2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破專題07 特殊平行四邊形的綜合問題(教師版)

專題07特殊平行四邊形的綜合問題【典型例題】1．(2021·廣東·廣州市第二中學(xué)南沙天元學(xué)校八年級(jí)期末)在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上任意一點(diǎn)．連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE于F．交AD于H．(1)如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，求證：△AFB≌△DGA；(2)如圖2，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接DF，求證：FH+FE＝SKIPIF1<0DF；(3)如圖3，AB＝1，連接EH，點(diǎn)P為EH的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠BAD＝90°，證明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS證△AFB≌△DGA即可；(2)如圖2，過點(diǎn)D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長線于J，先證△ABH≌△DAE(ASA)，得AH＝DE，再證△DJH≌△DKE(AAS)，得DJ＝DK，JH＝EK，則四邊形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，則DF＝SKIPIF1<0,FJ，進(jìn)而得出結(jié)論；(3)如圖3，取AD的中點(diǎn)Q，連接PQ，延長QP交CD于R，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，設(shè)PT＝b，由(2)得△ABH≌△DAE(ASA)，則AH＝DE，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性質(zhì)得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，則AH＝DE＝1﹣2b，證出PK＝QK，最后證點(diǎn)P在線段QR上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而由等腰直角三角形的性質(zhì)得QR＝SKIPIF1<0DQ＝SKIPIF1<0．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵DG⊥AE，BF⊥AE∴∠AFB＝∠DGA＝90°∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°∴∠BAF＝∠ADG在△AFB和△DGA中∵SKIPIF1<0∴△AFB≌△DGA(AAS)．(2)證明：如圖2，過點(diǎn)D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長線于J由題意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°∴∠DAE＝∠ABH在△ABH和△DAE中∵SKIPIF1<0∴△ABH≌△DAE(ASA)∴AH＝DE∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)∴DE＝EC＝SKIPIF1<0CD∴AH＝DH∴DE＝DH∵DJ⊥BJ，DK⊥AE∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°∴四邊形DKFJ是矩形∴∠JDK＝∠ADC＝90°∴∠JDH＝∠KDE在△DJH和△DKE中∵SKIPIF1<0∴△DJH≌△DKE(AAS)∴DJ＝DK，JH＝EK∴四邊形DKFJ是正方形∴FK＝FJ＝DK＝DJ∴DF＝SKIPIF1<0FJ∴SKIPIF1<0∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝SKIPIF1<0DF．(3)解：如圖3，取AD的中點(diǎn)Q，連接PQ，延長QP交CD于R，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，設(shè)PT＝b由(2)得△ABH≌△DAE(ASA)∴AH＝DE∵∠EDH＝90°，點(diǎn)P為EH的中點(diǎn)∴PD＝SKIPIF1<0EH＝PH＝PE∵PK⊥DH，PT⊥DE∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°∴四邊形PTDK是矩形∴PT＝DK＝b，PK＝DT∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE∴PT是△DEH的中位線∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT∴AH＝DE＝1﹣2b∴PK＝SKIPIF1<0DE＝SKIPIF1<0﹣b，QK＝DQ﹣DK＝SKIPIF1<0﹣b∴PK＝QK∵∠PKQ＝90°∴△PKQ是等腰直角三角形∴∠KQP＝45°∴點(diǎn)P在線段QR上運(yùn)動(dòng)，△DQR是等腰直角三角形∴QR＝SKIPIF1<0DQ＝SKIPIF1<0∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2021·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)二模)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)F在線段CD上，連接EF，且∠CBE+∠EFC＝180°，DF＝2，F(xiàn)C＝3．則DB＝()A．6 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD=2DE，BC=CD=5，從而得到∠CBE=∠CDB，再由∠CBE+∠EFC＝180°，可得∠CBE=∠CDB=∠DFE，從而得到△DEF∽△DCB，可得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：在菱形ABCD中，BD=2DE，BC=CD=DF+FC=2+3=5，∴∠CBE=∠CDB，∵∠CBE+∠EFC＝180°，∠DFE+∠EFC＝180°，∴∠CBE=∠DFE，∴∠CBE=∠CDB=∠DFE，∵∠CDB=∠EDF，∴△DEF∽△DCB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．(廣西壯族自治區(qū)玉林市2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)如圖，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列四個(gè)判斷中錯(cuò)誤的是()A．四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形B．若SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0不一定是矩形C．若四邊形SKIPIF1<0是菱形，則SKIPIF1<0是等腰三角形D．若四邊形SKIPIF1<0是正方形，則SKIPIF1<0是等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定進(jìn)行依次推理，可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0正確；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；若四邊形SKIPIF1<0是菱形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形，故SKIPIF1<0正確，若四邊形SKIPIF1<0是正方形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，故SKIPIF1<0正確，故選：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．