初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 專題15 函數(shù)與行程問題【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題15函數(shù)與行程問題專題15函數(shù)與行程問題題型精講題型精講【例1】（2021·山東）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當(dāng)甲車減速至9m/s時(shí)，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時(shí)相距最近，最近距離是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒時(shí)兩車相距最近，最近距離是2米【分析】（1）根據(jù)圖像分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出當(dāng)v=10m/s時(shí)，兩車之間距離最小，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由圖可知：二次函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為，一次函數(shù)表達(dá)式為，∵一次函數(shù)經(jīng)過（0，16），（8，8），則，解得：，∴一次函數(shù)表達(dá)式為，令v=9，則t=7，∴當(dāng)t=7時(shí)，速度為9m/s，∵二次函數(shù)經(jīng)過（2，30），（4，56），則，解得：，∴二次函數(shù)表達(dá)式為，令t=7，則s==87.5，∴當(dāng)甲車減速至9m/s時(shí)，它行駛的路程是87.5m；（2）∵當(dāng)t=0時(shí)，甲車的速度為16m/s，∴當(dāng)10＜v＜16時(shí)，兩車之間的距離逐漸變小，當(dāng)0＜v＜10時(shí)，兩車之間的距離逐漸變大，∴當(dāng)v=10m/s時(shí)，兩車之間距離最小，將v=10代入中，得t=6，將t=6代入中，得，此時(shí)兩車之間的距離為：10×6+20-78=2m，∴6秒時(shí)兩車相距最近，最近距離是2米．【例2】（2021·浙江麗水市）李師傅將容量為60升的貨車油箱加滿后，從工廠出發(fā)運(yùn)送一批物資到某地．行駛過程中，貨車離目的地的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系如圖所示（中途休息、加油的時(shí)間不計(jì)．當(dāng)油箱中剩余油量為10升時(shí)，貨車會自動(dòng)顯示加油提醒．設(shè)貨車平均耗油量為0.1升/千米，請根據(jù)圖象解答下列問題：（1）直接寫出工廠離目的地的路程；（2）求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)貨車顯示加油提醒后，問行駛時(shí)間t在怎樣的范圍內(nèi)貨車應(yīng)進(jìn)站加油？【答案】（1）工廠離目的地的路程為880千米；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)圖象直接得出結(jié)論即可；（2）根據(jù)圖象，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式即可；再求出油量為（3）分別求出余油量為10升和0升時(shí)行駛的路程，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出此時(shí)的t值，即可求得t的范圍．【詳解】解：（1）由圖象，得時(shí)，，答：工廠離目的地的路程為880千米．（2）設(shè)，將和分別代入表達(dá)式，得，解得，∴s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為．（3）當(dāng)油箱中剩余油量為10升時(shí)，（千米），，解得（小時(shí)）．當(dāng)油箱中剩余油量為0升時(shí)，（千米），，解得（小時(shí)）．隨t的增大而減小，的取值范圍是．【例3】（2021·天津）在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境．已知學(xué)校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學(xué)校，陳列館離學(xué)校．李華從學(xué)校出發(fā)，勻速騎行到達(dá)書店；在書店停留后，勻速騎行到達(dá)陳列館；在陳列館參觀學(xué)習(xí)一段時(shí)間，然后回學(xué)校；回學(xué)校途中，勻速騎行后減速，繼續(xù)勻速騎行回到學(xué)校．給出的圖象反映了這個(gè)過程中李華離學(xué)校的距離與離開學(xué)校的時(shí)間之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（Ⅰ）填表離開學(xué)校的時(shí)間/離學(xué)校的距離/（Ⅱ）填空：①書店到陳列館的距離為________；②李華在陳列館參觀學(xué)的時(shí)間為_______h；③李華從陳列館回學(xué)校途中，減速前的騎行速度為______；④當(dāng)李華離學(xué)校的距離為時(shí)，他離開學(xué)校的時(shí)間為_______h．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法，分段寫出函數(shù)解析式，根據(jù)表格中x，代入相應(yīng)的解析式，得到y(tǒng)；（Ⅱ）①根據(jù)圖象進(jìn)行分析即可；②根據(jù)圖象進(jìn)行分析即可；③根據(jù)時(shí)的函數(shù)解析式可求；④分和兩種情況討論，將距離為4km代入相應(yīng)的解析式求出時(shí)間x；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法，分段寫出函數(shù)解析式即可．【詳解】對函數(shù)圖象進(jìn)行分析：①當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由圖象可知，當(dāng)x=0.6時(shí)，y=12，則，解得∴當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為②由圖象可知，當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由圖象可知，當(dāng)x=1時(shí)，y=12；當(dāng)x=1.5時(shí)，y=20，則，解得∴當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為④由圖象可知，當(dāng)時(shí)，⑤當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由圖象可知，當(dāng)x=4.5時(shí)，y=20；當(dāng)x=5時(shí)，y=6，則，解得∴當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為⑥當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由圖象可知，當(dāng)x=5時(shí)，y=6；當(dāng)x=5.5時(shí)，y=0，則，解得∴當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)系式為∴當(dāng)x=0.5時(shí)，．