2022年江西省中考數(shù)學(xué)試卷解析版

2022年江西省中考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．2．（3分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＝﹣b3．（3分）下列計算正確的是（）A．m2?m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n24．（3分）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．125．（3分）如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）A． B． C． D．6．（3分）甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（）A．甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大 B．當(dāng)溫度升高至t2℃時，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．當(dāng)溫度為0℃時，甲、乙的溶解度都小于20g D．當(dāng)溫度為30℃時，甲、乙的溶解度相等二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝．8．（3分）正五邊形的外角和為度．9．（3分）關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．10．（3分）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設(shè)甲每小時采樣x人，則可列分式方程為．11．（3分）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為．12．（3分）已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）計算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式組：．14．（6分）以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運算過程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的運算過程中第步出現(xiàn)了錯誤；（2）請你寫出完整的解答過程．15．（6分）某醫(yī)院計劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．（1）“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A．不可能B．必然C．隨機(jī)（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．16．（6分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作∠ABC的角平分線；（2）在圖2中過點C作一條直線l，使點A，B到直線l的距離相等．17．（6分）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時，求AE的長．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，點A（m，4）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在y軸上，OB＝2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且OD＝1．（1）點B的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直線AC的表達(dá)式．19．（8分）課本再現(xiàn)（1）在⊙O中，∠AOB是所對的圓心角，∠C是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時，要根據(jù)圓心O與∠C的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明∠C＝∠AOB；知識應(yīng)用（2）如圖4，若⊙O的半徑為2，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∠C＝60°，求PA的長．20．（8分）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學(xué)生，就“‘雙減’前后參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班的情況”進(jìn)行了一次隨機(jī)問卷調(diào)查（以下將“參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班”簡稱“報班”），根據(jù)問卷提交時間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進(jìn)行整理，分別得到統(tǒng)計表1和統(tǒng)計圖1：整理描述表1：“雙減”前后報班情況統(tǒng)計表（第一組）報班數(shù)人數(shù)類別01234及以上合計“雙減”前10248755124m“雙減”后2551524n0m（1）根據(jù)表1，m的值為，的值為；分析處理（2）請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比；（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統(tǒng)計圖（如圖2）．請依據(jù)以上圖表中的信息回答以下問題：①本次調(diào)查中，“雙減”前學(xué)生報班個數(shù)的中位數(shù)為，“雙減”后學(xué)生報班個數(shù)的眾數(shù)為；②請對該市城區(qū)學(xué)生“雙減”前后報班個數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．22．（9分）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度OA為66m，基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為；（2）①若運動員落地點恰好到達(dá)K點，且此時a＝﹣，b＝，求基準(zhǔn)點K的高度h；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達(dá)到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．六、解答題（本大題共12分）23．（12分）綜合與實踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，重疊部分的面積為；當(dāng)OF與BC垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點M，N．①如圖2，當(dāng)BM＝CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM＝CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH＝α），將∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）

2022年江西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：﹣1是負(fù)數(shù)，2，是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)，掌握在正數(shù)前面添加“﹣”得到負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＝﹣b【分析】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大即可得出答案．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得：a＜b，|a|＞|b|，故C選項符合題意，A，B，D選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．3．（3分）下列計算正確的是（）A．m2?m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法判斷A選項；根據(jù)去括號法則判斷B選項；根據(jù)單項式乘多項式判斷C選項；根據(jù)完全平方公式判斷D選項．【解答】解：A選項，原式＝m5，故該選項不符合題意；B選項，原式＝﹣m+n，故該選項符合題意；C選項，原式＝m2+mn，故該選項不符合題意；D選項，原式＝m2+2mn+n2，故該選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解題的關(guān)鍵．4．（3分）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【解答】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，第2個圖中H的個數(shù)為4+2，第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2，第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3＝10，故選：B．