淺談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)和不等式中的應(yīng)用 論文

申報(bào)論文

題目:淺談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)和不等式中的應(yīng)用單位:霍邱縣馮瓴鎮(zhèn)塘莊小學(xué)姓名：韓謀報(bào)申報(bào)專業(yè)：數(shù)學(xué)2022年9月8日【摘要】此文旨在將高中階段數(shù)學(xué)中與導(dǎo)數(shù)有關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行整理并加以應(yīng)用進(jìn)行了討論，為解決高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)和不等式內(nèi)容給與了簡(jiǎn)便的手段，同時(shí)為我們做題時(shí)找出知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)和用處，在解題的時(shí)候提供了合理的思路和技巧，為解題節(jié)省了較多的時(shí)間。要求學(xué)生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，為今后在高考可能會(huì)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題作為踏板。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用，把此類問(wèn)題可以很好的聯(lián)系起來(lái)，并對(duì)題目中的關(guān)鍵條件加以運(yùn)用，這在高中階段解題過(guò)程中是一個(gè)非常重要的解題方法。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)函數(shù)不等式應(yīng)用目錄1引言12求導(dǎo)在高中階段中的函數(shù)使用12.1求解函數(shù)中圖像趨勢(shì)：?jiǎn)握{(diào)性12.2高中函數(shù)中最大值和最小值的問(wèn)題33單獨(dú)變量在不等式滿足的條件下一直成立問(wèn)題54結(jié)束語(yǔ) 75參考文獻(xiàn) 71.引言

在我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候就知道，導(dǎo)數(shù)是其中的基礎(chǔ)，為研究函數(shù)單調(diào)性和最值，以及圖像問(wèn)題起到非常重要的作用，并在歷年的高考中已經(jīng)占據(jù)了相當(dāng)高的地位，是高考和各地區(qū)大小模擬?？嫉念愋?，2003年，2006年以及2009年全國(guó)各地區(qū)高考卷子中都有與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題。在高考里面導(dǎo)數(shù)與解析幾何以及函數(shù)，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)，涉及的知識(shí)點(diǎn)也是比較多，考查運(yùn)用實(shí)際數(shù)學(xué)知識(shí)解決高中數(shù)學(xué)的綜合問(wèn)題為高考命題的聚焦點(diǎn)。因此本文就導(dǎo)數(shù)在各方面的應(yīng)用依次進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。在歷年高考中，很多學(xué)生會(huì)為解答數(shù)學(xué)題產(chǎn)生困惱，其一是因?yàn)楣奖容^多，相比較初中要多的多，其二是因?yàn)楣奖容^晦澀難懂，需要大量的時(shí)間去消化，這就導(dǎo)致了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的難度，同時(shí)再加上學(xué)生做題不夠靈活也會(huì)導(dǎo)致此類的結(jié)果，所以我們?cè)谡莆展降耐瑫r(shí)也需要掌握各種解題的思路，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，就要把導(dǎo)數(shù)的各種知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一塊，在做題的時(shí)候需要多去聯(lián)想，把頭腦中固定的知識(shí)點(diǎn)用的靈活得當(dāng)，而不是固定思維，不去拓展思考。在這里我們也需要知道導(dǎo)數(shù)的真正的含義，它在數(shù)學(xué)上的形態(tài)以及在數(shù)學(xué)上代表的真正的意義。在這篇文章中，我會(huì)列舉出高中?？嫉念}型進(jìn)行深入剖析，了解導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中起到的關(guān)鍵作用。2.求導(dǎo)在高中階段函數(shù)中的使用利用導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的形態(tài)是一種非常常用的方法。在解析函數(shù)的圖象、判別函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的最值這些方面，使用導(dǎo)數(shù)可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條例化。2.1求解函數(shù)中圖像趨勢(shì)：?jiǎn)握{(diào)性

