空間幾何體（解讀）-2020年高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)學(xué)與練

專題11空間幾何體

考情解讀

1.以選擇、填空題形式考查空間位置關(guān)系的判斷，及文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，難度適

中；

2.以熟悉的幾何體為背景，考查多面體或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積計(jì)算，間接考查空間位置關(guān)

系的判斷及轉(zhuǎn)化思想等，常以三視圖形式給出幾何體，輔以考查識(shí)圖、用圖能力及空間想象能力，難度中

等.

3.幾何體的三視圖與表（側(cè)）面積、體積計(jì)算結(jié)合；

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.柱體、錐體、臺(tái)體、球的結(jié)構(gòu)特征

名稱幾何特征

①有兩個(gè)面互相平行（底面可以是任意多邊形）；

棱柱

②其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行

①有一個(gè)面是多邊形（底面）；

棱錐

②其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形.

①底面互相平行；

棱臺(tái)

②所有側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)（即原棱錐的頂點(diǎn)）

①有兩個(gè)互相平行的圓面（底面）；

圓柱

②有一個(gè)側(cè)面是曲面（母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的），且母線與底面垂直

①底面互相平行；

圓臺(tái)

②有一個(gè)側(cè)面是曲面，可以看成母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的

①有一個(gè)曲面是球面；

球②有一個(gè)球心和一條半徑長(zhǎng)R.球是一個(gè)幾何體（包括內(nèi)部），可以看成半圓以它

的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的

2.柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積與體積

名稱體積表面積

棱柱V板柱=S〃（5為底面積，〃為高）S棱柱=2S底面+S惻曲

1

棱錐V梭錐=§S〃（S為底面積，〃為高）S棱惟=S底而+S側(cè)面

“馬（S+每+￡）（5、S為底面積，

棱臺(tái)S枝臺(tái)=5上底+S下底+S惻面

。為高）

S圓柱=2兀日+2兀r2（r為底面半

圓柱V圓柱=7T『h（r為底面半徑，h為高）

徑，1為母線長(zhǎng)）

S圓錐=兀日+兀1*2（1?為底面半徑，

圓錐V圓錐=1兀自10為底面半徑，h為高）

1為母線長(zhǎng)）

V圓臺(tái)=?兀h（/+rf+產(chǎn)）（「、-為底面半

圓臺(tái)s圓臺(tái)=兀0*+/）1+兀/+兀/

徑，h為高）

4

S球=47tR2（R為球的半徑）

球V球=1兀R3（R為球的半徑）

3.空間幾何體的三視圖和直觀圖

（1）空間幾何體的三視圖

三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投

影圍成的平面圖形，三視圖的畫法規(guī)則為“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等

（2）空間幾何體的直觀圖

空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測(cè)畫法.用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45。（或

135°）,平行長(zhǎng)不變,垂直長(zhǎng)減半

4.幾何體沿表面某兩點(diǎn)的最短距離問題一般用展開圖解決；不規(guī)則幾何體求體積一般用割補(bǔ)法和等積

法求解；三視圖問題要特別留意各種視圖與觀察者的相對(duì)位置關(guān)系.

【誤區(qū)警示】

1.識(shí)讀三視圖時(shí)，要特別注意觀察者的方位與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系和虛實(shí)線.

2.注意復(fù)合體的表面積計(jì)算，特別是一個(gè)幾何體切割去一部分后剩余部分的表面積計(jì)算.要弄清增加

和減少的部分.

3.展開與折疊、卷起問題中，要注意平面圖形與直觀圖中幾何量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

高頻考點(diǎn)突破

高頻考點(diǎn)一三視圖、直觀圖

例1.（2018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為

側(cè)（左）視圖

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】由三視圖可得四棱錐P-ABCD,在四棱錐P-ABCD中，PD=2,AD=2,CD=2,AB=1,由勾股定

理可知：PA=2@,PC=2^,PB=3,BC=6則在四棱錐中，直角三角形有：△PAD,APCD,APAB共三個(gè)，故選

C?

【變式探究】【2017課標(biāo)1】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角

三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯

形的面枳之和為

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩

個(gè)相同的梯形，則這些梯形的面積之和為2x（2+4）x2xg=12,故選B.

【變式探究】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

24萬(wàn)(C)28乃(D)32萬(wàn)

【答案】C

【解析】由題意可知，圓柱的側(cè)面積為S=2兀?2?4=16兀，圓錐的側(cè)面積為邑=冗?2?4=8兀，圓柱

的底面面積為5=兀-22=4兀，故該幾何體的表面積為S=H+S?+§3=28兀，故選C.

