人教課標實驗版八年級下冊第十九章四邊形1平行四邊形-“江南聯(lián)賽”一等獎

關于平行四邊形判定典型例題【例1】已知：如圖，E，F(xiàn)分別為ABCD的邊CD，AB上一點，，BE，CF分別交CF，AE于H，G.求證：.證明：∵，∴四邊形AECF是平行四邊形.∴∵，∴∵，∴四邊形BFDE是平行四邊形.∴.∵，∴四邊形GFHE是平行四邊形.∴.說明：本題考查平行四邊形的判定定理，解題關鍵是設法證四邊形GFHE是平行四邊形.【例2】如圖，已知：四邊形ABCD中，，，E，F(xiàn)為垂足，且，.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證法1∵，，∴∴∵，∴在和中，∵，∴，∴∵，∴∴四邊形ABCD是平行四邊形.證法2設AC與BD交點為O.∵，∴∴在和中，，，，∴.∴.在和中，∵，∴∴，即∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形.說明由垂直得到平行是關鍵【例3】一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行的四邊形嗎？為什么？錯解是平行四邊形.正解不一定是平行四邊形.如圖，，，則在四邊形ABDE中有，，但四邊形ABDE顯然不是平行四邊形.說明錯解中沒有根據(jù)平行四邊形定義或判斷定理判斷.【例4】已知：如圖，四邊形ABCD中，，以AD，AC為邊作ACED，延長DC交EB于F.求證：.證明：過B作，交DC的延長線于G，連結EG.∵，∴四邊形ABGD是平行四邊形.∴.∵，∴.∴四邊形BGEC是平行四邊形.∴.說明：本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質，解題關鍵是作出正確的輔助線.【例5】已知一個六邊形的六個內(nèi)角都是，其連續(xù)四邊的長依次是1，9，9，5厘米，那么這個六邊形的周長是______厘米.解答：如圖，延長FA，CB相交于G，延長CD，F(xiàn)E相交于H.由題設條件，易知和都是等邊三角形.∴∴GCHF為平行四邊形.∴.∴∴六邊形的周長為：（cm）說明：本題考查平行四邊形及等邊三角形的應用，解題關鍵是作輔助線，將“不規(guī)則”的六邊形變成“規(guī)則”的平行四邊形，本題還可以將其變成等邊三角形，其作輔助線的方法可以是延長FA，CB交于G，延長BC，ED交于K，延長DE，AF交于Q，則為等邊三角形.【例6】如圖，已知：在四邊形ABCD中，，于E，于F，且.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.分析：要證明四邊形ABCD是平行四邊形，已給出的條件有，所以只需再證或就可以了，那么通過三角形全等證明更容易一些.證明：∵（已知），∴即∵（已知），∴和是直角三角形.在和中，∴∴（全等三角形的對應角相等）.∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）又∵（已知），∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.說明：要證明一個四邊形是平行四邊形，首先要聯(lián)想到判定四邊形是平行四邊形的幾種判定方法，然后結合給出條件和圖形的特點，選擇一種可行的判定方法.【例7】．如圖，已知：在ABCD中，點E、F在AC上，且，點G、H分別在AB、CD上，且，AC與GH相交于點O.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.分析：要證四邊形EGFH是平行四邊形，就要證明或EF與GH互相平分，那么通過證明，可證明，，∴，∴.從而可證四邊形EGFH是平行四邊形，我們也可以通過證明，從而證得，，再由，證得，從而證明四邊形EGFH是平行四邊形.證明：∵（已知），∴.即.∵（平行四邊形的性質）∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.在與中，∴.∴（全等三角形的對應邊相等）.又∵∴∴四邊形EGFH是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）說明平行四邊形的判定方法較多，要根據(jù)給出條件判斷使用哪個判定方法，再根據(jù)不同的判定方法，創(chuàng)造條件去證明.【例8】如圖，已知：四邊形ABCD和四邊形AEFD都是平行四邊形.求證：（1）四邊形BCFE是平行四邊形.（2）.分析：（1）要證明四有BCFE是平行四邊形，可以從邊、角等方面考慮，在本題中，因已有兩個平行四邊形，從邊下手比較好.因此，我們不妨從邊開始尋找條件，那么由ADFE得，由ABCD可得，，因此有，從而可證明四邊形BCFE是平行四邊形.