故第一空為10．當(dāng)時(shí)，．故第二空為12．當(dāng)時(shí)，．故第二空為20．（Ⅱ）①李華從學(xué)校出發(fā)，勻速騎行到達(dá)書店；在書店停留后，勻速騎行到達(dá)陳列館．由圖象可知書店到陳列館的距離；②李華在陳列館參觀學(xué)習(xí)一段時(shí)間，然后回學(xué)校．由圖象可知李華在陳列館參觀學(xué)的時(shí)間；③當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，所以李華從陳列館回學(xué)校途中，減速前的騎行速度為28；④當(dāng)李華離學(xué)校的距離為時(shí)，或由上對圖象的分析可知：當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為令，解得當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為令，解得∴當(dāng)李華離學(xué)校的距離為時(shí)，他離開學(xué)校的時(shí)間為或．（Ⅲ）由上對圖象的分析可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．提分提分訓(xùn)練1．（2021·陜西）在一次機(jī)器“貓”抓機(jī)器“鼠”的展演測試中，“鼠”先從起點(diǎn)出發(fā)，1min后，“貓”從同一起點(diǎn)出發(fā)去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“貓”抓著“鼠”沿原路返回“鼠”、“貓”距起點(diǎn)的距離與時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示．（1）在“貓”追“鼠”的過程中，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是______；（2）求的函數(shù)表達(dá)式；（3）求“貓”從起點(diǎn)出發(fā)到返回至起點(diǎn)所用的時(shí)間．

【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)圖象得到“貓”追上“鼠”時(shí)的路程與它們的用時(shí)，再求平均速度差即可；（2）找出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；（3）令，求出的值，再減去1即可得解．【詳解】解：（1）從圖象可以看出“貓”追上“鼠”時(shí)，行駛距離為30米，“鼠”用時(shí)6min，“貓”用時(shí)（6-1）=5min，所以，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是故答案為：1；（2）由圖象知，A（7，30），B（10，18）設(shè)的表達(dá)式，把點(diǎn)A、B代入解析式得，解得，∴．（3）令，則．∴．14.5-1=13.5(min)∴“貓”從起點(diǎn)出發(fā)到返回至起點(diǎn)所用的時(shí)間為．2．（2021·甘肅武威市）如圖1，小剛家，學(xué)校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速從學(xué)校到圖書館，到達(dá)圖書館還完書后，再以相同的速度原路返回家中（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）．小剛離家的距離與他所用的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．（1）小剛家與學(xué)校的距離為___________，小剛騎自行車的速度為________；（2）求小剛從圖書館返回家的過程中，與的函數(shù)表達(dá)式；（3）小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)?【答案】（1）3000，200；（2）；（3）【分析】（1）從起點(diǎn)處為學(xué)校出發(fā)去處為圖書館，可求小剛家與學(xué)校的距離為3000m，小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m可求騎自行車的速度即可；（2）求出從圖書館出發(fā)時(shí)的時(shí)間與路程和回到家是的時(shí)間與路程，利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）小剛出發(fā)35分鐘，在返回家的時(shí)間內(nèi)，利用函數(shù)解析式求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)值即可．【詳解】解：（1）小剛騎自行車勻速從學(xué)校到圖書館，從起點(diǎn)3000m處為學(xué)校出發(fā)去5000m處為圖書館，∴小剛家與學(xué)校的距離為3000m，小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m，行駛的路程為5000-3000=2000m，騎自行車的速度為2000÷10=200m/min，故答案為：3000，200；（2）小剛從圖書館返回家的時(shí)間：．總時(shí)間：．設(shè)返回時(shí)與的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，解得，，．（3）小剛出發(fā)35分鐘，即當(dāng)時(shí)，，答：此時(shí)他離家．3．（2020?黑龍江）為抗擊疫情，支持武漢，某物流公司的快遞車和貨車每天往返于物流公司、武漢兩地，快遞車比貨車多往返一趟，如圖表示兩車離物流公司的距離y（單位：千米）與快遞車所用時(shí)間x（單位：時(shí)）的函數(shù)圖象，已知貨車比快遞車早1小時(shí)出發(fā)，到達(dá)武漢后用2小時(shí)裝卸貨物，按原速、原路返回，貨車比快遞車最后一次返回物流公司晚1小時(shí)．（1）求ME的函數(shù)解析式；（2）求快遞車第二次往返過程中，與貨車相遇的時(shí)間．（3）求兩車最后一次相遇時(shí)離武漢的距離．（直接寫出答案）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）利用待定系數(shù)法分別求出BC與FG的解析式，再聯(lián)立解答即可；（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解析】（1）設(shè)ME的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），由ME經(jīng)過（0，50），（3，200）可得：b=503k∴ME的解析式為y＝50x+50；（2）設(shè)BC的函數(shù)解析式為y＝mx+n，由BC經(jīng)過（4，0），（6，200）可得：4m+n∴BC的函數(shù)解析式為y＝100x﹣400；設(shè)FG的函數(shù)解析式為y＝px+q，由FG經(jīng)過（5，200），（9，0）可得：5p+q∴FG的函數(shù)解析式為y＝﹣50x+450，解方程組y=100x-同理可得x＝7h，答：貨車返回時(shí)與快遞車圖中相遇的時(shí)間173h，7h（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：兩車最后一次相遇時(shí)離武漢的距離為100km．