【變式探究】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

俯視圖

A.2+小B.4+^5C.2+2小D.5

【解析】該三棱錐的直觀圖如圖所示：過。作交BC于E,連接AE,則BC=2,EC=1,

AD=]fED=2,

C

111i

S表=S"Co+(S“C￡>+SaA8D+S“BC=2X2x2+2Xqr5xl+2xqr5xl+2X2x7r5=2+24r5.

【答案】c

高頻考點(diǎn)二幾何體的表面積

例2.(2019?高考全國(guó)卷HI)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體

ABCO-AIBIGG挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,H分別為所

在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,441=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cn/.不考慮打印損耗，制作該模型

所需原料的質(zhì)量為_______g.

【解析】由題易得長(zhǎng)方體ABCD-A^QDi的體積為6x6x4=144(cm3),四邊形EFGH為平行四邊形，

如圖所示，連接GE,HF,易知四邊形EFG”的面積為矩形8CG所面積的一半，即］x6x4=I2(cn?),所以

V3x3x12=12(cm3),所以該模型的體積為144-12=132(cm',所以制作該模型所需原料的質(zhì)量

為132x0.9=118.8(g).

【答案】118.8

【舉一反三】（2018?高考全國(guó)卷II）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為W，SA與圓錐

底面所成角為45。.若ASAB的面積為5匹，則該圓錐的側(cè)面積為.

1

【解析】如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S',連接AS',SS.AS48的面積為了SAS8sin/4S8=

2-SA2-yj1-cos2ZA5B=^iP-SA2=5y[75,所以副2=80,54=4小.因?yàn)镾A與底面所成的角為45。，所以/

巫I

SAS=45。，忐=5490$45。=44*與~=2回.所以底面周長(zhǎng)/=2TTAS，=45M所以圓錐的側(cè)面積為辦4小

x4-\/7O7r=4（）\/5兀

【答案】406兀

【變式探究】（1）已知某幾何體是一個(gè)平面將一正方體截去一部分后所得，該幾何體的三視圖如圖所示,

則該幾何體的表面積為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.20+2小B.18+2小

C.18+小D.20+小

（2）己知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是（）

C.2D.4

【解析】(1)如圖所示，是棱長(zhǎng)為2的正方體，根據(jù)三視圖，還原幾何體的直觀圖為圖

中多面體AB8-4CB,其表面積為S—,+S正方形人皿4+S正方形ocm+S+S+

AABA1A^1C1DI

亞廠

SA/+SA.=4+4+4+2+2+2+4、8=18+2仍，故選B.

△oCC|△A]25C]

(2)由三視圖知，該幾何體為圓錐挖掉%圓臺(tái)后剩余部分，其表面積S&=Z兀><22+和><12+方1

1(\_\(l+2)x小397t「

+]x[4x2兀x1Jx2+2x2=~+3審.故選A.

【答案】⑴B(2)A

【變式探究】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

俯視圖

A.37tB.47tC.2兀+4D.3無+4

【解析】由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1,高為2,則表面積為:

1、1

S=2x勿xl2+，x2兀xlx2+2x2

=兀+2兀+4=3兀+4.

【答案】D

高頻考點(diǎn)三幾何體的體積

例3.（2018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為

4

【答案】-

3

【解析】由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長(zhǎng)等

14

于&,,所以該多面體的體積為2乂-、1＞＜（物2=3

【變式探究】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

左視圖

1212

A.]+兀B.3+兀C.3+2TTD.3+2兀

V=2TTX12X2+3X^2X1x2)x1=n+3?選A.

【解析】這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體,

【答案】A

【變式探究】已知一所有棱長(zhǎng)都是娘的三棱錐，則該三棱錐的體積為.

【解析】記所有棱長(zhǎng)都是啦的三楂錐為P-A8C,如圖所示，取的中點(diǎn)O,連接AO,PD,作POL

亞l型11^3

AD于點(diǎn)O,則POL平面ABC,且OP=33，故三棱錐P-ABC的體積丫=秒”叱0。=方＜4

X（巾）2x半=3.

高頻考點(diǎn)四與球有關(guān)的切、接問題

例4.（2019?高考全國(guó)卷I）已知三棱錐P-A2C的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是

邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是外，48的中點(diǎn)，NCEF=90。,則球。的體積為（）

A.8、尼兀B.4、歷兀

C.2y[6nD.y/6n

【答案】D

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別為以，A8的中點(diǎn)，所以EF//PB,

因?yàn)镹CEF=90。，所以EF_LCE,所以尸8J_CE.