(2022·重慶南開中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試)如圖所示，在長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在線段SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，點(diǎn)SKIPIF1<0落在點(diǎn)SKIPIF1<0處，線段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在線段SKIPIF1<0上，且點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則線段SKIPIF1<0的長為()A．3 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】設(shè)SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，根據(jù)圖形沿著某條邊折疊所得的兩個(gè)圖形全等，得出ASKIPIF1<0=AB=CD=SKIPIF1<0D，SKIPIF1<0，利用AAS再證SKIPIF1<0，F(xiàn)即是AD的中點(diǎn)，已知SKIPIF1<0再根據(jù)邊之間的長度關(guān)系列出等式SKIPIF1<0，解方程即可．【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0F長為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0處，SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0上，∴ASKIPIF1<0=AB=CD=SKIPIF1<0D，SKIPIF1<0，在△AB′F和△DC′F中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(AAS)，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，AF=DF，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)SKIPIF1<0是方程的解，并符合題意，∴SKIPIF1<0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圖形折疊問題，矩形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．(2021·廣東·東莞市石龍第二中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上(與B、C不重合)，四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ?AC，其中正確的是()A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得出∠FAD＝90°，AD=AF=EF，證出∠CAD=∠AFG，由AAS證明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正確；證明四邊形CBFG是矩形，得出S△FAB=SKIPIF1<0FB?FG=SKIPIF1<0S四邊形CBFG，②正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ABFSKIPIF1<0，③正確；證出△ACD∽△FEQ，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出AD?FE=AD2=FQ?AC，④正確．【詳解】解：∵四邊形ADEF為正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴SKIPIF1<0，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，SKIPIF1<0，∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC=FG，故①正確；∵BC=AC，∴FG=BC，∵SKIPIF1<0，F(xiàn)G⊥CA，∴SKIPIF1<0，∴四邊形CBFG是矩形，∴CBF=90°，SKIPIF1<0，故②正確；∵CA=CB，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故③正確；∵SKIPIF1<0，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD?FE=AD2=FQ?AC，故④正確；∴正確的有①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題5．(四川省成都市高新區(qū)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)如圖，四邊形ABCD是邊長為SKIPIF1<0cm的菱形，其中對(duì)角線BD的長為2cm，則菱形ABCD的面積為_____cm2．【答案】4【解析】【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AO長，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝2cm，∴BO＝1cm，∵AB＝SKIPIF1<0cm，∴AO＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2(cm)，∴AC＝2AO＝4cm．∴S菱形ABCD＝SKIPIF1<0(cm2)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理；解題的關(guān)鍵是熟悉菱形的面積公式和直角三角形三邊之間的關(guān)系．6．(2021·廣東南?！ざ?如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝SKIPIF1<0，則折痕AE長是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性質(zhì)得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由SKIPIF1<0解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，設(shè)EF＝DE＝xcm，則CE＝AB﹣DE＝(8﹣x)cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由勾股定理得SKIPIF1<0，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD，EF＝DE∵四邊形ABCD為矩形∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由勾股定理得SKIPIF1<0(cm)∴AD＝BC＝10(cm)∴CF＝BC﹣BF＝4(cm)設(shè)EF＝DE＝xcm，則CE＝(8﹣x)cm在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+(8﹣x)2解得：x＝5∴DE＝5cm在Rt△ADE中，由勾股定理得SKIPIF1<0(cm)故答案為：SKIPIF1<0cm．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切．解題的關(guān)鍵在于找出線段的數(shù)量關(guān)系，多次運(yùn)用勾股定理求解．7．(2021·廣東·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)附屬初中二模)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上任一點(diǎn)，過P分別作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF的最小值是_________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】證四邊形PECF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF=CP，根據(jù)垂線段最短得出CP⊥AB時(shí)，CP最短，然后根據(jù)三角形的面積公式求出此時(shí)CP值即可．