第二章半導體中的載流子及其輸運性質

。第二章 半導體中的載流子及其輸運性質1、對于導帶底不在布里淵區(qū)中心，且電子等能面為旋轉橢球面的各向異性問題，證明每個旋轉橢球內所包含的動能小于（ E－EC）的狀態(tài)數(shù) Z由式（2-20）給出。證明：設導帶底能量為EC，具有類似結構的半導體在導帶底附近的電子等能面為旋轉橢球面，即E(k)EC2k12k22k322mtml與橢球標準方程k12k12k221a2b2c2相比較，可知其電子等能面的三個半軸a、b、c分別為ab2mt(EEc)21[2]c2ml(EEc)1[2]2于是，K空間能量為E的等能面所包圍的體積即可表示為4413Vabc(8mlmt2)2(EEC)2332因為k空間的量子態(tài)密度是V/(4π3)，所以動能小于（E－E）的狀態(tài)數(shù)（球體內的狀C態(tài)數(shù)）就是1(8mlmt2)1/23/2Z32V3(EEC)2、利用式（2-26）證明當價帶頂由輕、重空穴帶簡并而成時，其態(tài)密度由式（2-25）給出。證明：當價帶頂由輕、重空穴帶簡并而成時，其態(tài)密度分別由各自的有效質量mp輕和mp重表示。價帶頂附近的狀態(tài)密度應為這兩個能帶的狀態(tài)密度之和。即：V(2mp輕)3/2(EVE)1/2gV(E)1232精選資料，歡迎下載2 第2章gV(E)2V(2mp重)3/2E)1/2(EV223價帶頂附近的狀態(tài)密度gV(E)gV(E)1gV(E)2即：V(2mp輕)3/21/2V(2mp重)3/2E)1/2gV(E)223(EVE)+223(EVV(EVE)123232]222[(2mP輕)（2mp重）只不過要將其中的有效質量*理解為mp*(mp3輕/2mp3重/2)2/3則可得：mp*3232（3/2]帶入上面式子可得：(2mp)[(2mp輕)2mp重)gV(E)V(2m*p)3/2(EVE)1/22233、完成本章從式（2-42）到（2-43）的推演，證明非簡并半導體的空穴密度由式（2-43）決定。解：非簡并半導體的價帶中空穴濃度p0為p0EV(1fB(E))gV(E)dEE'V帶入玻爾茲曼分布函數(shù)和狀態(tài)密度函數(shù)可得p01(2mp*)32EVEEF)(EVE)12dE223E'Vexp(K0T令x(EVE)(K0T),則(EE)12(KT)12x12V0d(EV E) k0Tdx將積分下限的 E'V（價帶底）改為 -∞，計算可得p02(mp*k0T32exp(EVEF)22)K0T令。NV2(m*pk0T322(2m*pk0T)3222)h3則得EF EVP0 NVexp( )4、當E－EF=1.5kT、4kT、10kT時，分別用費米分布函數(shù)和玻耳茲曼分布函數(shù)計算電子占據這些能級的幾率，并分析計算結果說明了什么問題。f(E)1EEFEEF解：已知費米分布函數(shù)1ekT；玻耳茲曼分布函數(shù)fBekTf(E)10.1824fBe1.50.223當E－EF1e1.5；=1.5kTf(E)10.01799fBe40.01831e4F，；當E－E=4kT時：f(E)14.54105，fBe104.5105當E－EF時：1e10；=10kT計算結果表明，兩種統(tǒng)計方法在－F＜2kT時誤差較大，反之誤差較小；－F高于kTEEEE的倍數(shù)越大，兩種統(tǒng)計方法的誤差越小。5、對非簡并半導體證明其熱平衡電子和空穴密度也可用本征載流子密度ni和本征費米能級E表示為in0niexp(EFEi)p0niexp(EiEF)kT；kTn0NCexp(ECEF)證明：因為導帶中的電子密度為：kTniNCexp(ECEi)本證載流子濃度為kTn0NCexp(ECEF)NCexp(EFEiECEi)結合以上兩個公式可得：kTkT精選資料，歡迎下載4 第2章NCexp(ECEi)exp(EFEi)niexp(EFEi)kTkTkTp0NVexp(EVEF)因為價帶中的空穴密度為：kTnNVexp(EVEi)本證載流子濃度為ikTp0niexp(EiEF)同理可得：kT6、已知6H-SiC中氮和鋁的電離能分別為0.1eV和0.2eV，求其300K下電離度能達到90%的摻雜濃度上限。19 -3 19 -3解：查表 2-1可得，室溫下 6H-SiC的Nc=8.9×10cm，Nv=2.5×10cm。未電離施主占施主雜質數(shù)的百分比為D(2ND)exp(ED)Nck0T將此公式變形并帶入數(shù)據計算可得：ND(DNc)exp(ED)(0.18.91019)exp(0.1)9.5231016cm32k0T20.026當在6H-SiC中參入鋁元素時：未電離受主占受主雜質數(shù)的百分比為D(4NA)exp(EA)NVk0T將此公式變形并帶入數(shù)據計算可得：NA(DNV)exp(ED)(0.12.51019)exp(0.2)2.851014cm34k0T40.0267、計算施主濃度分別為14-316-3、1018-3的硅在室溫下的費米能級（假定雜質全10cm、10cmcm部電離）。根據計算結果核對全電離假設是否對每一種情況都成立。核對時，取施主能級位于導帶底下0.05eV處。ECEF解：因為假定假定雜質全部電離，故可知n0NCekTND，則可將費米能級相對于導帶底的位置表示為。EECkTlnNDFNC將室溫下Si的導帶底有效態(tài)密度NC=2.8×1019cm-3和相應的ND代入上式，即可得各種摻雜濃度下的費米能級位置，即EFEC0.026ln10140.326eVD14cm-32.81019時：N=101016D16cm-3EFEC0.026ln2.810190.206eVN=10時：EFEC0.026ln10180.087eVD18cm-32.81019時：N=10為驗證雜質全部電離的假定是否都成立，須利用以上求得的費米能級位置求出各種摻雜濃度下的雜質電離度nD 1ND1 2e

