§2指數(shù)映射與測地坐標(biāo)系

作者：王幼寧作者：王幼寧--#-L=JLds=JLJ[p'(s)]2+[W'(s)]2GdsNJL|p'(s)|ds>JLp'(s)ds=p0.上式右端等于從P點(diǎn)出發(fā)而到達(dá)Q點(diǎn)的測地射線段的長度；且當(dāng)?shù)忍柍闪r(shí)，p'(s)三1,W'(s)三0,CPQ也只能是測地射線段. □曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何與平面幾何的局部差異，在一點(diǎn)鄰近可以通過測地圓周和測地圓盤的行為而做出反映，并且可用該點(diǎn)處的Gauss曲率來刻畫(參見習(xí)題1)．四．測地凸域下面進(jìn)一步考慮最短線的局部存在范圍．定義3在曲面S上給定開區(qū)域U．若對U上的任意兩點(diǎn)P、Q，存在以之為端點(diǎn)的唯一一條測地線段CPQ，使CPQ成為在S上連接兩點(diǎn)P、Q的最短連線段，并且使CPQuU，則稱區(qū)域U為S上的一個(gè)測地凸域.例3①在歐氏平面上，測地凸域就是凸域．球面上的測地凸域，最大者為開半球面．在圓柱面上，測地圓盤為測地凸域的充要條件為其測地半徑小于圓柱面正截圓周周長的四分之一． □下面在測地圓盤中考察測地凸域的存在性．注意，當(dāng)測地半徑足夠小時(shí)，Liouville公式(1.2)和測地極坐標(biāo)性質(zhì)說明，正向測地圓周的測地曲率恒正；故由此可以直觀感覺到，測地半徑的大小，能夠影響與測地圓周相切的測地線在切點(diǎn)附近的行為.具體的例子可以考察球面.一般的，有下列結(jié)論.弓1理2設(shè)曲面S上的以P為原點(diǎn)的測地極坐標(biāo)系(p,V)在測地閉圓盤D(P,p1)有意義.則3p0e(0,pp,使對于V3e(0,p0),當(dāng)測地線C切于測地圓周S1(P,3)上的點(diǎn)Q時(shí)，C在切點(diǎn)Q附近除切點(diǎn)以外的部分都嚴(yán)格地落在測地閉圓盤D(P,3)之外.

證明在以P為原點(diǎn)的測地極坐標(biāo)系(p,明下，測地極坐標(biāo)性質(zhì)說明存在poe(0,p1)，使在測地閉圓盤D(P,p0)-{P}之內(nèi)恒成立(4G)p>￡0=const.>0.此時(shí)，對于V3G(0,p0),設(shè)弧長s參數(shù)化測地線C:{P=P(S1切于正向測地圓周V=W(s)Si(P,3)上的一點(diǎn)Q:(p3,必)=(p(0),v(0)). 圖6-3記夾角函數(shù)①=以5)為測地線C單位切向在dpco即=ds'dpco即=ds'sin①=GgI得(P(s),V(s))ds且可不妨設(shè)其滿足虱0)=V.而此時(shí)由Liouville公式(1.2)得0=需+(后)。瞿?在Q點(diǎn)，GG(Q)帶(0)=1，故3￡1>0使皆在［-￡］,耳］恒正，從而普=-(近)p需<-60,<0，此即說明切向角函數(shù)9(s)在［-e1,e1］嚴(yán)格單調(diào)減少.進(jìn)一步取弧長參數(shù)非空區(qū)間［-4,￡2］U9-1((0,兀))c［-￡］,￡j，則在其間滿足「0，-S2<s<0；ds(s)=cos9(s)<=0，s=0；〔>0，0<s<￡2?即：函數(shù)P(s)在弧長參數(shù)區(qū)間［-￡2,￡2］具有唯一的嚴(yán)格最小值點(diǎn)s=0，對應(yīng)最小值為p(0)=p(Q)=3?至此既得結(jié)論. 口注記從證明過程可見，當(dāng)上述測地線C切于測地圓周S1(P,3)上的點(diǎn)Q且C在切點(diǎn)Q附近嚴(yán)格地落在測地閉圓盤D(P,3)之外時(shí)，點(diǎn)P到C上各點(diǎn)的最短連線的長度在切點(diǎn)Q附近有嚴(yán)格的極小值，并可實(shí)現(xiàn)為測地射線段PQ?通過測地線微分方程組關(guān)于初值的連續(xù)可微依賴性分析，根據(jù)測地線的局部最短性以及最短線一定是測地線，可證下列引理3(習(xí)題2)；并可進(jìn)一步利用引理2,用以得到測地凸域的局部存在性定理(習(xí)題3)?

引理3對于曲面S上的任意一點(diǎn)P，存在以P為原點(diǎn)的測地極坐標(biāo)系(P,W)在D(P,3P0)有意義，并且對于VQGD(P,p0)，使以Q為原點(diǎn)的測地極坐標(biāo)系在D(P,2p0)有意義.此時(shí)，對于VQgD(P,P0)，成立D(P,p0)uD(Q,2p0)uD(P,3p0).定理3定理3(測地凸域局部存在性)存在測地凸域包含P點(diǎn)．給定曲面S上的任一點(diǎn)P，在S上1.在曲面S上給定原點(diǎn)P0和測地半徑r，記測地圓周S1(P0,r)周長為L(r)，記測地圓盤D(P0，r)面積為&r).試證：S在點(diǎn)P0處的Gauss曲率K(P0)滿足1.K(P0)=limrf032Tlz—L(r)冗 r3K(P0)=limrf012Tir2—A(r)九 r4測地線族的正交軌線族(t線)測地線族的正交軌線族(t線)C(C0線)地坐標(biāo)系)； 圖6-4②族｛Cs｝中任意兩條指定的曲線在測地線族｛rt｝的任意一條測地線上所截得的測地線段長度相等..證明引理3..設(shè)正則曲面上存在測地閉圓盤D(P,3p0),使對于V6g(0,3p0),當(dāng)測地線C切于測地圓周Si(P,6)上的點(diǎn)Q時(shí)，C在切點(diǎn)Q附近除切點(diǎn)以外的部分都嚴(yán)格地落在測地閉圓盤D(P,6)之外.證明引理3所確定的測地圓盤D(P,p0)是測地凸域..已知正則曲面S:r(u1,u2)上的正則曲線C:ui(t).作曲線C在S上的單參數(shù)t正交軌線族為弧長s參數(shù)化測地線族｛「/ui(s;t)｝;進(jìn)一步作測地線族｛rt｝的正交軌線族｛Cs｝.試證：①局部存在容許參數(shù)變換，使｛「t｝和｛Cs｝構(gòu)成正交坐標(biāo)