4．（2020?天津）在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境．已知小亮所在學(xué)校的宿舍、食堂、圖書館依次在同一條直線上，食堂離宿舍0.7km，圖書館離宿舍1km．周末，小亮從宿舍出發(fā)，勻速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，勻速走了5min到圖書館；在圖書館停留30min借書后，勻速走了10min返回宿舍．給出的圖象反映了這個(gè)過程中小亮離宿舍的距離ykm與離開宿舍的時(shí)間xmin之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（Ⅰ）填表：離開宿舍的時(shí)間/min25202330離宿舍的距離/km0.20.7（Ⅱ）填空：①食堂到圖書館的距離為km；②小亮從食堂到圖書館的速度為km/min；③小亮從圖書館返回宿舍的速度為km/min；④當(dāng)小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開宿舍的時(shí)間為min．（Ⅲ）當(dāng)0≤x≤28時(shí)，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以將表格補(bǔ)充完整；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以將各個(gè)小題中的空補(bǔ)充完整；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)果和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫出當(dāng)0≤x≤28時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【解析】（Ⅰ）由圖象可得，在前7分鐘的速度為0.7÷7＝0.1（km/min），故當(dāng)x＝2時(shí)，離宿舍的距離為0.1×2＝0.2（km），在7≤x≤23時(shí)，距離不變，都是0.7km，故當(dāng)x＝23時(shí)，離宿舍的距離為0.7km，在28≤x≤58時(shí)，距離不變，都是1km，故當(dāng)x＝30時(shí)，離宿舍的距離為1km，故答案為：0.2，0.7，1；（Ⅱ）由圖象可得，①食堂到圖書館的距離為1﹣0.7＝0.3（km），故答案為：0.3；②小亮從食堂到圖書館的速度為：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），故答案為：0.06；③小亮從圖書館返回宿舍的速度為：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），故答案為：0.1；④當(dāng)0≤x≤7時(shí)，小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開宿舍的時(shí)間為0.6÷0.1＝6（min），當(dāng)58≤x≤68時(shí)，小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開宿舍的時(shí)間為（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），故答案為：6或62；（Ⅲ）由圖象可得，當(dāng)0≤x≤7時(shí)，y＝0.1x；當(dāng)7＜x≤23時(shí)，y＝0.7；當(dāng)23＜x≤28時(shí)，設(shè)y＝kx+b，23k+b即當(dāng)23＜x≤28時(shí)，y＝0.06x﹣0.68；由上可得，當(dāng)0≤x≤28時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=0.15．（2020?淮安）甲、乙兩地的路程為290千米，一輛汽車早上8：00從甲地出發(fā)，勻速向乙地行駛，途中休息一段時(shí)間后．按原速繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)離甲地路程為240千米時(shí)接到通知，要求中午12：00準(zhǔn)時(shí)到達(dá)乙地．設(shè)汽車出發(fā)x小時(shí)后離甲地的路程為y千米，圖中折線OCDE表示接到通知前y與x之間的函數(shù)關(guān)系．（1）根據(jù)圖象可知，休息前汽車行駛的速度為千米/小時(shí)；（2）求線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）接到通知后，汽車仍按原速行駛能否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)？請說明理由．【分析】（1）觀察圖象即可得出休息前汽車行駛的速度；（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；（3）求出到達(dá)乙地所行駛的時(shí)間即可解答．【解析】（1）由圖象可知，休息前汽車行駛的速度為80千米/小時(shí)；故答案為：80；（2）休息后按原速繼續(xù)前進(jìn)行駛的時(shí)間為：（240﹣80）÷80＝（小時(shí)），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3.5，240），設(shè)線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，則：1.5k+b∴線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為80x﹣40；（3）接到通知后，汽車仍按原速行駛，則全程所需時(shí)間為：290÷80+0.5＝4.125（小時(shí)），12：00﹣8：00＝4（小時(shí)），4.125＞4，所以接到通知后，汽車仍按原速行駛不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)．6．（2020?齊齊哈爾）團(tuán)結(jié)奮戰(zhàn)，眾志成城，齊齊哈爾市組織援助醫(yī)療隊(duì)，分別乘甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，沿同一路線趕往綏芬河．齊齊哈爾距綏芬河的路程為800km，在行駛過程中乙車速度始終保持80km/h，甲車先以一定速度行駛了500km，用時(shí)5h，然后再以乙車的速度行駛，直至到達(dá)綏芬河（加油、休息時(shí)間忽略不計(jì)）．甲、乙兩車離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時(shí)間x（h）的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：（1）甲車