模糊數(shù)學(xué)課件完整版

一．模糊數(shù)學(xué)的基本概念二．模糊關(guān)系與模糊矩陣三．模糊聚類分析方法四．模糊模式識(shí)別方法五．模糊綜合評(píng)判方法模糊數(shù)學(xué)方法一.

模糊數(shù)學(xué)的基本概念

（1）模糊集與隸屬函數(shù)的概念

論域：論及到的對(duì)象全體構(gòu)成的集合，記為U。Def.

設(shè)U為一論域，如果給定了一個(gè)映射:

則該映射確定了一個(gè)模糊集合A，其映射稱為模糊集A的隸屬函數(shù)，稱為對(duì)模糊集A的隸屬度，使的點(diǎn)

稱為模糊集A的過渡點(diǎn)，即是模糊性最大的點(diǎn)。對(duì)一個(gè)確定的論域U可以有多個(gè)不同的模糊集合。

模糊冪集：論域U上的模糊集合的全體

注：是一個(gè)普通集合.（2）

模糊集的表示方法：對(duì)于有限論域，設(shè)（1）Zadeh表示法：這里“”不是分?jǐn)?shù)，“＋”也不表示求和，只是符號(hào)，它表示點(diǎn)

對(duì)模糊集A的隸屬度是（3）向量表示法：

（2）序偶表示法：如果U為無限論域，設(shè)

這里“”不是積分號(hào)，“”也不是分?jǐn)?shù)。,則（3）模糊集的運(yùn)算

模糊集與普通集有相同的運(yùn)算和相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律。設(shè)模糊集，其隸屬函數(shù)為.（1）若對(duì)任意，有，則稱A包含

B，記（2）若且，則稱A與B相等，記為B＝

A。設(shè)模糊集，其隸屬函數(shù)為則其相應(yīng)的并、交、補(bǔ)及隸屬函數(shù)為并：

交：

補(bǔ)：

其中“”和“”分別表示取大算子和取小算子，并且并和交運(yùn)算可以直接推廣到任意有限及無限的情況，同時(shí)也滿足普通集的交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算規(guī)律。隸屬函數(shù)的確定方法

模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度的思想。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。

1.模糊統(tǒng)計(jì)方法

模糊統(tǒng)計(jì)方法是一種客觀方法，主要是基于模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的.模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)包含下面四個(gè)基本要素

（1）論域U；

（2）U中的一個(gè)固定元素；

（3）U中的一個(gè)隨機(jī)變動(dòng)的集合（普通集）；

（4）U中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊集A，對(duì)

的變動(dòng)起著制約作用，其中，或，

致使對(duì)A

的隸屬關(guān)系是不確定的。

假設(shè)作n次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，可以算出

對(duì)A的隸屬頻率＝

事實(shí)上，當(dāng)n不斷增大時(shí)，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，

其穩(wěn)定值稱為對(duì)A的隸屬度，即

2.指派方法

指派方法是一種主觀的方法，它主要是依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的方法。如果模糊集定義在實(shí)數(shù)集R上，則稱模糊集的隸屬函數(shù)為模糊分布。所謂的指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)和經(jīng)驗(yàn)主觀的選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)實(shí)際測量數(shù)據(jù)確定其中所包含的參數(shù)。

3.其它方法

實(shí)際中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是很多的，主要根據(jù)問題的實(shí)際意義,具體問題具體分析.二.模糊關(guān)系與模糊矩陣

模糊關(guān)系：設(shè)U，V為論域，則稱乘積空間上的一個(gè)模糊子集為從U到V的模糊關(guān)系。如果的隸屬函數(shù)為

，則稱隸屬度為關(guān)于模糊關(guān)系的相關(guān)程度。

注：由于模糊關(guān)系就是乘積空間上的一個(gè)模糊子集，因此，模糊關(guān)系同樣具有模糊集的運(yùn)算及性質(zhì)。模糊矩陣：設(shè)矩陣，且

則稱R為模糊矩陣。比較特殊的情況有下邊兩種：

(1)如果，則稱R為布

爾（Bool）矩陣。

(2)當(dāng)m=1,或n=1時(shí)，則相應(yīng)的模糊矩陣為

或，分別稱為模糊行向量和模糊列向量。

Def.

