2023年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)卷)(理科)

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2023年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)卷）（理科）

一、選擇題（共12小題，每題5分，總分值60分）1、復(fù)數(shù)A、C、﹣i

的共軛復(fù)數(shù)是（）

B、

D、i

2、以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）單調(diào)遞增的函數(shù)是（）

A、y=x3

B、y=|x|+1D、y=2﹣|x|

C、y=﹣x2+1

3、執(zhí)行右面的程序框圖，假使輸入的N是6，那么輸出的p是（）

A、120

B、720D、5040

C、1440

4、有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性一致，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)興趣小組的概率為（）

A、C、

B、D、

5、已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則

cos2θ=（）

A、﹣C、

B、﹣

D、

6、在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（

）

A、B、

C、D、

7、設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為（）A、

B、D、3

的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）B、﹣20

C、2

8、

A、﹣40C、20

D、40

，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為（）B、4D、6

9、由曲線y=

A、C、

10、已知與均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個(gè)命題P1：|+|＞1θ∈[0，P2

：|+|＞1θ∈（

）；

，π]；P3：|﹣|＞1θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1θ∈（，π]；

其中的真命題是（）

A、P1，P4C、P2，P3

B、P1，P3D、P2，P4

的最小正周期為π，

11、設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）且f（﹣x）=f（x），則（）

A、f（x）在

單調(diào)遞減

B、f（x）在（，

）單調(diào)遞減

）單調(diào)遞增

C、f（x）在（0，）單調(diào)遞增D、f（x）在（，

12、函數(shù)y=（）

A、2C、6

的圖象與函數(shù)y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

B、4D、8

二、填空題（共4小題，每題5分，總分值20分）13、若變量x，y滿足約束條件

則z=x+2y的最小值為．

．過(guò)

14、在平面直角坐標(biāo)系xOy，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1F2在x軸上，離心率為

Fl的直線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_________．15、已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6．BC=2O﹣ABCD的體積為．16、在△ABC中，B=60，AC=

，則AB+2BC的最大值為．

，則棱錐

三、解答題（共8小題，總分值70分）

17、等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．

18、如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠底面ABCD．（Ⅰ）證明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C

的余弦值．

DAB=60，AB=2AD，⊥PD

19、某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大說(shuō)明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

B配方的頻數(shù)分布表

（Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=

從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）

20、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，﹣1），B點(diǎn)在直線y=﹣3上，M點(diǎn)滿足∥

，

，

=，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．

21、已知函數(shù)f（x）=3=0．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）假使當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）＞

+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y﹣

+，求k的取值范圍．

22、選修4﹣1：幾何證明選講

如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個(gè)根．（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）若∠A=90，且m=4，n=6，求C，B，D，E

所在圓的半徑．

23、在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為動(dòng)點(diǎn)，P

點(diǎn)滿足=2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2（Ⅰ）求C2的方程

（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|．

（α為參數(shù)）M是C1上的

24、選修4﹣5：不等式選講

設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥3x+2的解集

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤﹣1}，求a的值．

答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題（共12小題，每題5分，總分值60分）1、復(fù)數(shù)A、C、﹣i

的共軛復(fù)數(shù)是（）

B、

D、i

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算。專題：計(jì)算題。

分析：復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共軛復(fù)數(shù)，即可．解答：解：復(fù)數(shù)應(yīng)選C

點(diǎn)評(píng)：此題是基礎(chǔ)題，考察復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，?？碱}型．2、以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）單調(diào)遞增的函數(shù)是（）

A、y=x3

B、y=|x|+1D、y=2﹣|x|=

==i，它的共軛復(fù)數(shù)為：﹣i．

C、y=﹣x2+1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷。專題：常規(guī)題型。

分析：首先由函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A，然后根據(jù)區(qū)間（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=

的單調(diào)性易于選出正確答案．

解答：解：由于y=x3是奇函數(shù)，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又由于y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=上為增函數(shù)，

在（0，+∞）上均為減函數(shù)，只有y=|x|+1在（0，+∞）

所以選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤，只有選項(xiàng)B正確．應(yīng)選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考察基本函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性．

3、執(zhí)行右面的程序框圖，假使輸入的N是6，那么輸出的p是（

）

A、120

B、720D、5040

C、1440

考點(diǎn)：程序框圖。專題：圖表型。

分析：通過(guò)程序框圖，依照框圖中的要求將幾次的循環(huán)結(jié)果寫出，得到輸出的結(jié)果．解答：解：經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到經(jīng)過(guò)第五次循環(huán)得此時(shí)執(zhí)行輸出720，應(yīng)選B

點(diǎn)評(píng)：此題考察解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果問(wèn)題時(shí)，常采用寫出幾次的結(jié)果找規(guī)律．

4、有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性一致，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)興趣小組的概率為（）

經(jīng)過(guò)其次次循環(huán)得到

；經(jīng)過(guò)第四次循環(huán)得；經(jīng)過(guò)第六次循環(huán)得

A、C、

B、D、

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式。專題：計(jì)算題。

分析：此題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是33種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參與同一個(gè)興趣小組有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．解答：解：由題意知此題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是33=9種結(jié)果，

滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參與同一個(gè)興趣小組有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=應(yīng)選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考察古典概型概率公式，是一個(gè)基礎(chǔ)題，題目使用列舉法來(lái)得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，出現(xiàn)這種問(wèn)題一定是一個(gè)必得分題目．

5、已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ=（）

A、﹣C、

B、﹣

，

D、

考點(diǎn)：二倍角的余弦；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系。專題：計(jì)算題。

分析：根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值，由已知直線的斜率得到tanθ的值，然后根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosθ的平方，然后根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡(jiǎn)后，把cosθ的平方代入即可求出值．解答：解：根據(jù)題意可知：tanθ=2，所以cos2θ=

=

=，

則cos2θ=2cos2θ﹣1=2﹣1=﹣．應(yīng)選B

點(diǎn)評(píng)：此題考察學(xué)生把握直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．

6、在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（

）

A、B、

C、D、

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖。專題：作圖題。

分析：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開的半個(gè)圓錐組成，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，得到組合體的側(cè)視圖．解答：解：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開的半個(gè)圓錐組成，∴側(cè)視圖是一個(gè)中間有分界限的三角形，應(yīng)選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考察簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，考察由三視圖看出原幾何圖形，在得到余下

的三視圖，此題是一個(gè)基礎(chǔ)題．

7、設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為（）A、

B、D、3

C、2

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：設(shè)雙曲線C：夠推導(dǎo)出C的離心率．解答：解：設(shè)雙曲線C：焦點(diǎn)F（﹣c，0），對(duì)稱軸y=0，由題設(shè)知

，∴

，

，

，

，焦點(diǎn)F（﹣c，0），由題設(shè)知

，

，由此能

b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=

．

應(yīng)選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考察雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．8、

A、﹣40

的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）B、﹣20

C、20D、40

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。

分析：給x賦值1求出各項(xiàng)系數(shù)和，列出方程求出a；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)和；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，求出特定項(xiàng)的系數(shù)．解答：解：令二項(xiàng)式中的x為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為1+a∴1+a=2∴a=1∴=

∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為∵

=

的

的系數(shù)和

展開式的通項(xiàng)為Tr+1=（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r

令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展開式中常數(shù)項(xiàng)為8C52﹣4C53=40應(yīng)選D

點(diǎn)評(píng)：此題考察求系數(shù)和問(wèn)題常用賦值法、考察利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題．9、由曲線y=

A、C、

，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為（）B、4D、6

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。

分析：利用定積分知識(shí)求解該區(qū)域面積是解決此題的關(guān)鍵，要確定出曲線y=

，直線

y=x﹣2的交點(diǎn)，確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和積分的關(guān)系完成此題的求解．

解答：解：聯(lián)立方程因此曲

線y=S=應(yīng)選C．

得到兩曲線的交點(diǎn)（4，2），

，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為

．

點(diǎn)評(píng)：此題考察曲邊圖形面積的計(jì)算問(wèn)題，考察學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí)，考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算能力，考察學(xué)生對(duì)定積分與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，求定積分關(guān)鍵要找準(zhǔn)被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題．

10、已知與均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個(gè)命題P1：|+|＞1θ∈[0，P2

：|+|＞1θ∈（

）；

，π]；P3：|﹣|＞1θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1θ∈（，π]；

其中的真命題是（）

A、P1，P4C、P2，P3

B、P1，P3D、P2，P4

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；向量的模；向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義。分析：利用向量長(zhǎng)度與向量數(shù)量積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決此題的關(guān)鍵，要列出關(guān)于夾角的不等式，通過(guò)求解不等式得出向量夾角的范圍．解答：解：由

，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ

∈

（，π]，故P3錯(cuò)誤，P4正確．

由

|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，故P2錯(cuò)誤，P1正確．應(yīng)選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考察三角不等式的求解，考察向量長(zhǎng)度不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，考察向量數(shù)量積與向量長(zhǎng)度之間的聯(lián)系問(wèn)題，弄清向量夾角與向量數(shù)量積的依靠關(guān)系，考察學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的思路與方法，考察學(xué)生解題的轉(zhuǎn)化與化歸能力．

），

11、設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）且f（﹣x）=f（x），則（）

A、f（x）在

單調(diào)遞減

B、f（x）在（，

的最小正周期為π，

）單調(diào)遞減

）單調(diào)遞增

C、f（x）在（0，）單調(diào)遞增D、f（x）在（，

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的單調(diào)性。專題：計(jì)算題。

分析：利用輔助角公式將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)周期與ω的關(guān)系確定出ω的值，根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)確定出φ的值，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行考察篩選．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+）+cos（ωx+）=最小正周期為π=此，（fx）=

單調(diào)遞減，若x∈（，B，C，D都錯(cuò)，A正確．應(yīng)選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考察三角函數(shù)解析式的確定問(wèn)題，考察輔助角公式的運(yùn)用，考察三角恒等變換公式的逆用等問(wèn)題，考察學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí)，考察學(xué)生的整體思想和余弦曲線的認(rèn)識(shí)和把握．屬于三角中的基此題型．12、函數(shù)y=（）

A、2C、6

B、4D、8

的圖象與函數(shù)y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的圖