取AC的中點(diǎn)。，連接BO,PD,易證AC,平面BOP,

所以P8_L4C,又4CHCE=C,AC,CEu平面/MC,所以P8_L平面用C,

所以P8J_%，PBA.PC,因?yàn)镠1=PB=PC,AABC為正三角形，

所以以，尸C,即附，PB,PC兩兩垂宜，將三棱錐P-A8C放在正方體中如圖所示.因?yàn)?8=2,所

以該正方體的棱長(zhǎng)為啦，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為加，所以三棱錐P-48c的外接球的半徑/?=乎，所

以球O的體積V=3TI1^=3^2~）=,兀，故選D.

【舉一反三】（2018?高考全國(guó)卷HI）設(shè)4,B,C,O是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，4ABe為等

邊三角形且其面積為9V5,則三棱錐。-A8C體積的最大值為（）

A.12小B.18^/3

C.24小D.54小

【答案】B

【解析】設(shè)等邊三角形A8C的邊長(zhǎng)為x,則云In60。=9V5,得x=6.設(shè)△/18c的外接圓半徑為廣，則

6_,----------=-

2廠=而喬，解得r=2小，所以球心到AASC所在平面的距離1=442—（2?。?=2,則點(diǎn)。到平面ABC的

11

最大距離4=d+4=6,所以三棱錐O-ABC體積的最大值%^=會(huì)“g<6=方<州^6=184.

【變式探究】（2017?高考全國(guó)卷III）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球

面上，則該圓柱的體積為（）

3兀

A.兀B.4

n7C

C.2D.4

【答案】B

,,ay333兀

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,則J=12—1另=*所以，圓柱的體積1/=a乂1=彳，故選B.

【變式探究】如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面4B8為菱形，底面ABC。，。為對(duì)角線AC與8。

71

的交點(diǎn)，若PB=1,ZAPB=ZBAD=3,則三棱錐P-AOB的外接球的體積是.

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以ACLBD,BPOALOB,因?yàn)镻8J_平面48CQ,所以PBJ_AO,

乂08np8=8,所以AO_L平面P80,所以AO_LPO,即△粗。是以以為斜邊的直角三角形，因?yàn)?/p>

所以△B48是以PA為斜邊的直角三角形，所以三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA,因?yàn)镻B=1,NAPB

兀47t

=31所以以=2,所以三棱錐P-AO2的外接球的半徑為1,所以三棱錐尸-498的外接球的體積為T.

4兀

【答案】T

【舉一反三】在四棱錐P-ABCO中，四邊形A5CO是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PO_L底面ABC￡>,且P￡>=

2a,若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為.

【解析】方法一：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐R4BCO時(shí)半徑最大，設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為0,

1

=

半徑為r,連接0AtOB,OC,OD,0P,則VP-ABCDVO-ABCD^VO-PAD^~VO-PAB^VO-PBC^VO-PCDF即3X2〃X2〃X2〃

=Wx（4/+2x2x2〃x2a+2x，x2ax2W〃）xr,解得r=（2—啦）a

方法二：易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P-A5CD,即與四棱錐P-A8C。各個(gè)面均相切時(shí)，球的半徑最大，作出

11

相切時(shí)的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的半徑為r,則2x2ax2a=永（2"+2“+2正小廠，解得

r=（2—&）a.

【答案】（2一啦）a

真題感悟

1.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,i^ABC

是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,P分別是孫，42的中點(diǎn)，NCEF=90。,則球。的體積為

A.8A/6KB.4^671

C.2指兀D.&兀

【答案】D

【解析】解法一：/%=03=「。,"3。為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，尸-48。為正三棱錐，

PBLAC,又E,尸分別為PA，AB的中點(diǎn)，.?.￡：/〃*3,；.E/LAC,又EFLCE,

CEAC=C,二EF'J?平面PAC,...PB，平面PAC,r.ZA依=90°,.?./M=PB=PC=血，

二尸―ABC為正方體的一部分，2/?=，2+2+2=而即R=逅，,V=&兀/?3=士"述=倔，

2338

故選D.

解法二：設(shè)PA=PB=PC=2x,E,尸分別為PAA8的中點(diǎn)，.?.階〃尸B.且==

2

△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，=6，

XZC￡F=90°,CE=\l3-x2,AE=-PA=x,

2

AA￡C中，由余弦定理可得cosZEAC=『+"（3一『）

2x2xx

作POLAC于。，PA=PC,\。為AC的中點(diǎn)，cosNE4C=——=——,

PA2x

%2+4-3+%2_1

4x2x

2%2+1=2,爐=—,x=—，PA=PB=PC=,

22

又AB=BC=AC=2,.?.PA,PB,PC兩兩垂直，.?.2A=6+2+2=指，

2

：.V=—nR3=—7ix=y/6n>故選D.