【詳解】解：連接CP，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，∴四邊形EPFC是矩形，∴EF=CP，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，即EF最小，根據(jù)三角形面積公式得：SKIPIF1<0AC×BC=SKIPIF1<0AB×CP，∴CP=SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)；能求出EF最短時(shí)P點(diǎn)的位置是解此題的關(guān)鍵．8．(2021·廣東東莞·二模)如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE＝1，P、Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)(均不與頂點(diǎn)重合)，當(dāng)四邊形AEPQ的周長最小時(shí)，四邊形AEPQ的面積是______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)最短路徑的求法，先確定點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，再確定點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積．【詳解】解：如圖所示：作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A′，此時(shí)四邊形AEPQ的周長最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴DQ＝SKIPIF1<0AE′＝2，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，BP＝SKIPIF1<0，S四邊形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，利用軸對(duì)稱作出輔助線確定得出P、Q的位置是解題關(guān)鍵．三、解答題9．(2021·廣東·一模)如圖，在矩形ABCD中，AD＜2AB，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交DC于點(diǎn)F，連接EF．(1)求證：△EGF≌△EDF；(2)若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，BC＝8，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)4SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由翻折和矩形的性質(zhì)可知∠EGF＝∠D＝90°，EG＝ED，可通過HL證明Rt△EGF≌Rt△EDF；(2)根據(jù)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)知：CF＝SKIPIF1<0CD，BF＝SKIPIF1<0，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可列出方程．(1)證明：∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF與Rt△EDF中，SKIPIF1<0∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)．(2)由(1)知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴GF＝DF＝CF＝SKIPIF1<0，在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折疊可知AB＝GB，∴GB＝CD，∴BF＝GB+GF＝SKIPIF1<0，在Rt△BCF中，由勾股定理得：∴SKIPIF1<0，∵CD＞0，∴CD＝SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．10．(2022·湖南·長沙市湘一立信實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長交BC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)則CQ的長度為(用含t的式子表示)；(2)當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上時(shí)，求t的值．【答案】(1)5﹣t；(2)當(dāng)tSKIPIF1<0SKIPIF1<0秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)可證△APO≌△CQO，則AP＝CQ，再利用SKIPIF1<0即可得出答案；(2)由平行四邊形性質(zhì)可知AP∥BQ，當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，建立一個(gè)關(guān)于t的方程，解方程即可求出t的值；(3)在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的長度，進(jìn)而求出AO的長度，然后利用SKIPIF1<0的面積求出EF的長度，進(jìn)而求出OE的長度，而AE可以用含t的代數(shù)式表示出來，最后在SKIPIF1<0中利用勾股定理即可求值．(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠PAO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO(ASA)，∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；故答案為：5﹣t；(2)∵AP∥BQ，當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，即t＝5﹣t，t＝SKIPIF1<0，∴當(dāng)t為SKIPIF1<0秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；(3)t＝SKIPIF1<0，如圖，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC=SKIPIF1<0∴AO＝CO＝SKIPIF1<0AC＝2，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴3×4＝5×EF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OE是AP的垂直平分線，∴AE＝SKIPIF1<0AP＝SKIPIF1<0t，∠AEO＝90°，由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)∴當(dāng)SKIPIF1<0秒時(shí)，點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)問題，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．(2022·云南省昆明市第二中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，在矩形SKIPIF1<0中，對(duì)角線SKIPIF1<0的垂直平分線與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．(1)試判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；(3)連結(jié)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)四邊形SKIPIF1<0是菱形．理由見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由矩形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得SKIPIF1<0，從而得AE=CF，即可證得四邊形AFCE是平行四邊形，進(jìn)而可得四邊形AFCE是菱形；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由四邊形AECF是菱形及勾股定理可求得m，從而可得BC的長，由勾股定理可求得AC的長，從而可得OC的長，再由勾股定理求得OF的長，最后求得EF的長；(3)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由矩形的性質(zhì)及BE⊥CE，易得SKIPIF1<0，由相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于a、b的方程，即可求得SKIPIF1<0的值，從而求得結(jié)果．