第六知識(shí)塊三角易錯(cuò)點(diǎn)及應(yīng)試技巧

第六知識(shí)塊三角變換、三角函數(shù)及解三角形概念、方法、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)考點(diǎn)點(diǎn)擊角的概念的推廣．弧度制．任意角的三角函數(shù)．單位圓中的三角函數(shù)線．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．命題規(guī)律在2022年高考中三角函數(shù)是仍是高考的考查熱點(diǎn)，命題的模式為一個(gè)選擇題（或填空題）和一個(gè)解答題，其中選擇題（填空題）一般多為基礎(chǔ)題，解答題為中檔題。解答題多為三角函數(shù)與三角變換的綜合問題或三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯問題，如與解三角形結(jié)合的角度出發(fā)命題。高考中三角函數(shù)所占分值大約在10~14分之間三角函數(shù)在高考中主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值），三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換（主要是求值），三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)用．概念、方法、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)1、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。2、終邊相同的角的表示：（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).（3）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.（4）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.（5）終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.3、與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.4、弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad).5、任意角的三角函數(shù)的定義：三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)。6、三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“站在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。7、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。8、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k+,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。9、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：10、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎?（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如，，，，等），(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，(3)公式變形使用（(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)。(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。(6)常值變換主要指“1”的變換（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹—”的內(nèi)存聯(lián)系――“知一求二”11、輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用12、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。13、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是，對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng)時(shí)，取最小值－1；對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)時(shí)，取最小值－1（3）周期性：①、的最小正周期都是2；②和的最小正周期都是。（4）奇偶性與對(duì)稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸的交點(diǎn)）。（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了！14、形如的函數(shù)：（1）幾個(gè)物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；（2）函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定，（3）函數(shù)圖象的畫法：①“五點(diǎn)法”——設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。（4）函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（>0）或向右（<0）平移個(gè)單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（）或向下（），得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個(gè)單位，（5）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將化正。15、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時(shí)，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。如的周期都是,但的周期為，而，的周期不變；（4）奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與軸的交點(diǎn)，但無對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。16.三角形中的有關(guān)公式：(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；；；②已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。特別提醒：（1）求解三角形中的問題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。錯(cuò)解剖析易錯(cuò)點(diǎn)一、任意角的三角函數(shù)及恒等變換例1、已知α是第三象限角，化簡(jiǎn)?！惧e(cuò)誤分析】：本題要求同學(xué)們熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，在求值過程中特別注意三角函數(shù)值的符號(hào)。【答案】【解析】原式＝＝又α是第三象限角，所以，原式＝?！疽族e(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】三角函數(shù)化簡(jiǎn)一般要求是：（1）盡可能不含分母；（2）盡可能不含根式；（3）盡可能使三角函數(shù)名稱最少；（4）盡可能求出三角函數(shù)式的值.本題的關(guān)健是如何應(yīng)用基本關(guān)系式脫去根式，進(jìn)行化簡(jiǎn).例2、若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.【錯(cuò)誤分析】：本試題將三角函數(shù)“”誘導(dǎo)公式有機(jī)地溶于式子中，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，這就要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要腳踏實(shí)地，狠抓基礎(chǔ).【答案】【解析】【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】求三角函數(shù)的值域是常見題型.