ED EFkT為此先求出各種摻雜濃度下費米能級相對于雜質能級的位置ED EF (EC EF) (EC ED) EC EF ED于是知ND=1014cm-3時：ND=1016cm-3時：ND=1018cm-3時：相應的電離度即為ND=1016cm-3時：ND=1016cm-3時：

EDEF0.3260.050.276eVEDEF0.2060.050.156eVEDEF0.0870.050.037eVnD1ND0.27612e0.0260.99995nD10.995ND0.15612e0.026精選資料，歡迎下載6 第2章nD10.67ND0.037D18cm-312e0.026N=10時：驗證結果表明，室溫下ND=1014cm-3時的電離度達到99.995%，ND=1016cm-3時的電離度達到99.5%，這兩種情況都可以近似認為雜質全電離；ND=1019cm-3的電離度只有67%這種情況下的電離度都很小，不能視為全電離。8、試計算摻磷的硅和鍺在室溫下成為弱簡并半導體時的雜質濃度。解：設發(fā)生弱簡并時ECEF2kT=0.052eV已知磷在Si中的電離能ED=0.044eV，硅室溫下的NC=2.819-310cmE=0.0126eVC19-3磷在Ge中的電離能D，鍺室溫下的N=1.110cm對只含一種施主雜質的n型半導體，按參考書中式（3-112）計算簡并是的雜質濃度。將弱簡并條件 EC EF 2k0T帶入該式，得22.810190.044ND(12e2e0.026)F1/2(2)7.81018cm3;對Si:式中，F(xiàn)1/2(2)1.29310221.110190.00126ND(12e2e0.026)F1/2(2)2.31018cm3對Ge:9、利用上題結果，計算室溫下?lián)搅椎娜鹾啿⒐韬玩N的電子密度。解：已知電離施主的濃度nDNDNDNDEFEDEFECECEDVED12ekT12ekTekT12e2ekTnDND0.405ND0.04410181018cm3對于硅：12e2e0.026，n0nD0.4057.83.16nDND0.694ND0.012610181018cm3對于鍺：12e2e0.026，n0nD0.6942.31.610、求輕摻雜Si中電子在104V/cm電場作用下的平均自由時間和平均自由程。解：查圖2-20可知，對于Si中電子，電場強度為410V/cm時，平均漂移速度為8.5×106cm/svd8.51062E104850cm/Vs根據遷移率公式可知。qncmc0.26m0850cm2/Vs根據電導遷移率公式mc，其中，c代入數(shù)據可以求得平均自由時間為：ncmc0.0850.269.10810311.2581013sq1.61019進一步可以求得平均自由程為Ln vdn 8.5106 1.2581013 1.069106cm11、室溫下，硅中載流子的遷移率隨摻雜濃度 N（ND或NA）變化的規(guī)律可用下列經驗公式來表示101 (N/N)式中的 4個擬合參數(shù)對電子和空穴作為多數(shù)載流子或少數(shù)載流子的取值不同，如下表所示：作為多數(shù)載流子時的數(shù)據作為少數(shù)載流子時的數(shù)據101N(cm-3)0(cm2/VsN(cm-3)222(cm/Vs)(cm/Vs)(cm/Vs))電子6512658.5×10160.7223211808×10160.9空穴484471.3160.76130370171.25×108×10本教程圖 2-13 中硅的兩條曲線即是用此表中的多數(shù)載流子數(shù)據按此式繪制出來的。試用Origin函數(shù)圖形軟件仿照圖2-13的格式計算并重繪這兩條曲線，同時計算并繪制少數(shù)載流子的兩條曲線于同一圖中，對結果作適當?shù)膶Ρ确治?。解：根據?shù)據繪圖如下結果說明多子更容易受到散射影響，少子遷移率要大于多子遷移率。另外電子遷移率要比空穴遷移率大。12、現(xiàn)有施主濃度為15-3的Si，欲用其制造電阻R=10kΩ的p型電阻器，這種電阻器5×10cm精選資料，歡迎下載8第2章在=300K、外加5V電壓時的電流密度J=50A/cm2，請問如何對原材料進行雜質補償？TV 5I 0.5mA解：根據歐姆定律 R 10AI0.5103105cm2外加5V電壓時的電流密度J=50A/cm2，所以截面積J50L0.5(cm)1設E=100V/cm，則電導率為σ。則L=V/E=5×10－2cm，RAqppqp(NAND)其中p是總摻雜濃度（N+N）的參數(shù)AD應折中考慮，查表計算：當NA=1.25×1016cm-3時，NA+ND=1.75×1016-3p410cm2/Vscm，此時，qp(NAND)0.4920.5計算可得16-3NA=1.25×10cm13、試證明當np且熱平衡電子密度0i(pn1/2時，材料的電導率最小，并求300K≠n=n/)時Si和GaAs的最小電導率值，分別與其本征電導率相比較。q(nnpp)p解：⑴由電導率的公式，又因為q(nnni2p)由以上兩個公式可以得到nd0nni2p0令dnn2，可得nnip因此nd22ni22(p)32np0又dn2n3ni3nppnini故當n時，取極小值。這時11minniq[(p)2n(n)2所以最小電導率為np