338

2.【2019年高考浙江卷】祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“基勢(shì)既同，則積不容異”稱

為祖瞄原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=助，其中S是柱體的底面積，/?是柱體的高.若某

柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：co?）是

俯視圖

A.158B.162

C.182D.324

【答案】B

【解析】由三視圖得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4,

2+64+6]4

卜底為6,高為3,另一個(gè)的上底為2,卜底為6,高為3,則該棱柱的體枳為------x3+------x3x6=162.

22)

故選B.

3.【2019年高考全國(guó)HI卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)

方體ABC。—44GA挖去四棱錐。一EFG”后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,”分

別為所在棱的中點(diǎn)，AB^BC=6cm,AA]=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cn?,不考慮打印損耗,

制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.

【答案】118.8

19

【解析】由題意得，S^^EFGH=4x6-4x-x2x3=12cm-,

1%

3

?.?四棱錐o-EFG”的高為3cm,VnVZFFC\jHn=-x12x3=12cm.

又長(zhǎng)方體ABCD-AgGA的體積為K=4x6x6=144cm\

所以該模型體積為V=%—=144-12=132cm3,

其質(zhì)量為0.9xl32=118.8g.

4.【2019年高考北京卷理數(shù)】某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如

果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為.

【答案】40

【解析】如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱MPDA-NQC.B,

之后余下的幾何體，

則幾何體的體積丫=43-gx(2+4)x2x4=40.

5.【2019年高考天津卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為正的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為行.若圓柱的一

個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為

71

【答案】-

4

【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為0的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為逐，借助勾股定理，可知四棱錐

的高為J1斤=2.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，?個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的

Ir］、2

中心，故圓柱的高為1,圓柱的底面半徑為一，故圓柱的體積為兀xl=-.

2l2j4

6.【2019年高考江蘇卷】如圖，長(zhǎng)方體ABCD—44G。的體積是120,E為CC；的中點(diǎn)，則三棱錐

E-BCD的體積是▲.

【答案】10

【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABQD-A4G。的體積為120,所以AB/CCG=120,

因?yàn)镋為CG的中點(diǎn)，所以CE=gcq,

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CG，底面ABC。，

所以CE是三棱錐E—BCD的底面BCD上的高,

所以三棱錐E—BCD的體積V=!X!A8BC-CE==LXLAB8C-，CG=—X120=10.

3232212

1.（2018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為

C.3D.4

【答案】C

【解析】由三視圖可得四棱錐P-ABCD，在四棱錐P-ABCD中，PD=2,AD=2,CD=2,AB=1,由勾股定

理可知：PA=2S，PC=2",PB=3,BC=6則在四棱錐中，直角三角形有：APAD.AFCDAPAB共三個(gè)，故選

C?

2.（2018年全國(guó)HI卷）中國(guó)古建筑借助樟卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫樟頭，凹進(jìn)部分叫

卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是樣頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則

咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

【解析】觀擦圖形圖可知，俯視圖為,故答案為A.

3.（2018年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cn?）是

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱，高為2,底面為直角梯形，上下底分別為1,2,梯

形的高為2,因此幾何體的體積為;x（1+2）x2x2=6,選C.

4.（2018年浙江卷）已知四棱錐S-A8C。的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段上的點(diǎn)（不

含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為仇，SE與平面A8C。所成的角為仇，二面角S-A8-C的平面角為仇，則

A.仇B(yǎng).他夠仇C.仇S仇D.02<6?3<6?|

【答案】D

【解析】設(shè)。為正方形A8CD的中心，M為48中點(diǎn)，過E作BC的平行線EE交CD于F,過。作

CW垂直E尸于M連接SO,SN,OM,則SO垂直于底面A8CD,垂直于A8,

因此/SEN=0p4SEO=02,ZSMO=03,

，一SNSNSOSO

從iTiJtan。1=—=----,tan0=—,tan0,=----,

1ENOM29EO30M

因?yàn)镾N2SO.EO>0M,所以tan%>tan->tan%即久2%2%選D.

5.（2018年全國(guó)I卷）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此

正方體所得截面面積的最大值為

342/3啦百

----D.>L/?