(1)四邊形SKIPIF1<0是菱形．理由如下：∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形；(2)∵SKIPIF1<0，∴設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，EF=2OE=2OF，SKIPIF1<0，AC⊥EF，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在Rt△OCF中，由勾股定理得：∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(3)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解方程等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)問題的特點(diǎn)設(shè)元是本題的特點(diǎn)．12．(2022·成都市龍泉驛區(qū)四川師范大學(xué)東區(qū)上東學(xué)校九年級(jí)期末)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．如果點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為2cm和1cm，F(xiàn)Q⊥BC，分別交AC、BC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連接EF、EP(s)(0＜t＜4)．(1)t為何值時(shí)四邊形ABEF是矩形？四邊形ABEF能否為正方形？并說明理由．(2)連接DQ，若四邊形EQDF為平行四邊形，求t的值．(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，EF⊥AC？【答案】(1)t=SKIPIF1<0時(shí)，四邊形ABEF是矩形；四邊形ABEF不能為正方形，理由見解析.(2)t值為2；(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為SKIPIF1<0s時(shí)，EF⊥AC.【解析】【分析】(1)由四邊形ABEF是矩形，可得：AF＝BE，然后分別用含有t的式子表示A與BE即可求t的值；若四邊形ABEF為正方形，則AB=BE=AF，即可判斷；(2)由四邊形EQDF為平行四邊形，可得：DF＝EQ，然后分別用含有t的式子表示DF與EQ即可求t的值；(3)先確定出AC＝10，進(jìn)而得出∠ACB的余弦值，利用三角函數(shù)得出CP，CG，即可得出PG，再判斷出△PFG∽△EFQ，建立方程即可得出結(jié)論，(1)解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∵點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，∴t秒后，BE=2t，AF=AD-DF=8-t，∵四邊形ABEF是矩形，∴BE=AF，即2t=8-t，解得t=SKIPIF1<0，故t=SKIPIF1<0時(shí)，四邊形ABEF是矩形；四邊形ABEF不能為正方形.理由：當(dāng)t=SKIPIF1<0時(shí)，BE=AF=SKIPIF1<0，故四邊形ABEF不能為正方形.(2)解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，由勾股定理得：AC＝10，∵FQ⊥BC，∴∠FQC＝90°，∴四邊形CDFQ是矩形，∴DF＝QC，DC＝FQ＝6cm，t秒后，BE＝2t，DF＝QC＝t，∴EQ＝BC?BE?QC＝8?3t，∵四邊形EQDF為平行四邊形，∴FD＝EQ，即：8?3t＝t，解得：t＝2，故t值為2；(3)解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，根據(jù)勾股定理得，AC＝10cm，∵∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，F(xiàn)Q⊥BC于Q，∴四邊形CDFQ是矩形，∴CQ＝DF，由運(yùn)動(dòng)知，BE＝2t，DF＝t，∴CQ＝t，CE＝BC?BE＝8?2t，AF＝8?t，∴EQ＝CE?CQ＝8?3t，在Rt△ABC中，cos∠ACB＝SKIPIF1<0，在Rt△CPQ中，cos∠ACB＝SKIPIF1<0，∴CP＝SKIPIF1<0t，∵EF⊥AC，∴∠CGE＝90°＝∠ABC，∴∠ACB＋∠FEQ＝90°，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠FEQ＝∠BAC，∴△ABC∽△EQF．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴EQ＝SKIPIF1<0，∴8?3t＝SKIPIF1<0，解得：t＝SKIPIF1<0s，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為SKIPIF1<0s時(shí)，EF⊥AC.【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．13．(2021·廣東南?！ざ?如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝SKIPIF1<0，連接AE，CF．(1)求證：△ABE≌△CBF．(2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時(shí)，求S△BCF的值．(S△BCF表示△BCF的面積)(3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與錢段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若M是CD的中點(diǎn)，P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足SKIPIF1<0MP+PG的值最小時(shí)，求MP的值．【答案】(1)見解析(2)2或6(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由“SAS”可證△ABE≌△CBF；(2)由“SSS”可證△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可證AH＝EH，由勾股定理可求BE的長，即可求解；(3)先確定點(diǎn)P的位置，過點(diǎn)B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的長，由平行線分線段成比例可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△CBF(SAS)；(2)解：如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+(4﹣EH)2，∴EH＝1或3，當(dāng)EH＝1時(shí)∴S△ABE＝S△BCF＝SKIPIF1<0AB×EH＝SKIPIF1<0×4×1＝2，當(dāng)EH＝3時(shí)∴S△ABE＝S△BCF＝SKIPIF1<0AB×EH＝SKIPIF1<0×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；(3)解：如圖3，過點(diǎn)P作PK⊥AE于K，由(1)同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)G，點(diǎn)C，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝SKIPIF1<0PG，∴MP+SKIPIF1<0PG＝MP+PK，∴當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)P，點(diǎn)K三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)E，點(diǎn)G重合時(shí)，MP+SKIPIF1<0PG值最小，即SKIPIF1<0MP+PG最小，如圖4，過點(diǎn)B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝SKIPIF1<0，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2SKIPIF1<0，BQ＝EQ＝FQ＝SKIPIF1<0，∵CQ＝SKIPIF1<0，∴CE＝CQ﹣EQ＝SKIPIF1<0，∵M(jìn)K⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴SKIPIF1<0，又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴DC＝2DM，∴MP＝SKIPIF1<0CE＝SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(2021·廣西·南寧二中九年級(jí)開學(xué)考試)(1)感知：如圖①，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)AB重合)，連接DE，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0，交BC于點(diǎn)F，證明：SKIPIF1<0．