數(shù)理方程課件

數(shù)理方程課件.第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六求解矩形域的拉普拉斯方程使其滿足邊界條件解：令代入式(2.2.1)，得(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)令可得：第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六由邊界條件(2.2.3)得：(2.2.6)本征值問題：(2.2.5)(2.2.6)（1）當(dāng)時，式(2.2.5)的通解為：由式(2.2.6)有：由此得：即式(2.2.5)、(2.2.6)無非零解。所以第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六(2.2.5)(2.2.6)（2）當(dāng)時，式(2.2.5)的通解為：從而由可得：故得（常數(shù)）（3）當(dāng)時，式(2.2.5)的通解為：從而由得：由得：第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六故有即綜合和兩種情況，可知：本征值為：本征函數(shù)為：將的值代入式(2.2.4)：解得第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六故問題的一般解為：由邊界條件得：第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六一個無窮級數(shù)等于零，說明各項系數(shù)均為零。因此：又由得：將

展開成Fourier余弦級數(shù)，并比較系數(shù)有：由此得：第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六解得：代入式(2.2.7)得問題的解為：注意：采用分離變量法求解時，用齊次邊界條件構(gòu)成本征值問題，用非齊次邊界條件定疊加系數(shù)。第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六求解圓形域的拉普拉斯方程例：帶電云與大地之間的靜電場近似勻強靜電場，其電場強度是鉛垂的．水平架設(shè)的輸電線處在這個靜電場中．輸電線是導(dǎo)體圓柱．柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱附近的靜電場也就不再是勻強的了．不過，離圓柱“無限遠(yuǎn)”處的靜電場仍保持勻強，現(xiàn)研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強靜電場（即討論導(dǎo)線附近的電場分布）．解：導(dǎo)線第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六建立如圖所示坐標(biāo)系，Z-軸沿導(dǎo)線。X軸平行由于導(dǎo)線無限長，可將電場看作沿z方向不變。只需要研究x-y平面的狀態(tài)，平面問題。真空靜電勢滿足拉普拉斯方程：邊界條件從云、地、導(dǎo)線三方面考慮。導(dǎo)線的表面是等勢面，取其為電勢零點a為導(dǎo)線半徑云、地在無窮遠(yuǎn)處，靜電場仍為，由有由于X軸平行，有所以第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)導(dǎo)線邊界條件，本題應(yīng)取平面極坐標(biāo)，，坐標(biāo)原點在導(dǎo)線中心。定解問題：方程定解條件用分離變量法求解。令代入方程，得第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六兩邊除以u，乘以得：令：得到：自然周期邊界條件：得：第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六本征值問題：微分方程的通解是:不具周期性，所以舍去。1）2）微分方程的通解是:B=0時具周期性。微分方程的通解是:3）以為周期，所以取第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六本征函數(shù)為：本征值為：將這個結(jié)果代入到關(guān)于R的方程：——Euler方程本征值問題：得：Euler方程的一般形式：變系數(shù)的線性微分方程，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與系數(shù)的冪數(shù)相同。第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六通解為：有：Euler方程可化為：變回原來的變量，可得：對Euler方程做變量變換：解法：通過變換化為常系數(shù)線性微分方程——二階常系數(shù)線性齊次第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六所以疊加得到一般解：由邊界條件定常數(shù)。當(dāng)時，有第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六由此得：即：以及：即：代入一般解：得：令，略去和項后，得：再由邊界條件第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六比較等式兩邊的系數(shù)，有：于是得到導(dǎo)體周圍的電勢分布代入上式中間項為原來靜電場的電勢分布，前面的一項與導(dǎo)體原來的帶電量有關(guān)，如果導(dǎo)體不帶電，則，這時圓柱周圍的電勢是最后一項當(dāng)時可以忽略，它代表在導(dǎo)體附近對勻強電場的修正，是柱面感應(yīng)電荷的影響。第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六注：1.邊界條件決定坐標(biāo)系2.自然邊界條件3.歐拉方程求解4.模型應(yīng)用A、B兩點場強：易擊穿！場強大小與半徑無關(guān)。y軸上場強：高壓電容器極板必須刨得十分光滑！第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六無初始條件的例子：長為l的理想傳輸線，一端接于電動勢為的交流電源，另一端短路，求解線上的穩(wěn)恒電振蕩。解：經(jīng)歷交流電的許多周期后,初始條件所引起的自由振蕩衰減到可以認(rèn)為已經(jīng)消失，這時的電振蕩完全是由交流電源引起的，因此是沒有初始條件的問題：為了計算方便，將電動勢寫成最后將得到的解取虛部。第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六由于振蕩完全由交流電源引起，可以認(rèn)為振蕩的周期與交流電源相同，即令：代入方程得：即：其通解為：因此，方程的一般解為：第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六下面由邊界條件定常數(shù)。由，得：再由，得：解出A和B，有：第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六代入到解的表達(dá)式，得：取虛部，并以代入，得傳輸線內(nèi)穩(wěn)恒的電振蕩：第23頁