4---------342

【答案】A

【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體ABCD-A]B[C]D]中，

平面ABQ1與線AA]A[B],AiDi所成的角是相等的，

所以平面ABQi與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面CRD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面AB】Di與C]BD中間的，

且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為上，

2

所以其面積為S=6x。?（導(dǎo)=苧，故選A.

6.（2018年全國(guó)I卷）某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視

圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最

短路徑的長(zhǎng)度為

B

A.2所B.2小

C.3D.2

【答案】B

【解析】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬,

圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為其3=2而，

故選B.

7.（2018年全國(guó)HI卷）設(shè)A.B.C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，AABC為等邊三角形且

其面積為9\5，則三棱錐D-ABC體積的最大值為

A.12布B.18#C.24下D.54有

【答案】B

【解析】如圖所示，

點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，

當(dāng)DM1平面ABC時(shí)，三棱錐D-ABC體積最大

此時(shí)，OD=OB=R=4

v

SAABC=yAB-=9^

???AB=6,

???點(diǎn)M為三角形ABC的重心

2

???BM；BE-2由

??-Rt△ABC中，有OM=JOB2-BM2=2

.??DM=OD+OM=4+2=6

??（VD.ABC）?-^9^*6018^

故選B.

8.（2018年全國(guó)U卷）在長(zhǎng)方體ABCD-A]BCDi中，AB=BC=1.AA「祗，則異面直線AD1與DB1所

成角的余弦值為

1而有也

A.-B.—C.—D.—

5652

【答案】C

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD|為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

口（0,0,0）人（1,0,0）3]（1,1,我21（0,0,3）,所以疝1=（-1,0,?。?=（1,1，揚(yáng)，因?yàn)?/p>

cos<AD.,DB1>~=所以異面直線AD】與DBi所成角的余弦值為L(zhǎng),選C.

|附|叫2人小55

9.（2018年天津卷）已知正方體ABCD-AiBgiDi的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外，該正方體其余各面的中

心分別為點(diǎn)E，F(xiàn),G,H,M（如圖），則四棱錐M-EFGH的體積為.

【答案】-

12

【解析】由題意可得，底面四邊形EFGH為邊長(zhǎng)為9的正方形，其面積SEFGH=（￥）2=；

頂點(diǎn)M5U底面四邊形EFGH的距離為d=L

2

由四棱錐的體積公式可得：VM_EFGH=^xlxl=l.

10.（2018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為

（第10題）

4

【答案】—

3

【解析】由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長(zhǎng)等

I4

于亞,，所以該多面體的體積為2'-乂1“物2=1

11.（2018年全國(guó)II卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為ISA與圓錐底面所成

8

角為45。，若aSAB的面積為5折，則該圓錐的側(cè)面積為.

【答案】40同

【解析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)

面積公式求結(jié)果.因?yàn)槟妇€5』，S3所成角的余弦值為，所以母線幺，SB所成角的正弦值為巨，因?yàn)锳SAB

28

的面積為5\石，設(shè)母線長(zhǎng)為所以三xNx巨=5丫石二尸=80,因?yàn)镾A與圓錐底面所成角為45。，所以底

2Q

面半徑為2cosm=因此圓錐的側(cè)面積為E=-^nl2=40y,In.

1.12017課標(biāo)1,理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角

形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的

面積之和為

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如卜圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩

個(gè)相同的梯形，則這些梯形的面積之和為2x（2+4）x2xg=12,故選B.

2.12017課標(biāo)H,理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該

幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體?積為（）

【答案】B

【解析】由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱，其體積

K=?x32x4=364，上半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為6的圓柱的一半，其體積

%=；x（萬(wàn)x3?x6）=27萬(wàn)，故該組合體的體積V=K+%=36〃+27〃=63〃.故選B.

3.【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

（A）3夜（B）20（C）272（D）2

【答案】B

【解析】幾何體是四棱錐P-ABC。，如圖.

最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為補(bǔ)成的正方體的體對(duì)角線，即該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度/=在萬(wàn)方=26，故選

B.

4.12017山東，理13】由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)《圓柱體構(gòu)成的兒何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體

4

積為一.

71

【答案】2+-

【解析】由三視圖可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,I,圓柱的高為1,底面圓半徑為1,所以

2

_-CYYC兀X]1

V—2xlxl+2x----x1=2_H—7T?

42

5.【2017課標(biāo)1,理16］如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形A8C的中

心為0.0、石、尸為圓0上的點(diǎn)，&DBC,△EC4,△項(xiàng)8分別是以BC,CA,A8為底邊的等腰三角形.沿虛

線剪開后，分別以BC,CA,AB為折