若模糊關(guān)系,且滿足（1）自反性：（2）對(duì)稱性：（3）傳遞性：（或）則稱是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，其隸屬度表示的相關(guān)程度。注：當(dāng)為有限論域時(shí)，U上的模糊等價(jià)關(guān)系可表示為階的模糊等價(jià)矩陣。模糊等價(jià)矩陣：設(shè)論域?yàn)椋?/p>

為單位矩陣，如果模糊矩陣滿足：

（1）自反性：；

（2）對(duì)稱性：；

（3）傳遞性：

（或）

則稱R為模糊等價(jià)矩陣。

注：對(duì)于滿足自反性和對(duì)稱性的模糊關(guān)系與模糊矩陣R，則分別稱為模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣。

截矩陣：設(shè)為模糊矩陣，對(duì)任意的（1）如果令

則稱為R的截矩陣.（2）如果令則稱為R的強(qiáng)截矩陣.注：對(duì)任意的，截矩陣都是布爾矩陣.模糊傳遞矩陣：設(shè)R是

階的模糊矩陣，如果滿足:

則稱R為模糊傳遞矩陣。稱包含R的最小的模糊傳遞矩陣為傳遞閉包，記為

Th.對(duì)于任意的模糊矩陣，則

特別地，當(dāng)R為模糊相似矩陣時(shí)，必存在一個(gè)最小的自然數(shù)

，使得，對(duì)任意自然數(shù)都有此時(shí)一定為模糊等價(jià)矩陣。三.模糊聚類分析方法

對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法。然而，在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中有很多事物的類與類之間并無清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關(guān)系更多的是模糊關(guān)系，比如植物、微生物、動(dòng)物之間，溫飽型家庭與小康型家庭之間等。對(duì)上述事物的分類就應(yīng)該用模糊數(shù)學(xué)方法。根據(jù)事物的某些模糊性質(zhì)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為模糊聚類分析。

第一步.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

（1）獲取數(shù)據(jù):設(shè)論域U＝為所需分類研究的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又由m個(gè)指標(biāo)表示其性態(tài)，即

于是得到問題的原始數(shù)據(jù)矩陣為

（2）數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理：實(shí)際中的數(shù)據(jù)通常具有不同的性質(zhì)和量綱，為了使原始數(shù)據(jù)能夠適合模糊聚類的要求，需要將原始數(shù)據(jù)矩陣做標(biāo)準(zhǔn)化處理，即通過適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)變換和壓縮，將其轉(zhuǎn)化為模糊矩陣。現(xiàn)介紹以下兩種常用方法：(i)平移——標(biāo)準(zhǔn)差變換.

當(dāng)原始數(shù)據(jù)之間具有不同量綱時(shí)，應(yīng)用該方法可以使每個(gè)變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差化為1，從而消除了量綱的差異影響，即令

其中

(ii)平移——極差變換.

如果經(jīng)過平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換后還有某些，則還需對(duì)其進(jìn)行平移—極差變換，即令

第二步.建立模糊相似矩陣

設(shè)論域U=即數(shù)據(jù)矩陣為.如果與的相似程度為，則稱之為相似系數(shù)。下邊為確定相似系數(shù)的多種方法：（1）數(shù)量積法.對(duì)于,令，則取，顯然.

注：若出現(xiàn)某些，可令，則有。也可以用平移—極差變換將其壓縮到[0,1]上，從而得到模糊相似矩陣

（2）絕對(duì)值指數(shù)法.令

則

（3）海明距離法.令

其中H為使所有

的確定常數(shù).則

（4）歐氏距離法.令

其中E為使得所有

的確定常數(shù).則（5）切比雪夫距離法.令

其中Q為使所有

的確定常數(shù).則

（6）主觀評(píng)分法：設(shè)有N個(gè)專家組成專家組,讓每一位專家對(duì)所研究的對(duì)象

與相似程度給出評(píng)價(jià)，并對(duì)自己的自信度作出評(píng)估。如果第k位專家關(guān)于對(duì)象與的相似度評(píng)價(jià)為，對(duì)自己的自信度評(píng)估為，則相關(guān)系數(shù)定義為

，則

（7）夾角余弦法.

（8）相關(guān)系數(shù)法.

（9）指數(shù)相似系數(shù)法.

（10）最大最小值法.

（11）算術(shù)平均值法.

（12）幾何平均值法.

（13）絕對(duì)值倒數(shù)法.

