有理標準形及其應用

遼東學院教案紙課程：高等代數(shù)第8.3.PAGE19頁§3有理標準形及其應用通過教學，使學生基本掌握矩陣相似的有理標準形，熟悉最小多項式的概念（含求解）及其相應的Frobenius定理．從本節(jié)開始，同學們將學習矩陣相似標準形．這一節(jié)先講有理標準形及其在求最小多項式中的應用3.1有理標準形設F0=∈Mt(F)，其中，叫做數(shù)域F上的t階Frobenius矩陣．由上節(jié)習題第4題知道F0的特征多項式為．因此也稱F0為多項式f(l)的友矩陣．因此，由推論8.2.2，我們不難陳述F上的n階矩陣的有理標準形．設是A的不變因子，且dk+i(l)的次數(shù)≥1，dk+i(l)∈F[l]，i=1，2，…，n－k，則由dj(l)|dj+1(l)可知≤r2≤…≤rn－k，．取F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n－k分別是dk+1(l)，dk+2(l)，…，dn(l)的友矩陣，則Fi分別是ri階矩陣，i=1，2，…，n－k．定有理標準形，或Frobenius標準形，而Fi叫做FA的Frobenius子塊，i=1,2,…,n－k．定理8.3.1數(shù)域F上的任意n階矩陣A(在F上)必相似于它的有理標準形FA．證由推論8.2.2，只要證A與FA有相同的不變因子．任取A的不變因子dk+i(l)，1≤i≤n－k，設．考慮dk+i(l)的友矩陣Fi，則Fi的ri階行列式因子為||=dk+i(l)．且其ri－1階行列式因子=1．于是由定理8.2.1，存在ri階可逆l－陣Pi(l)，Qi(l)，使Pi(l)()Qi(l)=diag(1，…，1，dk+i(l))，1≤i≤n－k．因此diag(P1(l)，…，Pn－k(l))(lIn－FA)diag(Q1(l)，…，Qn－k(l))=diag(1，…，1，dk+1(l)，…，1，…，1，dn(l))．顯然可用第一種初等矩陣Pij作行及列的對換，把上式右邊矩陣對角線上的1都調(diào)到前面k個位置上．因此，lIn－FA與對角矩陣diag(1，…，1，dk+1(l)，…，，dn(l))相抵，所以A~FA．例1若4階矩陣A的不變因子是1,1,l+1,(l+1)3=l3+3l2+3l+1，則A的有理標準形是由兩個Frobenius塊構成的塊對角陣：FA=．例2求的有理標準形．解經(jīng)計算，A的不變因子為1，1，(l－1)(l2+4l+2)=l3+3l22l2,所以A的有理標準形是一個Frobenius塊所成的3階矩陣，于是A在有理數(shù)域上相似于FA．矩陣的有理標準形FA的優(yōu)點是，它不僅在理論上是存在的，而且總可以具體求出它．因此，無論在應用上還是在理論推導中，它都有較大的價值，特別是一些用別的方法難以證明的結(jié)論，有時卻可用它來解決．3.2最小多項式定義2設A∈Mn(F)，多項式m(l)∈F[l]的首項系數(shù)為1．若m(l)是以A為根的、且次數(shù)最低的多項式中，則稱m(l)為矩陣A的最小多項式．命題8.3.1n階矩陣A的最小多項式存在且唯一．證由自然數(shù)的最小數(shù)原理及HamiltonCayley定理知道最小多項式的存在性成立．設m1(l)、m2(l)同是矩陣A的最小多項式，若m1(l)≠m2(l)，則(l)=m1(l)－m2(l)≠0．由定義，m1(l)與m2(l)是同次的首一多項式，則deg(l)＜degm1(l)．又(A)=m1(A)－m2(A)=0，這說明m1(l)不是A的最小多項式，與假設矛盾．因此，m1(l)=m2(l)，唯一性得證．今后，將A的最小多項式記作mA(l)．利用帶余除法定理易證命題8.3.2A的最小多項式整除任一個以推論8.3.1任一矩陣的最小多項式必定整除它的特征多項式．推論表明，矩陣的最小多項式的次數(shù)不會超過它的特征多項式，而最小多項式，象特征多項式那樣，具有“以A為根”的性質(zhì)．這就使得一些用HamiltonCayley定理解決的矩陣問題，在改用最小多項式解決時更為方便．下面考慮矩陣最小多項式的尋求．命題8.3.3相似矩陣有相同的最小多項式．證設B=P－1AP，則mA(B)=P－1mA(A)P=0．于是由命題8.3.2知道m(xù)B(l)|mA(l)．同理可證mA(l)|mB(l)．又mA(l)與mB(l)都是首一多項式，所以mA(l)=mB(l)．命題8.3.4設A=diag(A1，A2)，其中Ai∈(F)，i=1，2，則mA(l)=[(l)，(l)]．證由mA(A)=0知道．所以mA(Ai)=0，i=1，2．故由命題8.3.2知道(i=1，2)．(Ai)=0，i=1，2．于是．再由命題8.3.2知道m(xù)A(l)|(l)．因此，mA(l)=[，(l)]．應用歸納法，則得命題8.3.5s，則mA(l)=[，(l)，…，(l)]．命題8.3.6證用反證法．若l0是矩陣A的特征值，而不是A的最小多項式的根，則(mA(l)，l－l0)=1．因而存在多項式u(l)，v(l)，使得u(l)mA(l)+v(l)(l－l0)=1，從而有u(A)mA(A)+v(A)(A－l0In)=I注意到mA(A)=0，則v(A)(A－l0In)=In．兩邊取行列式可得|A－l0In|≠0，與l0是A的特征值相矛盾．所以，l0必定是定理8.3.2(Frobenius)設數(shù)域F上的n階矩陣A的特征多項式與最小多項式分別是|lIn－A|=fA(l)與mA(l)，則1)mA(l)=dn(l)，這里dn(l)是A的最后一個不變因子；2)fA(l)在F上的任一不可約因式都是mA(l)的因式．證先證1).因為A在F上相似于它的有理標準形FA=diag(F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n－k)，mA(l)．另一方面，F(xiàn)A的最小多項式是F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n－k的最小多項式的最小公倍式，且由第一章§5例2知道Fi的最小多項式是dk+i(l)，再注意到dk+i(l)|dk+i+1(l)，i=1，…，n－k－1，所以F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n－k的最小多項式的最小公倍式就是dn(l)，故mA(l)=dn(l)．再證2).設fA(l)在F上的標準分解式為，(1)其中pi(l)在F上皆不可約，i=1，2，…，s．但fA(l)=dk+1(l)dk+2(l)…dn(l)，(2)這里dk+i(l)是A的非常數(shù)不變因子，i=1，2，…n－k．由(1)，(2)可知，任一pi(l)至少要整除某一dk+j(l)，1≤i≤s，1≤j≤n－k，但dk+j(l)|dn(l)，j=1，…，n－k，故pi(l)|dn(l)．推論A的特征多項式與最小多項式相等的充分且必要條件是lIn－A的第n－1個行列式因子Dn－1(l)=1．推論8.3.3A的任一特征根必是A的最小多項式證因為fA(l)在復數(shù)域上的不可約因式必為l－li，i=1，2，…，n，而由定理8.3.2之2),(l－li)|mA(l)，故mA(li)=0,i=1，2，…，n．