2023《高等數(shù)學(xué)A下》期中模擬自測(cè)答案

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《高等數(shù)學(xué)》期中考試試卷

一、填空題(10330分)(1)點(diǎn)A(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距離d=2原點(diǎn)O在該平面上，故dOAnn(2,1,0)(3,4,5)345222

.2

(2)三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足OA2OB3OC0,1:3則三角形AOC和三角形ABC面積之比為

.

11SABC12ABAC2OBOAOCOA2OBOCOAOAOC

OB

12

1SABC1OBOCOAOAOC22

3OCOA

12

OA3OCOCOAOAOC

32

OAOC3SAOC

(3)過P1,2,1且與直線xt2,y3t4,zt1垂直的平面方程

x3yz40.

直線的方向向量s(1,3,1)即是所求平面的法向量.

(x1)3(y2)(z1)0

z(4)設(shè)zln(xy),則x22

x1,y1

1

zx

2x22xyx1,y1

1x1,y1

(5)二元函數(shù)zzx,y由方程2xy2xyzln(xyz)0所確定，則

zz2yzx2xyz1x

.

兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)(z是x和y的函數(shù))得

yzxyzx2y2yzxz0xxyzyz1即2y2yz2xyzx0xyzz解之即得

ft

(6)設(shè)f(x,t)xat(u)du,(u)為連續(xù)函數(shù)，則

xat

a(xat)(xat)

.

f(xat)a(xat)(a)t(7)設(shè)

zexy

,則dz2,1

edx2edy22

.

dz

(2,1)

(yexy)(2,1)dx(xexy)(2,1)dy

x2y2z26(8)曲線:在點(diǎn)1,2,1處的法平面方程xyz02y2z2x2zn,1111p2yy2zz2x兩邊對(duì)x求導(dǎo)得n6,0,6yz1

為xz0.

p

2y2x,11

p

(9)交換積分次序1x2

dy021

1

2y2y2x20

f(x,y)dxf(x,y)dy

dxf(x,y)dydx00

(10)交換積分順序

10

dx2f(x,y)dy0dyyf(x,y)dx1y

x

x

.

二、單項(xiàng)選擇題(5315分)

abc0,則abbcca(D).(11)設(shè)向量a,b,c滿足：(A)0,(B)abc,(C)

bc,

(D)3ab.

(12)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)是f(x,y)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的(D).(A)充分條件,(B)必要條件,(C)充要條件,(D)無關(guān)條件.(13)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分0d0f(rcos,rsin)rdr等于(C).(A)(C)/41

0

2/2

02/2

dx

1x2

x1y2

f(x,y)dy,f(x,y)dx,

(B

)(D)

2/2

0

dx

1x2

0

f(x,y)dy,

dy

y

2/2

0

dy

1y2

0

f(x,y)dx.

(14)設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y(x,y)0,已知

(x0,y0)是f(x,y)在約束條件(x,y)0下的一個(gè)極值點(diǎn)，以下選項(xiàng)正確的是(D).(A)若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)0,(B)若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)0,(C)若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)0,(D)若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)0

xy

fxx0

fyy0

(15)設(shè)D是xOy平面上以(1,1),(1,1),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則積分xycosxsinydxdyD

等于(A).(A)2cosxsinydxdy;D11

(B)

(C)4Dxycosxsinydxdy,(D)0.

2xydxdyD1

三、計(jì)算題(51050分)x5yz0(16)求過直線且與平面x4y8z120夾成4xz40角的平面方程.

解法1:過直線L的平面束方程為

x5yz(xz4)0

題中已知平面的法向量為n2(1,4,8)從而

即(1)x5y(1)z40其法向量為n1(1,5,1)

cos4

n1n2n1n2

34

所求平面方程為

x20y7z120

簡(jiǎn)單驗(yàn)證，平面xz40也合于要求.

xyb0在平面上，而平面與曲面(17)設(shè)直線xayz30

zx2y2相切于點(diǎn)P1,2,5,試求常數(shù)a,b.解:曲面zxy上點(diǎn)P(1,2,5)處的法向量為22

n2x,2y,1(1,2,5)(2,4,1)所以切平面的方程為2(x1)4(y2)(z5)0即2x4yz50

將直線方程

y(xb),zxa(xb)3代入平面方程得

2x4(xb)xa(xb)350即(5a)x(4bab2)0

5a0因而4bab20

即a5,b2.

x(18)二元函數(shù)zxyf(xy,),其中f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y2z求.xy

解:

z1yyf1f2xyx12z2f21f1yxf112f12xyyyx1xf212f22yy1x2f221f12f2xyf11yy

(19)求函數(shù)

并研究在點(diǎn)0,0處該函數(shù)的全微分是否存在？22解：當(dāng)xy0時(shí)，f(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)

x2y22,xy042f(x,y)x

y220,xy0

的全微分，

2xy4xyfx42xyx4y22

5

fy

x2xy42xyx4y22

2

2

2

由定理可知，當(dāng)x2y20時(shí)，f(x,y)有全微分

當(dāng)x2y2=0時(shí)，易知fx(0,0)fy(0,0)0但是z[fx(0,0)xfy(0,0)y]此處=(x)2(y)2

o

,所以在(0,0)處不存在微分。

10x2y2z27(20)過直線xyz0

作曲面

3x2y2z227的切平面，求此切平面的方程.解：化直線為參數(shù)方程，得x27/8,yt27/8,zt從而直線方向?yàn)閘0,1,1,直線上已知點(diǎn)M027/8,27/8,0

n6x0,2y0,2z0由題意可知：

假定切平面的切點(diǎn)P0x0,y0,z0

,則切平面法向?yàn)?/p>

3xyz27M0P0nln202020

解得P0有兩種解，當(dāng)P03,1,1時(shí)，n18,2,2。此時(shí)切平面方程9xyz270

當(dāng)P03,17,17時(shí)，n18,34,34。此時(shí)此時(shí)切平面方程9x17y17z270

(21)拋物面zxy被平面22

xyz1

截成一橢圓，求原點(diǎn)到該橢圓的最長(zhǎng)與最短距離.解:設(shè)所求點(diǎn)為P(x,y,z),則問題可歸結(jié)為求d(x,y,z)x2y2z2x2y2z0滿足的最大值和最小值.xyz10構(gòu)造拉氏函數(shù)L(x,y,z)x2y2z2(x2y2z)(xyz1)

2x(1)0Lx13xy,L2y(1)02yz23,解得2z0則有Lz和523,3Lx2y2z07112.3xyz10L

3xy1,2z23,52337112.3

于是dmin953

dmax953

(22)求由曲