高考數學重點難點復習（40）：探索性問題

難點40高考數學重點難點復習：探索性問題

高考中的探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能

力，是命題者根據學科特點，將數學知識有機結合并賦予新的情境創(chuàng)設而成的，

要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用所學知識和方法解決問題.

?難點磁場

1.（★★★★）已知三個向量a、b、c,其中每兩個之間的夾角為120°,

若IaI=3,

IbI=2,Ic|=1,則a用b、c表示為.

2.（★★★★★）假設每一架飛機引擎在飛行中故障率為1-p,且各引擎是

否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，則對

于多大的p而言，4引擎飛機比2引擎飛機更為安全？

?案例探究

［例1］已知函數/（》）=竺匕（。｛￡比。＞0力是自然數）是奇函數，侗有

ar+1

12

最大值—，且/（1）＞一.

25

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）是否存在直線/與y=f（x）的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點

關于點（1,0）對稱，若存在，求出直線/的方程，若不存在，說明理由.

命題意圖：本題考查待定系數法求函數解析式、最值問題、直線方程及綜合

分析問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：函數的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解法、對稱

問題.

錯解分析：不能把。與b間的等量關系與不等關系聯(lián)立求b；忽視b為自然

數而導致求不出b的具體值；P、a兩點的坐標關系列不出解.

技巧與方法：充分利用題設條件是解題關鍵.本題是存在型探索題目，注意

在假設存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定

的結論，并加以論證.

解（1）,??/（X）是奇函數

/./（~x）=即

-bx+c_bx+c

ax2+1ax2+1

...-bx+c=-bx-c

c=0

ax+1

由a>0,b是自然數得當xWO時，/(x)W0,

當x>0時，f(x)>0

的最大值在x>0時取得.

/.x>0時，/(x)=------<—j=

a1

-x+—2-a-

bbx\b2

當且僅當=L

hbx

即X=口時，/(x)有最大值=L

以2佰2

\b2

①

又/.-^->-,：.5b>2a+2②

5〃+15

把①代入②得2b2_5b+2<0解得!<b<2

2

x

又beN,b=l,a=l,.*./(x)=——

x~+1

(2)設存在直線/與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關于點(1,0)

對稱，

xQ

F^=y。

“°，消去y0,得x2-X1=0

P(x(),yo)則CC2-x0,-y0),02Q-

2一「0_

(2f>+廣f

解之，得Xo=l土血,

點坐標為d+痣5)或口-小爭進而相應Q點坐標為Q

(1-V2--)

4

或Q1+5/2,——).

4

過P、Q的直線/的方程:x-4y-1=0即為所求.

［例2］如圖，三條直線a、b,c兩兩平行，

直線a、b間的距離為p,直線b、c間的距離為“，

2

4B為直線a上兩定點，且I48I=2p,MN是在

直線b上滑動的長度為2p的線段.

(1)建立適當的平面直角坐標系，求△AMN的外心C的軌跡E；

(2)接上問，當△AMN的外心C在E上什么位置時，d+\BC\最小，最小

值是多少？(其中d是外心C到直線c的距離).

命題意圖：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質、數形結合思想及分析、

探索問題、綜合解題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：求曲線的方程、拋物線及其性質、直線的方程.

錯解分析：①建立恰當的直角坐標系是解決本題的關鍵，如何建系是難點，

②第二問中確定C點位置需要一番分析.

技巧與方法：本題主要運用拋物線的性質，尋求點C所在位置，然后加以論

證和計算，得出正確結論，是條件探索型題目.

解(1)以直線b為x軸，以過人點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角

坐標系.

設△AM/V的外心為C(x,y),則有40,P)、M(x-p,0),N(x+p,0),

由題意，有Ial=Ic/vH

yjx2+(y-p)2=J(x-x+p)2+)/，化簡,得

x2=2py

它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線.

(2)由(1)得，直線C恰為軌跡E的準線.

由拋物線的定義知d=\CF\,其中F(0,K)是拋物線的焦點.

2

：.d+\BC\=\CF\+\BC\

由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點

直線BF的方程為y=+聯(lián)立方程組

11x=-p(l+V17)

—4x+—2/pg得,4

x2-2py

16

1+7179+V17,

即C點坐標為（—-P，-77-，)?

416

此時d+IBC|的最小值為IBFI=平八

?錦囊妙計

如果把一個數學問題看作是由條件、依據、方法和結論四個要素組成的一個

系統(tǒng)，那么把這四個要素中有兩個是未知的數學問題稱之為探索性問題.條件不

完備和結論不確定是探索性問題的基本特征.

解決探索性問題，對觀察、聯(lián)想、類比、猜測、抽象、概括諸方面有較高要

求，高考題中一般對這類問題有如下方法：（1）直接求解；（2）觀察——猜測一

一證明；（3）賦值推斷；（4）數形結合；（5）聯(lián)想類比；（6）特殊------般——

特殊.

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.（★★★★）已知直線/，平面。，直線mu平面￡,有下面四個命題，

其中正確命題是（）

①②a_L6n/〃m③/〃m=>aJ_￡④a〃￡

A.①與②B.①與③C.②與④D.③與④

2.（★★★★）某郵局只有0.60元，0.80元，1.10元的三種郵票.現(xiàn)有郵資

為7.50元的郵件一件，為使粘貼郵票的張數最少，且資費恰為7.50元，則最少

要購買郵票（）

A.7張B.8張C.9張D.10張

二、填空題

3

3.(★★★★)觀察sin220°+COS250°+sin20°cos50°=—,sin215°+cos245

4

+sinl5

T.

