利用基本不等式求最值問題常見誤區(qū)探析 論文

利用基本不等式求最值問題常見誤區(qū)探析

摘要：最值問題在高考數(shù)學中一直是?？嫉念}型，在函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等知識中都涉及到最值問題，而基本不等式又是求解最值問題的常用方法?；诖?，筆者結合近幾年的高考考題，借助基本不等式來求解最值問題。本文主要從基本不等式求解最值問題入手，并結合具體實例展開分析。關鍵詞：基本不等式；最值問題；誤區(qū)探析在借助基本不等式求解最值問題時，需要牢牢記住基本不等式成立的三個重要條件，即“一正二定三相等”。所謂的“一正”各項均為正；“二定”指乘積或和為定值；“三相等”一定要驗證等號成立的條件，也就是等號是否取到。在利用基本不等式求最值時，若將這三個條件中的某個條件忽略，將會出現(xiàn)錯誤。因此要想利用基本不等式求解最值問題，首先要判斷這些條件是否成立。在平時的教學中，發(fā)現(xiàn)學生借助基本不等式求解最值問題時，在判斷三個條件時出錯率較高。本文通過分析相應的例題，探尋這類題目內(nèi)應用的最為常規(guī)的解題方式。1基本不等式的相關概述利用基本不等式求解最值問題，需要注意以下幾點：首先，表達式內(nèi)所含變量要是正數(shù)；其次，表達式內(nèi)所含變量各項之和或者是各項的乘積為定值；最后，表達式內(nèi)的含變量各項可以相等。大部分同學未能透徹的理解使用條件，進而導致解題階段出現(xiàn)錯誤，下面先對基本不等式的相關內(nèi)容進行回顧?；静坏仁降奈淖直硎鰹閮蓚€正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即：a+32ab，當且僅當a=b時等號成立。借助基本不等式求解最值問題：已知x＞0，y＞0，若積xy為定值P，則x+32P，當且僅當x=y時等號成立，可簡記為積為定值和最小。若和x+y為定值S，則xy￡S2，當且僅當x=y時等號成立，可簡記為和為定值積最大。42利用基本不等式求最值問題常見誤區(qū)探析

2.1忽略取“正”條件基本不等式的兩個變量必須要是正實數(shù)，如果兩個變量同為負實數(shù)，那么不等式要么不成立，要么是不等號的方向發(fā)生改變。例1：已知實數(shù)x≠0，求解y=x+4/x的取值范圍。錯誤解析：由基本不等式可得到，y=x+4/x，則取值范圍為[4,﹢]。 錯誤原因分析：主要是因為在上述例題中，不能確定x、x+4為正數(shù)，不可直接使用基本不等式進行例題解答。正確解析：當x＞0時，則y 4

=+3x2x4gx=4，當且僅當x=4，即x=2時等號成立。x當x＜0，-x＞0，則y=-[(-x)+-4)]￡-2(-x)(-4)=-4，僅當-x=-4，則x=-2時等號xxxy=-[(-x)+-4)]￡-4。故y=x+4/x，其取值范圍為（-，-4]U[4,+成立，即x)。2.2忽略了“定值”的情況使用基本不等式求解最值，必須要滿足和為定值或者是積為定值的情況，若不具備“定值”條件，需要進行適當?shù)摹芭錅悺?，構造出定值。?：求y=4x+x2,(x>1)的最小值。-1錯誤解析：因為x>1，所以4x>0,21>0，所以=4x+x232422x，->yx×x-1x-1x-1即當且僅當x 1=+3(x 1=-23舍去）等號成立。2所以y=4x2+-1的最小值為43+4。錯誤原因分析：本題所要求解的是關于x的函數(shù)，y=4x2+-1（x＞1）的最小值。由于4x與21的積并不是定值，也就是所謂的最小值屬于變化量，最小值并不x-確定，很難直接使用基本不等式進行求解。本題求解的最小值必須要是確定的值，必須要滿足積為定值的條件，也就是將4x拆解成4（x-1）+4。正確解析：因x＞1，則x-1＞0，所以y=4x+21=4(x-1)++21324(x-1)×2+=42+4，當且僅當4(x-1)2=-，即x-x-x-11x=+2（x=-2舍）時等號成立。22最小值或幾個正數(shù)的積的最大值時，通所以，當x=+2時，ymin=42+4。2評注：利用基本不等式求幾個正數(shù)的和的常要通過拼湊方式進行構造條件。2.3忽視“取等”條件情況使用基本不等式最值，必須要確保等號能夠取得到，學生在解題過程中，時?？梢姾雎匀〉忍柕默F(xiàn)象，兩次取等號經(jīng)常會出現(xiàn)前后矛盾的現(xiàn)象。例3：若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，求1 1+b的最小值。a錯誤解析：因為a+2b322，則22ab≤1，所以ab￡1，故211

+=a+b=232=42，所以1 1+的最小值為42。ababab1ab8錯誤分析：這一例題兩處使用到基本不等式，忽略了取等的條件，兩次取等情況，a,b的取值均很難滿足，因此最小值是錯誤的。正確解析：解法一：因為a,b屬于正實數(shù)，且a+2b=1。所以11

+=ba+2b a++2b33+22，當且僅當2b=a，即a=2-1b=2-2時，等號成立。aabab2所以1 1+b的最小值為3+22。a解法二：選擇“1”代換，因為a,b屬于正實數(shù)，且a+2b=1。所以1 1

+=(1 1+)1×=(1 1+b)(a+2)33+22，當且僅當2b=a，即a= 2-1,b=2-2時，ababaab2等號成立，則1 1+b的最小值為3+22。a例4：已知函數(shù)fx()=x2-2x+a,x?(0,2],則常數(shù)a＞0，求解函數(shù)f(x)的最小值。x錯誤解析：fx()=x2-2x+a a

=+-x232a-2,當且僅當x=a,即x=a時等號成xx立，所以函數(shù)f(x)的最小值為2a-2。分析：這一解題考慮到了取等的條件，但是忽略了等號取到的條件。正確解析：fx()=x2-2x+a a

=+-x232a-2,當且僅當=a,即x=a時等號成xx立。當0＜a≤2，即0＜a≤4，f(x)的最小值為2a-2。當a≥2，則a≥4時，f(x)的最小值為a。2以上是學生在使用基本不等式求解最值問題時常犯的幾種錯誤，通過這樣的總結和分析，希望對學生在利用基本不等式解決有關最值問題時有所幫助，在以后的學習中繼續(xù)深刻理解“一正二定三相等”的本質(zhì)含義。3結束語綜上所述，基本不等式的應用是比較廣泛的，在學習過程中，要深刻理解基本不等式的內(nèi)在實質(zhì)，搞清其條件、公式、結論之間的辯證關系是關鍵．我們從上面的分析可以看出用基本不等式解決某些最值問題還是很方便的，這使得我們在解最值問題的時候可以從容面對，而且有時候還能達到意想不到的效果。參考文獻：

[1]湯池武.利用基本不等式求最值問題常見的三個誤區(qū)[J].中學生數(shù)理化(高二數(shù)學),2020(11):38-39.[2]李世桂