2022-2023學年上海外國語大學附屬外國語學校數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．二項式的展開式中的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．22．計算的值是（）A．72 B．102 C．5070 D．51003．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為,(為自然對數(shù)的底數(shù)),且當時,,則()A．f(1)<f(0) B．f(2)>ef(0) C．f(3)>e3f(0) D．f(4)<e4f(0)4．設曲線在點處的切線與直線平行，則（）A．B．C．D．5．已知中，，，，則B等于（）A． B．或 C． D．或6．某大學安排5名學生去3個公司參加社會實踐活動，每個公司至少1名同學，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1507．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（）A．588 B．480 C．450 D．1208．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為A． B． C． D．9．設,則()A． B．C． D．10．不相等的三個正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，并且x是a、b的等比中項，y是b、c的等比中項，則x2、b2、y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列11．若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．12．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在和時取極小值，則實數(shù)a的取值范圍是________．14．已知向量，其中，若與共線，則的最小值為__________．15．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．16．已知函數(shù)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.則的解析式為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P.（1）當時，求及l(fā)的極坐標方程；（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.18．（12分）已知過點A（0，2）的直線l與橢圓C：x2（1）若直線l的斜率為k，求k的取值范圍；（2）若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點E（1，0），求直線l的方程．19．（12分）設圓的圓心為A，直線過點B（1,0）且與軸不重合，交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（Ⅰ）證明：為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點，過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點，求證：是定值，并求出該定值.20．（12分）已知等比數(shù)列的前項和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設，求數(shù)列的前項和.21．（12分）有20件產(chǎn)品，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.22．（10分）已知矩陣.（1）求；（2）求矩陣的特征值和特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用二項式定理的展開式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．【詳解】二項式（ax+）6的展開式中通項公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，則T6=××a2x2．∵x2的系數(shù)為，∴×a2=，解得a=2．則x2dx=x2dx==．故選：A．【點睛】用微積分基本定理求定積分，關鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應的解析式，分別求出積分值相加2、B【解析】

根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)計算公式，計算出表達式的值.【詳解】依題意，原式，故選B.【點睛】本小題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)的計算，屬于基礎題.3、C【解析】

構(gòu)造新函數(shù)，求導后結(jié)合題意判斷其單調(diào)性，然后比較大小【詳解】令，，時，，則，在上單調(diào)遞減即，，，，故選【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)的運算，構(gòu)造新函數(shù)有一定難度，然后運用導數(shù)判斷其單調(diào)性，接著進行賦值來求函數(shù)值的大小，有一定難度4、D【解析】試題分析：由的導數(shù)為，則在點處的切線斜率為，由切線與直線平行，所以，故選D．考點：利用導數(shù)研究曲線在某點處的切線方程．5、D【解析】

根據(jù)題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關系、內(nèi)角的范圍、特殊角的三角函數(shù)值求出B．【詳解】由題意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sinB，又b＞a，0°＜B＜180°，則B＝60°或B＝120°，故選：D．【點睛】本題考查正弦定理，以及邊角關系的應用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎題．6、D【解析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計算公式可知，方案為時的方法有種，方案為時的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．7、B【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應的學生人數(shù)是600×0.8=480考點：頻率分布直方圖8、A【解析】