?cos45°=-,寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式

4

三、解答題

4.(★★★★)在四棱錐—ABCD中，側棱PA_L底

面48C。，底面A8CD是矩形，間底面的邊8c上是否存

在點E.(1)使

ZPED=90°；(2)使NPED為銳角.證明你的結論.

5.(★★★★★)已知非零復數z"2輛足IziI=a,Iz2I=b,Izi+z2I=c(a、

b、c均大于零)，問是否根據上述條件求出且？請說明理由.

6.(★★★★★)是否存在都大于2的一對實數a、b(a>b)使得,a-

a

b,a+b可以按照某一次序排成一個等比數列，若存在，求出a、b的值，若不存在,

說明理由.

7.(★★★★★)直線/過拋物線/=2px(p>0)的焦點且與拋物線有兩個交

點，對于拋物線上另外兩點A、B直線/能否平分線段48?試證明你的結論.

8.(★★★★★)三個元件廠、萬、73正常工作的概率分別為0.7、0.8、0.9,

將它們的某兩個并聯(lián)再和第三個串聯(lián)接入電路，如圖甲、乙、丙所示，問哪一種

接法使電路不發(fā)生故障的概率最大？

參考答案

?難點磁場

1.解析：如圖-a與b,c的夾角為60°,且|a|=|-

b

-a

a|=3.

由平行四邊形關系可得-a=3c+±b,，a=-3c--b.

22

答案：。=-3c-—b

2

2.解析：飛機成功飛行的概率分別為：4引擎飛機為：

C；P2(1-P)2+C4P3(1-P)+C4P=6P2(1-P)2+4P2(1-P)+P4

2引擎飛機為C；?尸(1-P)+C；p2=2P(l-P)+p2.

要使4引擎飛機比2引擎飛機安全，則有：

6P2(1-P)2+4P2(1-p)+P4>2P(1-0+尸,解得P2-.

即當引擎不出故障的概率不小于4時，4引擎飛機比2引擎飛機安全.

3

?殲滅難點訓練

一、1.解析：①/J.a且a〃￡n/_L￡,mu￡

②a_L￡且/_Lan/〃￡,但不能推出l//m.

③/〃m,/_La=>m_L%由mu￡=>a_L￡.

④/_Lm,不能推出a〃￡.

答案：B

2.解析：選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1張.故8張.

答案：B

二、3.解析：由50°-20°=(45°-15°)=30°

3

可得sin2o+cos2(Q+30°)+sin〃cos(Q+30°)=—.

4

答案：sin2a+cos2(。+30°)+sin4cos(〃+30°)=—

4

三、4.解：⑴當ABW’AD時，邊8c上存在點E,使NPEO=90°;當

22

時，使/PED=90°的點E不存在.(只須以A。為直徑作圓看該圓是否與8c邊有

無交點)(證略)

(2)邊8C上總存在一點，使NPED為銳角，點8就是其中一點.

連接8。，作AFJ_8。，垂足為F,連PF,VPAlffiABCD,：.PF1BD,1X

A8D為直角三角形，，F(xiàn)點在8D上，，NP8F是銳角.

同理，點C也是其中一點.

2(22

5.解:?/IZ1+Z2|=Z1+Z2)(Z1+Z2)=|ZI|+|Z2|+UIZ2+ztz2)

222

c=a+b+(z!z2+Z]z2)

222

即：ziz2+Z]z2=c-a-b

???ZiW0,Z2W0,??.ZiE+1+=%|2(五)+匕|2(互)

Z2Z]Z2Z]

2

即有：b(—)+。2()=Z1Z2+^1^2

Z2%

：.b2(^-)+a2(^-)=c2-a2-b2

Z2Z|

o2(5)2+(a2+b2-c2)(^-)+b2=0

Z|4

這是關于三的一元二次方程，解此方程即得久的值.

Z|Z]

6.解：Va>b,a>2,b>2,/.ab,—,a-b,a+b均為正數，且有ab>a+b>—,ab>a+b>a

aa

-b.

假設存在一對實數a,b使ab,—,a+b,a-b按某一次序排成一個等比數列，則

a

此數列必是單調數列.不妨設該數列為單調減數列，則存在的等比數列只能有兩

種情形，即①ab,a+b,

a-b,2,或②血a+b,2,a-b由(a+b)2^ab?2所以②不可能是等比數列，若①

aaa

為等比數列，則有：

(a+b)2-ah(a-h)Q=7+5后

vb解得vin.7^2

(a+h)(a—b)=ab?h=?

l。I2

經檢驗知這是使ab,a+b,a-b,2成等比數列的惟一的一組值.因此當

a

,b=10+7亞時,ab,a+b,a-b,2成等比數列.

2a

7.解:如果直線/垂直平分線段AB,連AF、BF,?:F（2,0）G/.A\FA\=\FB\,

2

設

22

A（Xi,%）,8的面,顯然xi>0,X2>0,%Wy2,于是有（x「g1+yi=（x2-3+丫2：整理

得（X1+X2-P）（X1-X2）=/22-71=-2P（X1-X2）.顯然XiWX2（否則A8_Lx軸，/與X軸

重合，與題設矛盾）得：X1+X2-p=-2p即X1+X2=-p<0,這與Xi+x2>0矛盾，故直

線/不能垂直平分線段A8.

8.解：設元件71、丁2、丁3能正常工作的事件為4、4、小，電路不發(fā)生故障

的事件為4則P（4）=0.7,P（4）=0.8,P（小）=0.9.

（1）按圖甲的接法求P（A）：A=（4+4）?小，由4+%與人相互獨立，

則P（A）=P（4+4）?p（/）