（2）由圖中的三個平行四邊形可知，，則根據(jù)“邊邊邊”可證明.證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴且（平行四邊形的對邊平行且相等）∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴，且（平行四邊形的對邊平行且相等）∴.∴四邊形BCFE是平行四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∵四邊形BCFE是平行四邊形，∴.∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∴（SSS）【例9】已知：如圖，在梯形ABCD中，，過B作，過D作交BE于E.求證：.分析：計算面積，我們可以通過面積的計算公式，但同時，對于一些特殊的圖形可采取特殊的方法，如，同底同高的兩個三角形面積相等，同底等高的三角形和平行四邊形的面積比為.那么由給出條件中的幾對平行線，可考慮構造幾個平行四邊形.延長DC交BE于F，延長AC交BE于M，則圖中就有兩個平行四邊形，即AMED和ABFD.而且這個平行四邊形的底都為AD，且高都是AD，BE平行線之間的距離，即它們的高也相等，所以它們的面積相等.繼續(xù)觀察圖形可發(fā)現(xiàn)的面積恰好是ABFD面積的一半，的面積恰好是AMED的一半.因此可證明這兩個三角形的面積相等.證明：延長DC交BE于F，延長AC交BE于M.則四邊形ABFD和四邊形AMED皆為平行四邊形，且（同底等高）又∵（等底等高），（同底等高），∴.【例10】如圖，已知：O為等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點，且交AB于D，交AC于F，，交BC于E.求證：分析：要證明，要把BC分成三段，或把三條線段移到BC上去.那么因為條件中給出了3對平行線段，所以適當延長其中的某些線段就可以得到一些平行四邊形.我們延長DO交AC于H，延長FO交BC于G.則四邊形BGOD與四邊形ECHO是平行四邊形，因此，有，，所以只要能夠證明，就可以了.因為是特殊的三角形—等邊三角形，它的每個內(nèi)角都等于，又因為，，∴，所以是等邊三角形.同理，也是等邊三角形，所以可證得，.證明：延長FO，交BC于G，延長DO，交AC于H.∵，∴四邊形ODBG是平行四邊形.∴（平行四邊形的對邊相等）同理可證：四邊形ECHO也是平行四邊形，∴∵是等邊三角形，∴∵，∴（兩直線平行，同位角相等），∴也是等邊三角形，∴.同理可證：也是等邊三角形，∴∴【例11】如圖，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角A、B、C、D處均種有一顆大核桃樹.田村準備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴大一倍，又想保持核桃樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四邊形形狀，請問田村能否實現(xiàn)這一設想？若能，請你設計并畫出圖形；若不能，請說明理由（畫圖要保留痕跡，不寫畫法）分析：這是一道考查學生動手作圖的能力設計題.題中要求擴建后的池塘：面積擴大一倍，形狀成平行四邊形，且核桃樹不動.這樣的圖形設計方案，只能連結AC與BD交于O點，將原池塘分割成四塊，分別以AB、BC、CD、DA為對角線，向外作AOBE、BOCF、CODG、DOAH.連結EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH.如圖，依據(jù)中心對稱圖形的性質，其設計合乎題設要求.【例12】如圖1，中，于，于．求證：四邊形是平行四邊形．【分析】由平行四邊形的性質，可得△≌△，從而，得四邊形是平行四邊形．圖1【解】因為中，，所以．圖1又因為，，所以，．所以△≌△．于是．從而四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．【說明】此處用的是一組對邊平行且相等的四邊形是平行四形的判定定理，也可讓兩組對邊分別相等，只要證△≌△，△≌△即可；還可證對角線互相平分，只要連結交于點，證即可．【例13】已知：如圖，在中，，、分別為、的中點，．求證：．【分析】這是一道需要計算的證明題，顯然，則，欲證，只需證，在△中，，，可知，，，問題得證．【解】連結，在中，，，，所以．所以四邊形是平行四邊形．所以．又因為，，所以，且．因為，所以．所以．于是．從而．【說明】選擇平行四邊形判定方法時，一定要結合條件而定，這樣才能做到有的放矢．【例14】下列條件，能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對角相等，一組對邊相等B