(2)探究：如圖②，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的點(diǎn)(點(diǎn)E，F(xiàn)不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連接EF，作EF的垂線分別交邊AD，BC于點(diǎn)G，H，垂足為O．若E為AB中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求GH的長．(3)應(yīng)用：如圖③，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，SKIPIF1<0，BF，AE相交于點(diǎn)G．若SKIPIF1<0，圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則SKIPIF1<0的面積為______，SKIPIF1<0的周長為______．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】【分析】感知：由正方形的性質(zhì)得出AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，證得∠ADE＝∠BAF，由ASA證得△DAE≌△ABF(ASA)，即可得出結(jié)論；探究：分別過點(diǎn)A、D作SKIPIF1<0，分別交BC、AB于點(diǎn)N、M，由正方形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°，推出四邊形DMEF是平行四邊形，ME＝DF＝1，DM＝EF，證出DM⊥GH，同理，四邊形AGHN是平行四邊形，GH＝AN，AN⊥DM，證得∠ADM＝∠BAN，由ASA證得△ADM≌△BAN，得出DM＝AN，推出DM＝GH，由E為AB中點(diǎn)，得出AE＝SKIPIF1<0AB＝2，則AM＝AE﹣ME＝1，由勾股定理得出DM＝SKIPIF1<0，即可得出結(jié)果；應(yīng)用：S正方形ABCD＝9，由陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，由SAS證得△ABE≌△BCF，得出∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S四邊形CEGF，則S△ABG＝SKIPIF1<0，∠FBC+∠BEA＝90°，則∠BGE＝90°，∠AGB＝90°，設(shè)AG＝a，BG＝b，則SKIPIF1<0，2ab＝6，由勾股定理得出a2+b2＝AB2＝32，a2+2ab+b2＝15，即(a+b)2＝15，得出a+b＝SKIPIF1<0，即可得出結(jié)果．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0(ASA)，∴SKIPIF1<0．探究：解：分別過點(diǎn)A、D作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交BC、AB于點(diǎn)N、M，如圖②所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形DMEF是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理，四邊形AGHN是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0(ASA)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵E為AB中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．應(yīng)用：解：∵AB＝3，∴S正方形ABCD＝3×3＝9，∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為：SKIPIF1<0×9＝6，∴空白部分的面積為：9﹣6＝3，在△ABE和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S四邊形CEGF，∴S△ABG＝SKIPIF1<0×3＝SKIPIF1<0，∠FBC+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠AGB＝90°，設(shè)AG＝a，BG＝b，則SKIPIF1<0ab＝SKIPIF1<0，∴2ab＝6，∵a2+b2＝AB2＝32，∴a2+2ab+b2＝32+6＝15，即(a+b)2＝15，而SKIPIF1<0∴a+b＝SKIPIF1<0，即BG+AG＝SKIPIF1<0，∴△ABG的周長為SKIPIF1<0+3，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積與正方形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵．15．(2022·重慶大渡口·九年級(jí)階段練習(xí))如圖，四邊形ABCD是菱形，其中SKIPIF1<0，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在射線CB上運(yùn)動(dòng)，連接EF，作SKIPIF1<0，交DC延長線于點(diǎn)G．(1)試判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；(2)圖中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，射線BC為正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形與菱形ABCD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；②記點(diǎn)F關(guān)于直線AB的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N．若點(diǎn)N落在SKIPIF1<0的內(nèi)部(不含邊界)，求CF的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0是等邊三角形，理由見解析(2)①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)過點(diǎn)E作SKIPIF1<0，交FC于M，根據(jù)菱形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是等邊三角形，根據(jù)ASA證明SKIPIF1<0，由全等三角形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，即可得出答案；(2)①首先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出CD的函數(shù)解析式，根據(jù)SKIPIF1<0求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②找出點(diǎn)N落在DC上的位置，求出CF的長度，當(dāng)N落在DE上時(shí)，求出CF的長度，從而確定CF的范圍．(1)SKIPIF1<0