函數(shù)的基本性質(zhì)大家都了解，就是單調(diào)性，單調(diào)性是解決函數(shù)需要必備的最基礎(chǔ)的知識(shí)。用單調(diào)性的定義來(lái)解決單調(diào)性問(wèn)題有較強(qiáng)的技術(shù)性，不是很好掌握，如果用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判別函數(shù)的單調(diào)性，相比較而言就顯得十分的簡(jiǎn)便了。對(duì)于初等函數(shù)的單調(diào)性，我們都是非常的了解了，在對(duì)于特定區(qū)間上的單調(diào)性也是非常容易確定的。每當(dāng)大家所論證的函數(shù)是特別基初等函數(shù)，都是想到利用復(fù)合的函數(shù)來(lái)判斷他的單調(diào)性，這個(gè)方法也是我們經(jīng)常用到的。單調(diào)性，遵循“同增異減”的法則來(lái)獲得，若為比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)時(shí)，利1用導(dǎo)數(shù)可化難為易，輕松求解[1]。我們?cè)谧龃祟愵}目，一定注意區(qū)間，切記不要急躁，一定想到導(dǎo)數(shù)在其中的作用。我們不僅要掌握知識(shí)，還需要靈活的運(yùn)用知識(shí)。高中的導(dǎo)數(shù)，在這里面起到很關(guān)鍵的步驟，那我們?nèi)タ纯聪铝械念}目，看看導(dǎo)數(shù)在里面運(yùn)用的簡(jiǎn)便方法，同時(shí)全面透析導(dǎo)數(shù)的意義以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的地位。例1．求下列題目中函數(shù)涉及到的單調(diào)區(qū)間范圍 ex(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝ ； x－2解：(1)函數(shù)f(x)的區(qū)間范圍為0到＋∞．1 （2x－1）（2x＋1）f′(x)＝2x－＝ .x x因?yàn)閤>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x> 2

，所以此函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為2 2

到＋∞，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間2為0到 2

。

2(2)f(x）函數(shù)區(qū)間為－∞到2∪2到＋∞．ex（x－2）－ex ex（x－3）f′(x)＝ ＝ .（x－2）2 （x－2）2因?yàn)閤∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定義域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞)，因此函數(shù)f(x)的區(qū)間－∞到2和2到3．例2．已知函數(shù)f(x)的函數(shù)表達(dá)式為x3－ax－1：

(1)若f(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a合理范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取 值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

【解】(1)由已知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，

又a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立．∵得a≥3x2在x∈(－1，1)時(shí)恒成立．在x∈(－1，1)時(shí)，3x2<3，∴只需a≥3.當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1，1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)，∴a≥3.在實(shí)數(shù)a≥3中，函數(shù)f(x)在－1到1里面是遞減單調(diào)的．我們?cè)谂卸ê瘮?shù)圖像遞增還是遞減的時(shí)候，最多的是借助圖像在平面直角坐標(biāo)系里面的走向。如果對(duì)于未知的函數(shù)，或者分段函數(shù)時(shí)，就會(huì)手足無(wú)措，毫無(wú)思路，或者說(shuō)對(duì)于圖像是什么樣子的，也不得而知，這就需要我們擁有很強(qiáng)的數(shù)2學(xué)功底去解決此類問(wèn)題。但是學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)之后，我們可以通過(guò)求導(dǎo)的方式，對(duì)于問(wèn)題中函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求導(dǎo)，把函數(shù)的斜率算出來(lái)之后就可以知道函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系里面變化趨勢(shì)或者判斷在固定區(qū)間的上升或者下降，這樣就把復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，利用科學(xué)而又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)手段，將問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化，對(duì)于在高考考試，節(jié)省了很多解題時(shí)間，為高考取得高分奠定基礎(chǔ)。所以在考試中對(duì)于這類問(wèn)題比較適合用更加簡(jiǎn)單的求導(dǎo)的方法，在解決問(wèn)題的同時(shí)也節(jié)省了很多做題時(shí)間，而且會(huì)使自己的思路更加明朗清晰。掌握了此類解題技巧與方法，在我們平時(shí)做題的時(shí)候應(yīng)當(dāng)常加應(yīng)用，那么在考試做題時(shí)就會(huì)如老虎添翼，如魚得水，像是在做順風(fēng)船一樣，一路上做題流暢。所以在高考時(shí)間緊張情況下，可以騰出更多時(shí)間去解決其他題目，大家在平時(shí)的訓(xùn)要得以重視，不要太過(guò)于拘泥于形式，解題應(yīng)當(dāng)靈活變通，發(fā)散思維，不要做題的時(shí)候，腦子一片死水，毫無(wú)解題邏輯，只想當(dāng)然，而且遇到難題，就不去動(dòng)腦思考，遇難則退。這樣只會(huì)讓基礎(chǔ)更加薄弱，所以在學(xué)習(xí)求導(dǎo)知識(shí)的同時(shí)，還要真正理解導(dǎo)數(shù)的含義，理解求導(dǎo)的由來(lái)和背景，這樣才能充分的利用求導(dǎo)知識(shí)，做到不迷惑，知識(shí)點(diǎn)不遺忘，總而言之求導(dǎo)方法，是高中階段比較強(qiáng)有力的手段，學(xué)習(xí)求導(dǎo)可以大大節(jié)省解題時(shí)間，同時(shí)讓思路更加清晰流暢。2.2高中函數(shù)中最大值和最小值的問(wèn)題