一類是型，這要變形成；二是含有三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)，可利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域.例3、若，則=（）A．B．C．D．【錯(cuò)誤分析】：===1—2=【答案】選A【解析】==—=—1+2=—.故選A.【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式應(yīng)用符號(hào)錯(cuò)例4、求值：=_______________【錯(cuò)誤分析】：本題解題的思路是：方法一化同角，方法二化單角，通過角的變換的方法來解決問題。至于如何變形，先求什么，后求什么，什么情況下解題簡(jiǎn)便，只有經(jīng)過不斷的探索、分析、比較，逐步積累解題的經(jīng)驗(yàn)?！敬鸢浮俊窘馕觥糠ㄒ辉椒ǘ疽族e(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】進(jìn)行必要的三角恒等變形.其通法是：發(fā)現(xiàn)差異（角度、函數(shù)、運(yùn)算結(jié)構(gòu)）尋找聯(lián)系（套用、變用、活用公式，注意技巧和方法）合理轉(zhuǎn)化（由因?qū)Ч木C合法，由果探因的分析法）其技巧配湊角：α=（α+β）－β，β=－等例5、為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A向右平移B向右平移C向左平移D向左平移【錯(cuò)誤分析】：A審題不仔細(xì),把目標(biāo)函數(shù)搞錯(cuò)是此題最容易犯的錯(cuò)誤【答案】B【解析】，所以【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】+中，及，對(duì)正弦函數(shù)圖像的影響，應(yīng)記住圖像變換是對(duì)自變量而言.如：向右平移個(gè)單位，應(yīng)得，而不是.例6、當(dāng)A.最大值為1，最小值為-1B.最大值為1，最小值為C.最大值為2，最小值為D.最大值為2，最小值為【錯(cuò)誤分析】：研究復(fù)雜三角函數(shù)的性質(zhì)，一般是將這個(gè)復(fù)雜的三角函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數(shù)問題的基本思路.【答案】選D【解析】，而【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】求三角函數(shù)式的最值,常見的方法有化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,與二次函數(shù)相結(jié)合,利用三角函數(shù)的有界性,利用函數(shù)的單調(diào)性,以及常見的求函數(shù)最值的方法等.易錯(cuò)點(diǎn)二、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)例１、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【錯(cuò)解】：由和，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：；單調(diào)減區(qū)間為：．【剖析】：上述解法是把看作整體，借助正弦函數(shù)y=sinx的單調(diào)性而獲解的．事實(shí)上是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，上述解法忽視了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【正解】：．求減區(qū)間，即，即單調(diào)遞減區(qū)間為．同理，單調(diào)遞增區(qū)間為．例2、把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，所得的函數(shù)解析式為（）．Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【錯(cuò)解】1：將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再壓縮橫坐標(biāo)得．故選（Ａ）．【錯(cuò)解】2：將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再壓縮橫坐標(biāo)得．故選（Ｂ）．【錯(cuò)解】3：將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再壓縮橫坐標(biāo)得．故選（Ｃ）．【剖析】：這三種解法都是錯(cuò)誤的，其原因在于沒有抓住變換的對(duì)象．錯(cuò)解1中，在平移變換時(shí)，把5x看作變換的對(duì)象；錯(cuò)解2中，在伸縮變換時(shí)，把看成了變換的對(duì)象；錯(cuò)解3則犯了上述兩種錯(cuò)誤，既把看成變換的對(duì)象，又把看成了變換的對(duì)象．事實(shí)上，無論是平移變換，還是伸縮變換，都應(yīng)緊緊抓住變?cè)钦l這個(gè)關(guān)鍵．在本例中，變?cè)獂才是變換的對(duì)象．函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，是將自變量x減去個(gè)單位長(zhǎng)度，即將x換成，其余的不變；壓縮橫坐標(biāo)到原來的倍，即將x換成2x，其余的不變．【正解】：將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再壓縮橫坐標(biāo)得．故選（Ｄ）．例3、函數(shù)的圖象如圖所示，試求函數(shù)的表達(dá)式．【錯(cuò)解】：由題意知，周期，所以．即．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即有：，所以．取k=0時(shí)，（舍）；取k=1時(shí)，；取k=2時(shí)，．故所求函數(shù)的表達(dá)式為：或．【剖析與正解】：在利用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)圖象時(shí)，圖象中五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)自左到右分別是由取0，，，，解得的．三個(gè)函數(shù)值為０的“零點(diǎn)”自左到右對(duì)應(yīng)的的值為０，，，不能隨便亂取，這一點(diǎn)很容易出錯(cuò)．在本例中，從函數(shù)圖象知，點(diǎn)是圖象中的第二個(gè)“零點(diǎn)”，從而只能對(duì)應(yīng)五個(gè)點(diǎn)中的，而不能是，因而取k=2時(shí)，得是不正確的．所以，由，解得，故所求函數(shù)的解析式為：．易錯(cuò)點(diǎn)、解三角形例1、在△ABC中，，求△ABC的面積【錯(cuò)解】：由正弦定理，得，∴。∴【剖析】：本題錯(cuò)誤的原因是利用正弦定理求C時(shí)丟了一解。事實(shí)上，由，可得或，這兩個(gè)結(jié)果都符合題意【正解】：由正弦定理，得又∵AB＞AC∴或當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴∴△ABC的面積為【易錯(cuò)點(diǎn)解讀】：在利用正弦定理求角時(shí)，由于正弦函數(shù)在內(nèi)不嚴(yán)格單調(diào)，所以角的個(gè)數(shù)可以不唯一，這時(shí)應(yīng)注意借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解例2、在△ABC中，若C=3B，求的取值范圍【錯(cuò)解】：因?yàn)?，所以，所以【剖析】：錯(cuò)解忽略了隱含條件中B的取值范圍。因?yàn)镃=3B，所以，即，所以是錯(cuò)誤的【正解】：因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，故【解題策略】：凡是求最值、值域或取值范圍的問題，都應(yīng)注意題中是否含有隱含條件，以便加強(qiáng)對(duì)自變量取值范圍即定義域的限制。【易錯(cuò)點(diǎn)解讀】：在解三角形中，要注意挖掘題中的隱含條件，否則范圍將擴(kuò)大或縮小，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。例3、在△ABC中，C=3B，求的取值范圍?！惧e(cuò)解】：由正弦定理，得∵，∴，∴【剖析】：在上述解題過程中，得到后，忽略了三角形內(nèi)角和為及隱含的A，B，C均為正角這一條件?！菊狻浚河烧叶ɡ恚谩?，∴，即，∴，故【解題策略】：由及C=3B得出B的取值范圍，不可忽略?！疽族e(cuò)點(diǎn)解讀】在解三角形問