數(shù)學(xué)分析第二十一章重積分第二次課

數(shù)學(xué)分析第二十一章重積分第二次課第1頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六定義1的函數(shù),J是一個(gè)確定的數(shù)，在Ω上可積,在Ω上的三重積分,記作積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式體積元素是定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域Ω上第2頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六三重積分的可積性條件和性質(zhì)與二重積分相似。性質(zhì):例如，3)中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,第3頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六二、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分第4頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六方法1.截面法(“先二后一”)

方法2.投影法(“先一后二”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算可用于一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:三種計(jì)算方法第5頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六方法1.截面法(“先二后一”)第6頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六因此為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作第7頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六方法2.投影法(“先一后二”

)如圖，注意第8頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六因此該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作第9頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:第10頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六方法1.截面法“先二后一”方法2.投影法

“先一后二”方法3.“三次積分”第11頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六第12頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六第13頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六解第14頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六解如圖，第15頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六

將用三次積分表示,其中由所提示:練習(xí)1六個(gè)平面圍成,第16頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六第17頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六其中V為三個(gè)坐標(biāo)計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面練習(xí)2第18頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例6.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”第19頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)3作業(yè)：P251,1(1)(3),2(1).第20頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六三、三重積分換元法第21頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六1.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面第22頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六第23頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六其中為由練習(xí)4.計(jì)算三重積分所圍成解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面半圓柱體.第24頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面錐面半平面第25頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六第26頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例8.計(jì)算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面第27頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例9.解.第28頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例10.計(jì)算三重積分解.第29頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)5.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)第30頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六內(nèi)容小結(jié)三重積分也有類似二重積分的換元積分公式.被積函數(shù)形式簡潔.坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系投影,切片,三次積分.積分區(qū)域多由坐標(biāo)面圍成;作業(yè)：P251,3,4(1),7(1).第31頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六§6重積分的應(yīng)用一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力第32頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六1.問題的特點(diǎn):所求量是

對區(qū)域具有可加性分布在有界閉域上的整體量2.解決問題的方法:用微元法(元素法)，化為重積分

3.解題要點(diǎn):畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡便

第33頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為第34頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為第35頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六二、曲面的面積第36頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為則有第37頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例2.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積S.練習(xí).計(jì)算半徑為a的球的表面積.第38頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六三、物體的質(zhì)心設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)則采用“分割,近似代替,求和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心公式。將分成

n

小塊,在第k塊上任取一點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑即得此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).第39頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六同理則得形心坐標(biāo)：第40頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,其面密度(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為—對x

軸的

靜矩—對y

軸的

靜矩第41頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例3.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片練習(xí).計(jì)算密度均勻的上半橢球體的重心.(教材Ｐ256例3)第42頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.第43頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第44頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.第45頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例4.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第46頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例5.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))第47頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六

G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對位于，利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力第48頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六對xoy面上的平面薄片D,它對原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為第49頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例6.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點(diǎn)解:由對稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。作業(yè)：P259,1,3(1),5(1),6(1)*.第50頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六例7*.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對稱性知引力分量點(diǎn)第51頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六“第21章重積分”的習(xí)題課（2）一、內(nèi)容要求1、了解二重積分的概念和性質(zhì)2、掌握利用直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分3、掌握格林公式及應(yīng)用，會(huì)曲線積分與路線無關(guān)的條件及應(yīng)用4、了解三重積分的概念和性質(zhì)5、掌握利用直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分6、會(huì)重積分在幾何、物理上的簡單應(yīng)用第52頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六二、練習(xí)１.把積分化為三次積分,其中由曲面答:積分域?yàn)榧捌矫嫠鶉傻拈]區(qū)域.原式第53頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六２.試計(jì)算橢球體的體積V.利用“先二后一”計(jì)算.解法1解法2利用三重積分換元法.令則注意：只計(jì)算上半橢球體體積呢？第54頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公共部分.解:可以用柱坐標(biāo)。但由于被積函數(shù)缺x,y,利用“先二后一”計(jì)算方便.原式=３.P2513(1).

第55頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六４.計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=另：原式第56頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六5.計(jì)算其中解:利用對稱性第57頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六6.計(jì)算三重積分其中是由

xoy平面上曲線x=5所圍成的閉區(qū)域.解:

利用柱坐標(biāo)原式繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面第58頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六7.求曲面所圍立體體積.解:

由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于

xoz

第59頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六8.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長度應(yīng)為多少?提示:

建立坐標(biāo)系如圖.由對稱性知由此解得問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,第60頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六(t

為時(shí)間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí),設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)提高題1第61頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六提示:記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用極坐標(biāo))第62頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六由題意知令得(小時(shí))因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).第63頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六提高題2.解:在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則