數(shù)值分析常微分方程初值問題的解法

數(shù)值分析常微分方程初值問題的解法第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六§6.1

基本離散方法§6.2Runge-Kutta方法§6.3線性多步法§6.4收斂性與穩(wěn)定性§6常微分方程數(shù)值解法第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

考慮一階常微分方程的初值問題:例如：其解析解為：§6.1基本離散方法第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六但是,只有一些特殊類型的微分方程問題能夠得到用解析表達(dá)式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解。因此，只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。例如：其解析解為：很難得到其解析解第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例如：其解析解為只有一些特殊類型的微分方程問題能夠得到用解析表達(dá)式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解。因此，只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。要計算出解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值通常取節(jié)點間距為步長，通常采用等距節(jié)點，即取hi=h(常數(shù))。它適合計算機求解,應(yīng)用廣泛,具有應(yīng)用價值。第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六Taylor級數(shù)復(fù)習(xí)函數(shù)在點作Taylor級數(shù)展開：這里x,x0都可以是任意一點。第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六Taylor級數(shù)復(fù)習(xí)則：第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六6.1.2Euler公式利用等距分割，數(shù)值微分來代替導(dǎo)數(shù)項，建立差分格式。1、向前差商公式所以，可以構(gòu)造差分方程稱為局部截斷誤差。顯然，這個誤差在逐步計算過程中會傳播，積累。因此還要估計這種積累第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六定義:在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差。定義:

若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。收斂性：考察局部誤差的傳播和積累第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2、向后差商公式是隱格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六3、中心差商公式是多步，2階格式，該格式不穩(wěn)定第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六對微分方程積分有:類似，可以算出其誤差估計式：2階的方法所以，有是個隱式的方法，要用迭代法求解局部截斷誤差4、梯形公式第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六5、歐拉公式的改進(jìn)：隱式歐拉法向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知數(shù)yi+1同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式歐拉公式，而前者稱為顯式歐拉公式。第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六中點歐拉公式（歐拉二步法）中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點公式具有2

階精度。需要2個初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/。方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大精度提高,顯式多一個初值,可能影響精度第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六改進(jìn)歐拉法Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六Euler方法、隱式Euler方法、梯形方法與單步法計算公式的顯式單步法對應(yīng)關(guān)系隱式單步法顯式Euler方法隱式Euler方法梯形方法(隱式)6.1.3總結(jié)第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六算例：分別用Euler公式和改進(jìn)的Euler公式求解：取步長，計算y(0.5)的近似值

解：歐拉公式：改進(jìn)的Euler公式：

第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

算例

分別用顯式Euler方法，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法初值問題解：取h=0.1，(1)Euler方法為:續(xù)第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

算例

分別用顯式Euler方法，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法解初值問題解：取

h=0.1，梯形方法為：續(xù)第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

算例

分別用顯式Euler方法，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法解初值問題解：取

h=0.1，梯形方法為：預(yù)估－校正Euler方法：續(xù)第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

Euler方法

梯形方法

預(yù)估－校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.8×10－31.0047627.5×10－51.0050001.6×10－40.21.0100008.7×10－31.0185941.4×10－41.0190252.9×10－40.31.0290001.2×10－21.0406331.9×10－41.0412184.0×10－40.41.0561001.4×10－21.0700962.2×10－41.0708004.8×10－40.51.0904901.6×10－21.1062782.5×10－41.1070765.5×10－40.61.1314411.7×10－21.1485372.7×10－41.1494045.9×10－40.71.1782971.8×10－21.1962952.9×10－41.1972106.2×10－40.81.2304671.9×10－21.2490193.0×10－41.2499756.5×10－40.91.2874201.9×10－21.3062643.1×10－41.3072286.6×10－41.01.3486781.9×10－21.3675733.1×10－41.3685146.6×10－4

數(shù)值例子表明，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法比顯式Euler方法有更好的精度。續(xù)第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六基本思想:

根據(jù)微分中值定理有：這里表示在區(qū)間上函數(shù)的平均斜率。

§6.2龍格-庫塔方法建立高精度的單步遞推格式。第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六6.2Runge－Kutta法由Taylor展開記為所以，可以構(gòu)造格式這種格式使用到了各階偏導(dǎo)數(shù)，使用不便。從另一個角度看，取(x,y)及其附近的點做線性組合，表示F，問題就好辦了。當(dāng)然，要求此時的展開精度相同。這種方法稱為Runge－Kutta法第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六在(x,y)處展開有而以2階為例，設(shè)第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六比較對應(yīng)系數(shù),有：1、改進(jìn)的Euler公式2、Heun公式第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六一般的Runge－Kutta法構(gòu)造常見的為3階，4階公式第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六下列公式是三階公式中的一個典型例子：第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六下列公式是經(jīng)典的四階R-K方法(古典的R-K方法)第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六算例：分別用Euler公式，改進(jìn)的Euler公式，經(jīng)典4階R-K

公式計算一階常微分方程初值問題。并與準(zhǔn)確解比較。

解：Euler公式,改進(jìn)的Euler公式取步長h=0.1,經(jīng)典4階R-K公式取步長h=0.2。4階R-K公式：第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六XEuler公式改進(jìn)Euler公式4階R-K公式準(zhǔn)確值0.01.00001.00001.00001.00000.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18321.18320.31.27741.26621.26490.41.35821.34341.34171.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48331.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61531.61251.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.73211.7321計算結(jié)果見下表：第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六§6.3線性多步法思想:

用若干節(jié)點處的y

及y’值的線性組合來近似y(xn+1)。其通式可寫為：當(dāng)10時，為隱式公式;1=0則為顯式公式。

Adams方法是線性多步法的一個代表，它是利用插值多項式進(jìn)行積分得出來的，這樣構(gòu)造線性多步法的方法稱為數(shù)值求積法，它是構(gòu)造線性多步法的一種途徑，另外還有Taylor法。第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

構(gòu)造線性多步法的途徑：1數(shù)值積分法顯式Adams方法隱式Adams方法其它方法

Simpson方法（二步法）方程(1.1)在上積分，即由Simpson求積公式，得用近似，得Simpson方法局部截斷誤差為結(jié)論：Simpson方法是四階隱式方法。例第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

Milne法方程在上積分，即用過點的插值多項式近似得Milne方法局部截斷誤差為結(jié)論：Milne方法是四階顯式線性多步法。第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例：設(shè)確定式中待定系數(shù)0,1,2,0,1,2,3,

使得公式具有4階精度。解：/*y(xi)=yi*/2Taylor展開法第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六解：個未知數(shù)個方程75

令1=2=0Adams

顯式公式

以yi+1

取代yi1，并取1=2=0Adams

隱式公式取1=1,2=0得到辛甫生公式

辛甫生公式例：設(shè)確定式中待定系數(shù)0,1,2,0,1,2,3,

使得公式具有4階精度。第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例：確定下列公式：

中的待定系數(shù)，使公式具有3階精度。第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六由于：只需：具有3階精度，但可以進(jìn)一步驗證公式具有4階精度則有公式：例：確定下列公式：

中的待定系數(shù)，使公式具有3階精度。第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六§6.4收斂性與穩(wěn)定性

收斂性定義若某算法對于任意固定的x=xi=x0+ih，當(dāng)h0(同時i)時有yi

y(xi

)，則稱該算法是收斂的。例：就初值問題考察歐拉顯式格式的收斂性。解：該問題的精確解為歐拉公式為對任意固定的x=xi=ih

，有第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定性例：考察初值問題在區(qū)間[0,0.5]上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計算數(shù)值解。0.00.10.20.30.40.5精確解改進(jìn)歐拉法

歐拉隱式歐拉顯式

節(jié)點xi1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107

1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.2000101

第39頁，共44頁，202