2021年山西省大同市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021年山西省大同市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線的焦點(diǎn)F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的斜率可能為（

）A．

B．

C.1

D．參考答案：A設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題意，設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程得：，因?yàn)橹本€與拋物線有兩個交點(diǎn)，所以，，，把代入即可解得，故選A.

2.已知函數(shù)，若函數(shù)（，）在區(qū)間[－1,1]上有4個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.(2,+∞)C. D.參考答案：B【分析】求得函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)在區(qū)間上有4個不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有4個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，又由，所以函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)在區(qū)間上有4個不同的零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象在上有4個不同的交點(diǎn)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本性質(zhì)，把方程的零點(diǎn)的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.3.現(xiàn)某小型服裝廠鎖邊車間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺電腦機(jī)，每臺電腦機(jī)每天可給12件衣服鎖邊；有5臺普通機(jī)，每臺普通機(jī)每天可給10件衣服鎖邊。如果一天至少有100件衣服需要鎖邊，用電腦機(jī)每臺需配鎖邊工1名，雜工2名，用普通機(jī)每臺需要配鎖邊工1名，雜工1名。用電腦機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利8元，用普通機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利6元，則該服裝廠鎖邊車間一天最多可獲利（

）元.(A)760

(B)780

(C)800

(D)

820參考答案：B設(shè)每天安排電腦機(jī)和普通機(jī)各，臺，則一天可獲利，線性約束條件為，畫出可行域（如圖），可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時，.4.已知為等差數(shù)列，若，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接

球的表面積為

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.某公司某件產(chǎn)品的定價與銷量之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表如下，根據(jù)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸直線方程為，則表格中的值為(

)1345710203545A.25 B.30 C.40 D.45參考答案：C，所以，得，故選C．7.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（

）A．①②

B．③④

C．①③

D．②④參考答案：B8.設(shè)函數(shù)，，給定下列命題：①若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則；②若方程恰好只有一個實(shí)數(shù)根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).則正確命題的個數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C對于①，的定義域，，令有即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且當(dāng)時，又，從而要使得方程有兩個不同的實(shí)根，即與有兩個不同的交點(diǎn)，所以，故①正確對于②，易知不是該方程的根，當(dāng)時，，方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，等價于和只有一個交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為。由大致圖像可知或，故②錯對于③

當(dāng)時，恒成立，等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，則，于是，故③正確.對于④

有兩個不同極值點(diǎn)，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個數(shù)為3，故選.9.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C因?yàn)?，由，解得，即函?shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時，增區(qū)間為，選C.10.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體表面上的點(diǎn)P在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為P，點(diǎn)A，B，C在俯視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，B，C，則PA與BC所成角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由三視圖知該幾何體是直四棱錐，找出異面直線PA與BC所成的角，再計(jì)算所成角的余弦值．【詳解】由三視圖知，該幾何體是直四棱錐P﹣ABCD，且PD⊥平面ABCD，如圖所示；取CD的中點(diǎn)M，連接AM、PM，則AM∥BC，∴∠PAM或其補(bǔ)角是異面直線PA與BC所成的角，△PAM中，PA＝2，AM＝PM，∴cos∠PAM，又異面直線所成角為銳角即PA與BC所成角的余弦值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成的角計(jì)算問題，可以根據(jù)定義法找角再求值，也可以用空間向量法計(jì)算，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，圓O的割線PAB交圓O于A、B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心O．已知PA=AB=2，PO=8．則BD的長為

．參考答案：【知識點(diǎn)】切割線定理N1解析：連接BO,設(shè)圓的半徑為，由切割線定理可得，解得，在中根據(jù)余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】連接BO,設(shè)圓的半徑為，先由切割線定理解得，再利用余弦定理求出，則，再次利用余弦定理可得結(jié)果。12.已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是

.參考答案：13.設(shè)

則=__________參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】-

由題意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=-sinx，

f3（x）=f2′（x）=-cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，

由此可知，在逐次求導(dǎo)的過程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開始計(jì)，周期是4，

∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=-cosx∴f2015（）=-cos=-故答案為：-?！舅悸伏c(diǎn)撥】由題意對函數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)呈周期性的變化，且其周期是4，即可得到結(jié)論．14.已知滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍

參考答案：略15.拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是（） A．y=﹣1 B． y=﹣2 C． x=﹣1 D． x=﹣2參考答案：A略16.如圖，已知圓，四邊形為圓的內(nèi)接正方形，分別為邊的中點(diǎn)，當(dāng)正方形繞圓心轉(zhuǎn)動時，的最大值是_____。參考答案：617.如圖所示，在海島A上有一座海拔千米的山峰上，山頂上設(shè)有一座觀察站P，一艘輪船沿一固定方向勻速航行，上午10：00時，測得此船在島北偏東20°且俯角為30°的B處，到10：10時，又測得該船在島北偏西40°且俯角為60°的C處，則該船的航行速度為千米/時．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；方程思想；綜合法；解三角形．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中確定AB、AC的長，進(jìn)而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以時間即為船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．則船的航行速度÷=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….（1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列參考答案：解析：（I）由已知得

又

是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（II）由（I）知，將以上各式相加得：

19.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T．其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通;T∈[2，4)基本暢通;T∈[4，6）輕度擁堵;T∈[6，8)中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重?fù)矶?，晚高峰時段，從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制直方圖如圖所示．

(I)這20個路段輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？

(Ⅱ)從這20個路段中隨機(jī)抽出的3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望．參考答案：略20.（本小題滿分14分）有一氣球以v(m/s)的速度由地面上升(假設(shè)氣球在上升過程中的速度大小恒定)，10分鐘后由觀察點(diǎn)P測得氣球在P的正東方向S處，仰角為；再過10分鐘后，測得氣球在P的東偏北方向T處，其仰角為(如圖，其中Q、R分別為氣球在S、T處時的正投影)．求風(fēng)向和風(fēng)速(風(fēng)速用v表示)．參考答案：10分鐘后由觀察點(diǎn)P測得氣球在P的正東方向S處，仰角為的S點(diǎn)處，即∠SPQ＝，所以PQ＝QS＝600v(m)．又10分鐘后測得氣球在P的東偏北方向，其仰角為的T點(diǎn)處，即∠RPQ＝，∠TPR＝，RT＝2QS＝1200v(m)，于是PR＝＝(m)．在△PQR中由余弦定理，得QR＝＝(m)．因?yàn)椋剑剑剑浴螾QR＝，即風(fēng)向?yàn)檎巷L(fēng)．因?yàn)闅馇驈腟點(diǎn)到T點(diǎn)經(jīng)歷10分鐘，即600s，所以風(fēng)速為＝(m/s)．21.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，滿足

（1）證明:數(shù)列{+2}是等比數(shù)列.并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{}滿足，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：參考答案：證明：（1）由得：Sn=2an－2n當(dāng)n∈N*時，Sn=2an－2n，①

則當(dāng)n≥2,n∈N*時，Sn－1=2an－1－2(n－1).

②

①－②，得an=2an－2an－1－2，

即an=2an－1+2，

∴an+2=2(an－1+2)

∴

當(dāng)n=1時，S1=2a1－2，則a1=2，

∴{an+2}是以a1+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.……5分∴an+2=4·2n－1，∴an=2n+1－2，

（2）證明：由

則③

，④

③－④，得

所以：.22.（1）已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc．參考答案：考點(diǎn)：不等式的證明．專題：證明題；不等式．分析：（1）由條件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通過變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論；（2）利用基本不等式，再相加，即可證明結(jié)論．解答： 證明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+