180°Va<左360°+270°,kRZ}

D.{a|k360°+270°Va〈k3600+360°,kGZ}

.【題目工第四象限角的集合為D

A.{aK,360°VaV左360°+90°,kGZ}

B.{a|Q360°+90°VaVk3600+180。，％GZ}

C.{a|yt-3600+1800<a<^360°+2700,k&Z}

D.{a|k360°+270°Va〈k3600+360°,k^Z}

.【題目工角。=45。+Q180。，左WZ的終邊落在

A.第一或第三象限反第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

【解析】若k=2n,〃WZ,則a=45°+〃-360°,〃WZ,a在第一象限.

若左=2〃+1,〃GZ,則a=225°+〃-360°,〃GZ,a在第三象限.

【答案】A

.【題目］若a是鈍角，則180。一。是

A.第一象限角B.第二角限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】V90°<a<180°,

二一180°V—a<—90。，，0°<180°—a<90°,

??.180。一。角在第一象限.

【答案】A

.【題目工當a為銳角時，一a+左360。(左6Z)在第象限，a+左180。(A：GZ)

在第象限.

【解析】由0。<。<90。,得一90。<一。<0。

I.-90°+A：-360o<-a+Z：-360o<A：-360o(%eZ),

.,.-a+^-3600(JteZ)在第四象限

XM80o<a+M80°<90o+M80°(%GZ).

，當左為偶數(shù)，設上2〃(〃WZ)時，得

w3600<a+A:180o<90o+w360o(kWZ).

當左為奇數(shù)，設仁2〃+1(〃GZ)