【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：如圖，它的俯視圖為：故選：A．【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從上邊看上邊看得到的圖形是俯視圖．注意看得見的棱畫實線，看不見的棱畫虛線．6．（3分）甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（）A．甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大 B．當(dāng)溫度升高至t2℃時，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．當(dāng)溫度為0℃時，甲、乙的溶解度都小于20g D．當(dāng)溫度為30℃時，甲、乙的溶解度相等【分析】利用函數(shù)圖象的意義可得答案．【解答】解：由圖象可知，A、B、C都正確，當(dāng)溫度為t1時，甲、乙的溶解度都為30g，故D錯誤，故選：D．【點評】本題主要考查了函數(shù)的圖象，熟練掌握橫縱坐標(biāo)表示的意義是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．【分析】直接把公因式a提出來即可．【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．故答案為：a（a﹣3）．【點評】本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是a是解題的關(guān)鍵．8．（3分）正五邊形的外角和為360度．【分析】根據(jù)多邊形外角和等于360°即可解決問題．【解答】解：正五邊形的外角和為360度，故答案為：360．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角和等于360°．9．（3分）關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為1．【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．10．（3分）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設(shè)甲每小時采樣x人，則可列分式方程為＝．【分析】由實際問題找到合適的等量關(guān)系即可抽象出分式方程．【解答】解：設(shè)甲每小時采樣x人，則乙每小時采樣（x﹣10）人，根據(jù)題意得：＝．故答案為：＝．【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．（3分）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為．【分析】根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，則長方形的對角線長＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，七巧板，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．12．（3分）已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為5或2或．【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【解答】解：當(dāng)AO＝AB時，AB＝5；當(dāng)AB＝BO時，AB＝5；當(dāng)OA＝OB時，設(shè)A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；綜上所述，AB的長為5或2或．故答案為：5或2或．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)OA＝OB時，求出點A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）計算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式組：．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的意義，零指數(shù)冪的意義解答即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1，＝3．（2）解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞1，∴不等式組的解集為：1＜x＜3．【點評】本題考查的是實數(shù)的運算和解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．14．（6分）以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運算過程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的運算過程中第③步出現(xiàn)了錯誤；（2）請你寫出完整的解答過程．【分析】根據(jù)分式的運算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號先算括號里面的計算即可．【解答】解：（1）第③步出現(xiàn)錯誤，原因是分子相減時未變號，故答案為：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．15．（6分）某醫(yī)院計劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．（1）“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是C事件；A．不可能B．必然C．隨機(jī)（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可解決問題；（2）從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后利用樹狀圖即可解決問題．【解答】解：（1）隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機(jī)事件；故答案為：C；（2）從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示：它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的（記為事件A）的結(jié)果有6種，則P（A）＝＝，【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，隨機(jī)事件．解決本題的關(guān)鍵是掌握列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（6分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作∠ABC的角平分線；（2）在圖2中過點C作一條直線l，使點A，B到直線l的距離相等．【分析】（1）連接AC，取AC的中點P，作射線BP即可；（2）利用是相結(jié)合的射線畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1中，射線BP即為所求；（2）如圖2中，直線l即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．17．（6分）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)兩角相等可得兩三角形相似；（2）根據(jù)（1）中的相似列比例式可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，點A（m，4）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在y軸上，OB＝2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且OD＝1．（1）點B的坐標(biāo)為（0，2），點D的坐標(biāo)為（1，0），點C的坐標(biāo)為（m+1，2）（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直線AC的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)OB＝2可得點B的坐標(biāo)，根據(jù)OD＝1可得點D的坐標(biāo)為（1，0），由平移規(guī)律可得點C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點C和D的坐標(biāo)列方程可得m的值，從而得k的值，再利用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．【解答】解：（1）由題意得：B（0，2），D（1，0），由平移可知：線段AB向下平移2個單位，再向右平移1個單位，∵點A（m，4），∴C（m+1，2），故答案為：（0，2），（1，0），（m+1，2）；（2）∵點A和點C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝4m＝2（m+1），∴m＝1，∴A（1，4），C（2，2），∴k＝1×4＝4，設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝nx+b，，解得：，∴直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣2x+6．