類似于這樣求函數(shù)最大值和最小的值問(wèn)題在高中知識(shí)的學(xué)習(xí)中是非常重要的，也是經(jīng)常提到的。這就需要我們將高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，解決這類問(wèn)題經(jīng)常要很強(qiáng)的思考能力，利用導(dǎo)數(shù)解決此類問(wèn)題就是其中一種簡(jiǎn)單而又具有程序化的方法。用求導(dǎo)方法求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題簡(jiǎn)便之處在于我們能通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷出原函數(shù)的圖像變化趨勢(shì)，通常閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，這樣把問(wèn)題就可以化成求函數(shù)的極值點(diǎn)和各端點(diǎn)處的函數(shù)值問(wèn)題。求值域、最值有很多的方法,主要有：換元法、不等式法、配方法、定義法、判別式法、反函數(shù)法等等[2]，但利用導(dǎo)函數(shù)的方法永遠(yuǎn)是最經(jīng)典的方法！下面我們通過(guò)具體的題目來(lái)看一下求導(dǎo)是如何在解決此類函數(shù)問(wèn)題中合理利用的。已知函數(shù)f(x)＝x-1/x－lnx。(1)求f(x)在坐標(biāo)系的單調(diào)區(qū)間；3(2)函數(shù)f(x)在[1/e,e]的最值。解析：(1)f(x)＝x-1/x－lnx＝1－1/x－lnx，f(x)的x取值范圍是（0，＋∞）?！遞′(x)＝1/x2－1/x-1-x/x2，

由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1，

∴f(x)＝x-1/x－lnx在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減。(2)由(1)得f(x)在[1/e,1)上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，∴f(x)在[1/e,e]上的最大值為f(1)＝(1－1)/1－ln1＝0。又f(1/e)＝1－e－ln(1/e)＝2－e，f(e)＝1－1/e－lne＝－1/e，且f(1/e)<f(e)，

∴f(x)在(1/e,e)上的最小值為f(1/e)＝2－e，

∴f(x)在[1/e,e]上最大值是0，最小值是2－e。這類題目難度中等，需要大家對(duì)于知識(shí)掌握充分，并會(huì)靈活運(yùn)用即可！我們?cè)诮鉀Q此類題目的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)注意區(qū)間。先確定正確的區(qū)間，在正確的區(qū)間判定函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的走向以及圖像性質(zhì)和圖像大致位置。同時(shí)也要注意每個(gè)字母代表的符號(hào)含義，切不要著急做題。我們看看這題是如何使用求導(dǎo)的方式，去把題目中的問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)便化。首先第一步，對(duì)于問(wèn)題分析，確定正確的區(qū)間。在這前提下實(shí)施第二步，把問(wèn)題考察的知識(shí)點(diǎn)要看透，分析完畢。我們可以用導(dǎo)數(shù)的形式確定函數(shù)圖像的斜率，確定函數(shù)圖像的遞增或者遞減區(qū)間，我們?cè)谂卸骋欢蔚膱D像后確定某一臨界點(diǎn)，我們對(duì)于這一臨界點(diǎn)，分析出最大值和最小值的位置[3]。這個(gè)時(shí)候需要我們非常的細(xì)心，心思也需要縝密，切不可，隨意判斷，同時(shí)還要考慮實(shí)際的情況，把不符合的答案可以率先排除，這道題就可以用求導(dǎo)的方式的完美的解答出來(lái)，這類題目作為高中的題目，在大大小小的考試都會(huì)涉及到，所以我們需要多利用求導(dǎo)的方式，進(jìn)行解析，注意此題的重難點(diǎn)，要清晰認(rèn)識(shí)，不要盲目的做題，并把求導(dǎo)的知識(shí)合理利用在題目中。高考的題目比較注重基礎(chǔ)，同時(shí)此題也遵循這個(gè)理念，但是如果沒(méi)有用合理的手段，是很容易把問(wèn)題復(fù)雜化的。如果利用求導(dǎo)的方法，可以使問(wèn)題中的矛盾4點(diǎn)一一解釋出來(lái)和梳理出來(lái)，并且還可以節(jié)省很多的時(shí)間，所以求導(dǎo)作為強(qiáng)有力的解題手段，大家一定要對(duì)于這個(gè)方法，進(jìn)行熟練的掌握，并熟背于心，滾瓜爛熟，在解題的時(shí)候才能游刃有余，手到擒來(lái)。我們?cè)跀?shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋尘爸?，多多利用求?dǎo)的方法，不要因?yàn)閱?wèn)題簡(jiǎn)單，就可以忽略這類方法，簡(jiǎn)單的題目或許還可以用其他合適方法做的，但是復(fù)雜的題目就需要一定技巧，可是復(fù)雜的題目也是由簡(jiǎn)單的題目改編或者拼湊而成?？偠灾?，不管題目難度，我們率先想到求導(dǎo)方法，對(duì)于問(wèn)題的把控就會(huì)有更加信心，更加有策略性，使解題的步驟更加完美和突出，使我們對(duì)解題的思路會(huì)有更加清晰的認(rèn)識(shí)，我們也應(yīng)該對(duì)于問(wèn)題的細(xì)節(jié)把握更加精準(zhǔn)。所以對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，求導(dǎo)這樣的方法用處更加突出，作用更大，所以我們需要多運(yùn)用求導(dǎo)的方法！3.單獨(dú)變量在不等式滿足的條件下恒成立問(wèn)題對(duì)于恒成立條件求函數(shù)區(qū)間：

