幾種遞推數列通項公式的求法

幾種遞推數列通項公式的求法遞推數列常常是高考命題的熱點之一.所謂遞推數列,是指由遞推公式所確定的數列.由相鄰兩項的關系給出的遞推公式稱為一階遞推公式，由相鄰三項的關系給出的遞推公式稱為二階遞推公式，依次類推.等差數列和等比數列是最基本的遞推數列.遞推數列基本問題之一是由遞推關系求通項公式.下面是常見的遞推數列及其通項公式的求法．一階線性遞推數列求通項問題一階線性遞推數列主要有如下幾種形式：X二x+f(n)TOC\o"1-5"\h\zn+1 n這類遞推數列可通過累加法而求得其通項公式(數列｛f(n)｝可求前n項和).當f(n)為常數時，通過累加法可求得等差數列的通項公式.而當f(n)為等差數列時,則x二x+f(n)為二階等差數列，其通項公式應當為x二an2+bn+c形式，注意與等n+1 n n差數列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是S二an2+bn，其常數項一定為0.nx二g(n)xn+1 n這類遞推數列可通過累乘法而求得其通項公式(數列｛g(n)｝可求前n項積).當g(n)為常數時，用累乘法可求得等比數列的通項公式.x=qx+d(q,d為常數,q豐0,q豐1)；n+1 n這類數列通常可轉化為x+p=q(x+p)，或消去常數轉化為二階遞推式n+1 nx-x二q(x-x).n+2 n+1 n+1 n［例1］已知數列｛x｝中，x二1,x二2x+1(n>2)，求｛x｝的通項公式.n 1 n n-1 n［解析］解法一.轉化為x+P=q(x+P)型遞推數列.n+1 n?/x二2x+1(n>2),?°?x+1二2(x+1)(n>2),又x+1二2，故數列｛x+1｝n n-1 n n-1 1 n是首項為2,公比為2的等比數列..??x+1=2n，即x=2n—1.nn解法二.轉化為x-x=q(x-x)型遞推數列.n+2 n+1 n+1 nx=2x+l(n三2) ① ?x=2x+1 ②nn-1 n+1 n②一①，得x—x=2(x—x)(n三2)，故｛x—x｝是首項為x—x=2，n+1 n n n-1 n+1 n 21公比為2的等比數列，即x—x=22n-1=2n，再用累加法得x=2n—1.n+1n n

解法三．用迭代法．x=2x+1=2(2x+1)+1=22x+2+1=2n-1x+2n—2+2n—3+?…2+1=2n—1?n n—1 n—2 n—2 1當然,此題也可用歸納猜想法求之，但要用數學歸納法證明．1［例2］已知函數f(x)=—2x+2(^<x<1)的反函數為y二g(x),x二1,x二g(x),2121x二g(x)，…,x二g(x)，…,求數列｛x｝的通項公式.3 2 n n—1 n11［解析］由已知得g(x)二一Ax+1(0<x<1)，則x二1,x二一懇x+1(n>2).2 1n2n—1132令x+p二—(x+p)二，則x二—x-p?比較系數，得p.n2n—1 n2n—123122211即有x一-——(x——)(n>2)數列｛x一｝是以x一=-為首項，—~為n3 2n—1 3 n3 1 3 3 2211112公比的等比數列，?x一=—(一)n-1，故x=(一)n-1+?n3 3 2 n3 2 3［評析］此題亦可采用歸納猜想得出通項公式，而后用數學歸納法證明之．(4)x=-^(c,d為非零常數)；n+1x+dnTOC\o"1-5"\h\zd1 1 1若取倒數，得 =——+—,令y=，從而轉化為(I)型而求之.xcxc nxn+1 n n(5)x=qx+dn(q,d為非零常數,q豐1,d豐1)；n+1 nxqx1 x這類數列可變換成/+1=□n+，令y=n，則轉化為(1)型一階線性遞推公式.dn+1ddndndn［例3］設數列｛x｝滿足：x=1,x=3x+2n(neN*)?求數列｛x｝的通項公式.n 1 n+1 n nx3x1 3x［解析］x=3x+2n，兩邊同除以2n+1，得;=七^+?令y=，n+1 n 2n+122n2 n22n1 3 3 7則有y=Qy+?于是，得y+1=(y+1)，…數列｛歹+】｝是以首項為丁+1=，n+12n2 n+1 2n n 4 43 73 73 1公比為懇的等比數列，故y+1=了ETn-1，即y=Q^-)n-1—1，從而x=703n-2—Q2n+1?n42 n42 n 3［例4］設x為常數，且x=3n-1—2x(neN*),求數列｛x｝的通項公式.=3n—1—2x=3n—1—2xn—1代入，可解出p=—5［解析］設x+pD3n=—2(x+pD3n-1),用xn n—1 n3n 3 32?｛xn一H｝是以公比為-2,首項為3一5=1-2x0一F=?一2x0的等比數列.