ni2nnpp] 2niqnp。因為在一般情況下＞p，所以電導率最小的半導體一般是弱p型。n⑵對Si，取n1450cm2/Vs，p500cm2/Vs，n1.01010cm3i則min21.010101.6101914505002.72106s/cm而本征電導率iniq(np)1.010101.61019(1450500)3.12106s/cm對GaAs，取n8000cm2/Vs，p400cm2/Vs，ni2.1106cm3則min22.11061.6101980004001.2109s/cm而本征電導率iniq(np)2.11061.61019(8000400)2.8109s/cm14、試由電子平均動能3kT/2計算室溫下電子的均方根熱速度。對輕摻雜Si，求其電子在10V/cm弱電場和104V/cm強電場下的平均漂移速度，并與電子的熱運動速度作一比較。1mn*v23kT解：運動電子速度v與溫度的關系可得22v23k0T(31.381016300)211.124107cm/s因此mn*1.089.11028當E10V/cm：v漂E1500101.5104cm/s∴v2v漂當E104V/cm，由圖2-20可查得：vd8.5106cm/s，相應的遷移率vd/E850cm2/Vs15、參照圖1-24中Ge和Si的能帶圖分析這兩種材料為何在強電場下不出現(xiàn)負微分遷移率效應。答：(1) 存在導帶電子的子能谷；子能谷與主能谷的能量差小于禁帶寬度而遠大于kT；電子在子能谷中的有效質量大于其主能谷中的有效質量，因而子能谷底的有效態(tài)密度較高，遷移率較低。(這道題還是不知道該怎么組織語言來解釋)16、求Si和GaAs中的電子在(a)1kV/cm 和(b)50kV/cm 電場中通過 1m距離所用的時間。解：查圖 2-20可知：E=1kV/cm，Si中電子平均漂移速度GaAs 中電子平均漂移速度

n1.8106cm2/Vsn8106cm2/Vs精選資料，歡迎下載10 第2章E=50kV/cm ，Si中電子平均漂移速度GaAs 中電子平均漂移速度a）當ε=1kV/cm時因此Si中電子通過 1m距離所用的時間為

n 107cm2/V sn 107cm2/V sts11045.611v610s1.810因此GaAs中電子通過1m距離所用的時間為ts11041.251011sv8106b）當ε=50kV/cm時因此Si中電子通過 1m距離所用的時間為ts110411011sv107因此GaAs中電子通過1m距離所用的時間為ts110411011sv10717、已知某半導體的電導率和霍爾系數(shù)分別為1cm和-1250cm2/C，只含一種載流子，求其密度與遷移率。解：因為單載流子霍爾系數(shù)RH<0，所以其為n型半導體11151015cm2根據公式RHn19nq可得qRH1.610(1250)nqn110191250cm2/Vs根據n可得nq510151.618、已知InSb的μn=75000cm2/V.s，μp=780cm2/V.s，本征載流子密度為1.6×1016cm-3，求300K時本征InSb的霍耳系數(shù)和霍爾系數(shù)為零時的載流子濃度。RH1pnb2q(pnb)2解：根據兩種載流子霍爾效應公式1bbnRHb)，其中本證半導體霍爾系數(shù)qni(1p當T=300K時，b=96.15。RH1pnb21.611.610161.6101696.152383cm3/C此時q(pnb)