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的遞增或者遞減區(qū)間范圍；

(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍． 1解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a. x

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0恒成立，則f(x)只有單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)． 1 1②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＞0，得0＜x＜；由f′(x)＜0，得x＞； a a 1

所以f(x)的遞增趨勢(shì)范圍是0到.a

(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立． 1

設(shè)g(x)＝lnx－a(x－1)，x＞0，則g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0， x

①當(dāng)a≥1時(shí)，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，

則g(x)在x∈1到＋∞期中遞減趨勢(shì)的，

所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1時(shí)滿足題意． 1②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令g′(x)＞0，得0＜x＜； a5 1

令g′(x)＜0，得x＞.a則g(x)在(1，a)上遞增趨勢(shì)的，所以當(dāng)x∈(1，a)時(shí)，g(x)＞g(1)＝0，即0＜a＜1時(shí)不滿足題意(舍去)． 1

③當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)＝－a＞0，則g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， x

所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＞g(1)＝0，即a≤0時(shí)不滿足題意(舍去)．綜上所述，實(shí)數(shù)a的范圍為1到＋∞．這類題目難度比較大，涉及的高中知識(shí)比較多，同樣也是非常重要的知識(shí)。比如函數(shù)與不等式，函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系位置關(guān)系以及同時(shí)涉及到初中學(xué)到的不等式的性質(zhì)還有恒成立的關(guān)鍵條件以及恒成立的結(jié)果。所以此類問(wèn)題綜合性還是很大的，如果對(duì)于其中一個(gè)或者多個(gè)知識(shí)點(diǎn)不了解的話，解題就會(huì)出現(xiàn)毫無(wú)思路，或者出現(xiàn)短路，知識(shí)點(diǎn)焊接不起來(lái)，這也也是非常嚴(yán)重的。所以我們?cè)趯W(xué)會(huì)求導(dǎo)的方法的同時(shí)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)把握也要有很強(qiáng)的掌控能力，在這些知識(shí)點(diǎn)都掌握的情況下我們?cè)偃シ治鰧?dǎo)數(shù)在期中的作用，就可以判定函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系的走向以及最值的在直角坐標(biāo)系中的位置特點(diǎn)，這樣我們就能夠很清晰的理解不等式恒成立的條件了。在了解恒成立的條件之后，我們?cè)偃ダ貌坏仁降男再|(zhì)，就能得到需要的區(qū)間，導(dǎo)數(shù)在這個(gè)題目的用處也就得以體現(xiàn)。我們舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們?cè)诤纫粋€(gè)封閉的牛奶時(shí)，有的學(xué)生可以把蓋子打