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，根據(jù)OB和OD的長得出平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵．19．（8分）課本再現(xiàn)（1）在⊙O中，∠AOB是所對的圓心角，∠C是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時，要根據(jù)圓心O與∠C的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明∠C＝∠AOB；知識應(yīng)用（2）如圖4，若⊙O的半徑為2，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∠C＝60°，求PA的長．【分析】（1）①如圖2，當(dāng)點O在∠ACB的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)O在∠ACB的外部時，作直徑CD，同理可理結(jié)論；（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得∠AOB＝120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，從而得PA的長．【解答】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；（2）如圖4，連接OA，OB，OP，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，∵OA＝2，∴OP＝2OA＝4，∴PA＝＝2．【點評】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關(guān)鍵．20．（8分）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用∠A的正弦可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：如圖，過點G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sinA＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學(xué)生，就“‘雙減’前后參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班的情況”進(jìn)行了一次隨機(jī)問卷調(diào)查（以下將“參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班”簡稱“報班”），根據(jù)問卷提交時間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進(jìn)行整理，分別得到統(tǒng)計表1和統(tǒng)計圖1：整理描述表1：“雙減”前后報班情況統(tǒng)計表（第一組）報班數(shù)人數(shù)類別01234及以上合計“雙減”前10248755124m“雙減”后2551524n0m（1）根據(jù)表1，m的值為300，的值為0.02；分析處理（2）請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比；（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統(tǒng)計圖（如圖2）．請依據(jù)以上圖表中的信息回答以下問題：①本次調(diào)查中，“雙減”前學(xué)生報班個數(shù)的中位數(shù)為1，“雙減”后學(xué)生報班個數(shù)的眾數(shù)為0；②請對該市城區(qū)學(xué)生“雙減”前后報班個數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．【分析】（1）將表1中“雙減前”各個數(shù)據(jù)求和確定m的值，然后再計算求得n值，從而求解；（2）通過匯總表1和圖1求得“雙減后”報班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)，從而求解百分比；（3）①根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解；②根據(jù)“雙減”政策對學(xué)生報班個數(shù)的影響結(jié)果角度進(jìn)行分析說明．【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝0.02，故答案為：300；0.02；（2）匯總表1和圖1可得：01234及以上總數(shù)“雙減”前172821188246500“雙減”后4232440121500×100%＝24%，答：“雙減”后報班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比為24%；（3）①“雙減”前共調(diào)查500個數(shù)據(jù)，從小到大排列后，第250個和第251個數(shù)據(jù)均為1，∴“雙減”前學(xué)生報班個數(shù)的中位數(shù)為1，“雙減”后學(xué)生報班個數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是0，∴“雙減”后學(xué)生報班個數(shù)的眾數(shù)為0，故答案為：1；0；②從“雙減”前后學(xué)生報班個數(shù)的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實到位，參加校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的學(xué)生大幅度減少，“雙減”取得了顯著效果．【點評】本題考查統(tǒng)計的應(yīng)用，理解題意，對數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和整理，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．22．（9分）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度OA為66m，基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為66；（2）①若運動員落地點恰好到達(dá)K點，且此時a＝﹣，b＝，求基準(zhǔn)點K的高度h；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為b＞；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達(dá)到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)起跳臺的高度OA為66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根據(jù)基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，即得基準(zhǔn)點K的高度h為21m；②運動員落地點要超過K點，即是x＝75時，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達(dá)到最大高度76m，即是拋物線的頂點為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時，y＝36，從而可知他的落地點能超過K點．【解答】解：（1）∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基準(zhǔn)點K的高度h為21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵運動員落地點要超過K點，∴x＝75時，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案為：b＞；（3）他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達(dá)到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．六、解答題（本大題共12分）23．（12分）綜合與實踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，重疊部分的面積為1；當(dāng)OF與BC垂直時，重疊部分的面積為1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1＝S；類比探究（2）若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點M，N．①如圖2，當(dāng)BM＝CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM＝CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH＝α），將∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積＝△OBC的面積＝正方形AB