根據(jù)題目可知，分別求出男生甲被選中的概率和男生甲女生乙同時被選中的概率，根據(jù)條件概率的公式，即可求解出結(jié)果．【詳解】由題意知，設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則，，所以，故答案選A．【點睛】本題主要考查了求條件概率方法：利用定義計算，特別要注意的求法．9、C【解析】分析：由題意將替換為，然后和比較即可.詳解：由題意將替換為，據(jù)此可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查數(shù)學歸納法中由k到k+1的計算方法，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、B【解析】由已知條件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差數(shù)列，故選B.11、C【解析】分析：由題得恒成立，再解這個恒成立問題即得解.詳解：由題得恒成立，a=0時，不等式恒成立.a≠0時，由題得綜合得故答案為C.點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的定義域和二次不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力數(shù)形結(jié)合思想方法.（2）解答本題恒成立時，一定要討論a=0的情況,因為不一定時一元二次不等式.12、C【解析】分析：先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點坐標為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據(jù)題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應的圖形表示出來，之后應用定積分求得結(jié)果，正確求解積分區(qū)間是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：根據(jù)題意在和時取極小值即0,1為導函數(shù)等于零的根，故可分解因式導函數(shù)，然后根據(jù)在0,1處要取得極小值從而確定a的取值范圍.詳解：由題可得：，令故原函數(shù)有三個極值點為0,1，a，即導函數(shù)有三個解，由在0,1處要取得極小值所以0和1的左邊導函數(shù)的值要為負值，右邊要為正值，故a值只能放在0和1的中間，所以a的取值范圍是.點睛：考查函數(shù)的極值點的定義和判斷，對定義的理解是解題關鍵，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標之間的關系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.【詳解】∵，，其中，且與共線∴，即∴，當且僅當即時取等號∴的最小值為.【點睛】該題考查的是有關向量共線的條件，涉及到的知識點有向量共線坐標所滿足的條件，利用基本不等式求最值，屬于簡單題目.15、【解析】分析：先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)小于0求出的范圍，寫成區(qū)間形式，可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域為，，令，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為.點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.16、【解析】

根據(jù)函數(shù)周期為，求出，再由圖象的最低點，得到振幅，及.【詳解】因為圖象與兩個交點之間的距離為，所以，所以，由于圖象的最低點，則，所以，當時，，因為，所以，故填：.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意這一條件限制，從面得到值的唯一性.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），l的極坐標方程為；（2）【解析】

（1）先由題意，將代入即可求出；根據(jù)題意求出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可；（2）先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍.【詳解】（1）因為點在曲線上，所以；即，所以，因為直線l過點且與垂直，所以直線的直角坐標方程為，即；因此，其極坐標方程為，即l的極坐標方程為；（2）設，則，，由題意，，所以，故，整理得，因為P在線段OM上，M在C上運動，所以，所以，P點軌跡的極坐標方程為，即.【點睛】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.18、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解析】試題分析：（1）由題意設出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程后由判別式大于求得的取值范圍；（2）設出的坐標，利用根與系數(shù)的關系得到的橫坐標的和與積，結(jié)合以為直徑的圓經(jīng)過點，由EP·EQ=0求得值，則直線l方程可求.試題解析：（1）依題意，直線l的方程為y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0,則P(0,1),Q(0,-1),此時以為直徑的圓過點E(1,0)，滿足題意.直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因為以直徑的圓過點E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直線l的方程為y=-76x+2.綜上，所求直線l的方程為x=0考點：1.直線與橢圓的綜合問題；2.韋達定理.【方法點睛】本題主要考查的是橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關系的應用，體現(xiàn)了設而不求的解題思想方法，是中檔題，本題（1）問主要是聯(lián)立直線與橢圓方程，化成一元二次方程的判別式大于求出的取值范圍，（2）利用EP·EQ=0求出值，進而求出直線方程,因此解決直線與圓錐曲線位置關系時應該熟練運用韋達定理解題.19、（I）（）；（II）【解析】

（I）根據(jù)幾何關系，即可證明為定值，再利用橢圓的定義即可求出點E的軌跡方程；（Ⅱ）利用點斜式設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，得到關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系以及弦長公式表示出，同理可得，代入中進行化簡即可證明為定值?！驹斀狻浚↖）因為，，故，所以，故.又圓的標準方程為，從而，所以，由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（II）依題意：與軸不垂直，設的方程為,,.由得,.則，.所以.同理：故(定值)【點睛】本題考查解析幾何中的軌跡問題以及定值問題，綜合性強，運算量大，屬于中檔題。20、（1）（2）【解析】

（1）利用求出當時的通項，根據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項和.【詳解】（1）因為，當時，，當時，，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以對也成立，所以，即.（2）