-—2x)(—2)n-1+3=3n—(—1)n血+(—1)n衛(wèi)”Qx(ngN*).TOC\o"1-5"\h\z5 0 5 5 0(6)x=cxp(x>0,c>0,p>0,p豐1)n+1 nn這類數列可取對數得lgx=lgx+lgc,從而轉化為等差數列型遞推數列.n+1 n可轉化為等差、等比數列或一些特殊數列的二階遞推數列5523n+1 3n［例5］設數列｛x｝滿足：x=1,x=一，x=x—x(n3n+1 3n1 23 n+2｛x｝的通項公式.n—3—3x(ngN*),可得2［解析］由x=xn+2 3n+1 3n222x—x=x—x=(x—x)(ngN*).n+2n+13n+13n3n+1n且y且y二x—x= —1=,1 2 1 3 3TOC\o"1-5"\h\z設y=x—xU｛y｝是公比為2的等比數列，n n+1 n n 322故y=(k)n(ngN*).即x—x=(k)nT(n>2).用累加法得n3nn—1 3222x—x=(x—x)+(x—x )+—?+(x—x)=()n—1+()n一2+—?+ ,或n1 n n—1 n—1 n—2 2 1 3 3 3x=(x—x)+(x —x)+?+(x—x)+xnn n—1 n—1 n—2 2 1 1=(—)n—1+(—)n—2+??.+—+13 31-(3)n 2=芥=3［1—(-)n)j1-2 33［例6］在數列｛x｝中，已知x=x=1,x=x+x(ngN*),求數列｛x｝的通n 12 n+2n+1n n項公式．［解析］可用換元法將其轉化為一階線性遞推數列令y=x-ax，使數列｛y｝是以a為公比的等比數列(a,a待定).n n+1 1n n 2 12即x—ax=a(x—ax),?°?x =(a+a)x—aax.對照已給遞推式,n+2 1 n+1 2 n+1 1n n+2 1 2 n+1 1 2n有a+a=1,aa=—1,即a、a萬^^x2—x—1=0的兩個實根.121212從而a=匕5,a=仝^a=―,a=匕5122212221-J5— Xn1-451+島— 1-J5— Xn1-451+島— Xn或xn+2 xn+1=^T~(xn+1 2由式①得xn+1n；由式②得1-■<5— x2nxn+1x- x_ (xn+2 2 n+1 2 n+1 2n］．)n一n］．)n一2得x _丄［J心n、；5［解析］由X二x-xn+2n+1n①，得x_x-xn+3 n+2 n+1②．消去x，n+1［例7］在數列｛x｝中，已知x_x_1,x_x-x(neN*),求x.1 2 n+2 n+1 n 100式②+式①，得x _-x，從而有x _-x _x??：數列｛x｝是以6為其周期.故TOC\o"1-5"\h\zn+3 n n+6 n+3 n nx=x=-1.1004特殊的n階遞推數列［例8］已知數列｛x｝滿足x_1,x_x+2x +3x +???+ (n- 1) (i> 2),求n 1 n1 2 3 n-1｛x｝的通項公式.n［解析］丁x_x+2x+3x+ +(n-1)x(n>2) ①n1 2 3 n-1?°?x_x+2x+3x+ +(n-2)x(n>3) ②n-11 2 3 n-2x②一①，得x_nx(n>3).?一^_n(n>3),故有n n-1 xn-1xx—n—_n,—n-1xn-1x將這幾個式子累乘，得f_n(n—1)(n—2)…3,或x__n(n—1)(n—2)…3x?x n 22「1乂x「1乂x_1,x_x_1,故x1 2 1 nn!(n_1),(n>2).求數列｛x｝的同項公式.n［解析］由x+xH Fx=n2x①，得x+xH Fx=(n-1)2x(n>2)②.12 n n 12 n-1 n-1式①一式②，得x=n2x—(n—1)2x，或(n—1)2x =n2x—x=(n2—1)x，故有n n n-1 n-1 nn nx n—x n—xn—1n—1n+1(n>2).x n—1 n—=x n—1 n—= x nF1n—1xn—2n1= xnn—2x n一3―n2=x n一1n—3x n一4,n3=x n2n4x2x 2口 2口 1/c、將上面幾個式子累乘，得f