第三步.聚類所謂模糊聚類方法是根據(jù)模糊等價(jià)矩陣將所研究的對(duì)象進(jìn)行分類的方法。對(duì)于不同的置信水平，可以得到不同的分類結(jié)果，從而形成動(dòng)態(tài)聚類圖。（一）傳遞閉包法

通常所建立的模糊矩陣R只是一個(gè)模糊相似矩陣，即R不一定是模糊等價(jià)矩陣。為此，首先需要由R來構(gòu)造一個(gè)模糊等價(jià)矩陣。根據(jù)傳遞閉包的性質(zhì)，可以用平方法求出R的傳遞閉包，即為一模糊等價(jià)矩陣。然后，由大到小取一組值，確定相應(yīng)的截矩陣

，從而可以將其分類，同時(shí)形成動(dòng)態(tài)聚類圖。（二）布爾矩陣法（三）直接聚類法四.模糊模式識(shí)別方法

將事物的整體劃分為若干類型而得到一組標(biāo)準(zhǔn)模式，對(duì)于一個(gè)確定的對(duì)象識(shí)別它屬于哪一類的問題稱為模式識(shí)別。如果整體被劃分的類型與被識(shí)別的對(duì)象之中至少有一個(gè)是用模糊集表示的模式識(shí)別問題，則稱為模糊模式識(shí)別。下面介紹兩種最基本的模糊模式識(shí)別方法——最大隸屬原則和擇近原則。（?。┳畲箅`屬原則Ⅰ

設(shè)在論域

中有m個(gè)模糊子集

（即m個(gè)模式）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫，

若對(duì)任意一個(gè)，存在使得

，則可視相對(duì)隸屬于。

（ⅱ）最大隸屬原則Ⅱ

設(shè)在論域

上確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式，

對(duì)于n個(gè)待識(shí)別的對(duì)象

，如果有某個(gè)

滿足

，則

優(yōu)先隸屬于.模式識(shí)別中的擇近原則

設(shè)論域

上有m個(gè)模糊子集

（即m個(gè)模式）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫，對(duì)U上的另一個(gè)模糊子集

，試問與中的哪一個(gè)最貼近？

Def.設(shè)論域U上的模糊子集

，則稱

為的內(nèi)積；稱

為與的外積。

Def.設(shè)論域U上的模糊子集，則稱為

與的貼近度。說明：如果兩個(gè)模糊子集的貼近度越大，則說明其越貼近。貼近度的有關(guān)性質(zhì)：（1）（2），其中分別為的高和底；單個(gè)特性的擇近原則

設(shè)論域U上的m個(gè)模糊子集

（m個(gè)模式）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫，模糊子集為待

識(shí)別的模式，若存在

使得

，則

與

最貼近，或者說把

可歸并到

類。

根據(jù)實(shí)際問題的需要，依據(jù)對(duì)象的多個(gè)特性的模式識(shí)別問題，即要研究兩個(gè)模糊向量集合族的貼近度問題。對(duì)于論域U上的兩個(gè)模糊向量集合族則A與B的貼近度可定義為（1）（2）（3）（4）（5）多個(gè)特性的擇近原則

設(shè)論域U上有n個(gè)模糊子集

構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫，每個(gè)模式

都可用m個(gè)特性描述，即

待識(shí)別的模式為

，如果兩個(gè)模糊向量集合族的貼近度為

，并有自然數(shù)

使得

則模式

隸屬于

。

五.模糊綜合評(píng)判方法

綜合評(píng)判：對(duì)受多個(gè)因素影響的事物（或?qū)ο螅┳龀鋈娴脑u(píng)價(jià)。

模糊綜合評(píng)判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策。傳統(tǒng)的評(píng)判方法有總評(píng)分法和加權(quán)平分法。

1.總評(píng)分法

根據(jù)評(píng)判對(duì)象的評(píng)價(jià)項(xiàng)目，首先對(duì)每個(gè)項(xiàng)目確定出評(píng)價(jià)的等級(jí)和相應(yīng)的評(píng)分?jǐn)?shù)，并將所有項(xiàng)目的分?jǐn)?shù)求和；然后按總分大小排序，從而確定出方案的優(yōu)劣。

2.加權(quán)平分法

根據(jù)評(píng)判對(duì)象的諸多因素（指標(biāo)）

所處的地位或所起的作用不同，引入權(quán)重的概念，求其諸多因素（指標(biāo)）評(píng)分

的加權(quán)和

，其中

為第

個(gè)因素（指標(biāo)）的權(quán)值。

模糊綜合評(píng)判的一般步驟：

（1）確定因素集.因素集為研究對(duì)象的所有因素的集合。

（2）確定評(píng)判集

.評(píng)判集為所有因素的諸多評(píng)判等級(jí)構(gòu)成的集合。（3）確定模糊評(píng)判矩陣.

首先，對(duì)每一個(gè)因素做一個(gè)評(píng)判，則可以得到從U

到Ｖ的一個(gè)模糊映射，即

然后，由模糊映射可以誘導(dǎo)出模糊關(guān)系

即

從而可以確定出模糊評(píng)判矩陣