重點(diǎn)梳理北師大數(shù)學(xué)分式方程與二次根式方程

分式方程與二次根式方程

第8課分式方程與二次根式方程

K知識點(diǎn)』

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、噌根

k大綱要求』

了解分式方程、二次根式方程的概念.掌握把簡單的分式方程、二次根式方程轉(zhuǎn)化

為一元一次方程、一元二次方程的一般方法，會用換元法解方程，會檢喊.

內(nèi)容分析

1.分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步驟是：

(i)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；

(五)解這個(gè)整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母不為零的根

是原方程的根，使最簡公分母為零的根是增根，必須舍去.

在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，喊根只需代入員藺公分母.

⑵換元法

用換元法解分式方程，也就是把適當(dāng)?shù)姆质綋Q成新的未知數(shù)，求出新的未知數(shù)后求

出原來的未知數(shù).

2.二次根式方程的解法

(1)兩邊平方法

用兩邊平方法解無理方程的一般步驟是：

0)方程兩邊都平方，去掉根號，化成有理方程；

(ii)解這個(gè)有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程進(jìn)行檢猿，加果適合，就是原方程的根，如果不適

合，就是噌根，必須舍去.

在上述步驟中，兩邊平方是關(guān)健，驗(yàn)根必須代入原方程進(jìn)行.

⑵換元法

用換元法解無理方程，就是把適當(dāng)?shù)母栂屡_有未知數(shù)的式子換成新的未知數(shù)，求

出新的未知數(shù)后再求原來的未知數(shù).

口考查重點(diǎn)與常見題型］1

考查換元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查換元的能力，常出現(xiàn)在

選擇題中另一部分習(xí)題考查完整的解題能力，習(xí)題出現(xiàn)在中檔解答題中.

考題類型

1.(1)用換元法解分式方程其7+工三=3時(shí)，設(shè)？7=y，原方程變形為()

x-13xx-1

(A)y*—3y+l=0(B)y*+3y+l=0(C)y*4~3y—1=0(D)y*—y+3=0

2.用換元法解方程=23,若設(shè)y=Mx；+8x-ll,則原方程可化

為()

(A)y*+y+12=0(B)y*+y~23=0(C)y:+y_12=0(D)y*+y—34=0

3.若解分式方程々一*=—產(chǎn)生噌根，則m的值是()

X—1X十XX

(A)—1或一2(B)—1或2(C)1或2(D)1或一2

4.解方程芻一一二=1時(shí)，需將方程兩邊都乘以同一個(gè)整式(各分母的最簡公分母)，

約去分母，所乘的這個(gè)整式為()

(A)X—1(B)x(X—1)(C)x(D)x+1

5.先閱讀下面解方程x+而行=2的過程，然后填空.

解：(第一步')將方程整理為x—2+#x—2=0；(第二步")設(shè)y=4x—2，原方程可化

為y：+y=0；(第三步')解這個(gè)方程的y；=0?y：=—1(第四步')當(dāng)y=0時(shí)，y/x-2=

0；解得x=2,當(dāng)y=-1時(shí)，y/x—2=—1,方程無解；(第五步)所以x=2是原方程

的根以上解題過程中，第二步用的方法是_____，第四步中，能夠判定方程五與=~

1無解原根據(jù)是__-上述解題過程不完整，缺少的一步是______0

考點(diǎn)訓(xùn)練：

1.給出下列六個(gè)方程：1)X；—2x+2=O2)@-2=1—x3)也一3+心一2=

04)也+1+2=05)-H■?---=06)——-+1=---具中有實(shí)數(shù)解的方程有

()

(A)。個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)多于2個(gè)

2.方程2x一1=±1的解是()

x—4x+2

(A)—1(B)2或一1(C)—2或3(D)3

3.當(dāng)分母解x的方程==』7時(shí)產(chǎn)生增根，則m的值等于()

X-1X-1

(A)-2(B)-1(C)1.(D)2

4.方程)2^-3-也+1=0的解是。

5.能使(x—5)/一7=0成立的x是.

6.關(guān)于x的方程《(m—l)x+3=2x--15是根式方程，則m的取值范圍是_________.

7.解下列方程：

12x+l______3__4,、3x.x*-15

(2)—r—+——=—

2x*—7x+51-x2x-5x—13x2

,、117,1x1

(3)x1；八(x)+1—0

x2x

解題指導(dǎo)：

1.解下列方程:

2x-2=_

(1)出+2=x(2

'x:—9x(x-3)x:+3x

(3)x+2x+2/八；(4)#3x+2—A/X—8=33

(X十1)

獨(dú)立訓(xùn)練

1.方程4x(x'+l)=0的解是_______?方程“2X+3=_x的解是______,方程

X、X，的解是------------

2.設(shè)丫=—時(shí)，分式方程(一)；+5(+)+6=0可轉(zhuǎn)化為__________.

X-1X-1

3.用換兀法解方程2x—3/+443——2x+5+1=0可設(shè)y=________.從而把方程化

為_____________.

4.下列方程有實(shí)數(shù)解的是()

(A)/+2+5=4(B)^3—x+A/X—3=0

,\2?36

(C)X：—2x+4=0(D)4■*------7—：1

X-T1X-1X—1

5.解下列方程.

,\1x+2,、x+411.

(1)x-2-x:-4(2)：,?,—+1

x+2xx+2x

(3)號=5-9且2_壇+曲)(4)-2—x+.5-4x=2

b十xa-x

:

(5)2x*—4x—3A/X:—2x—4=101：6)4(x+A)~5(x--)-14=0

XX

(7)3x:+15x+2^3x:+15x+l=2(8)

6.若關(guān)于x的方程吃~^=—+1產(chǎn)生增根，求m的值.

x-2x+2x

m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程二-梟=三會產(chǎn)生增根.

x-2x-4x+2

7.當(dāng)a為何值時(shí)，方程己-產(chǎn)、+-7=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

x2x(x-ljx-l

方程去+—=-年會只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值

x+1XX(x+lj

8.當(dāng)m為何值時(shí)，方程三+三-干"=。有解

xx_lX(X_1J

分式的重要性質(zhì)新課知識講解

第5課分式

知識點(diǎn)：

''舞式，分式的基本性質(zhì)，最簡分式，分式的運(yùn)算，零指數(shù)，負(fù)整數(shù)，整數(shù)，整數(shù)指

數(shù)幕的運(yùn)算

大綱要求：

了解分式的概念，會確定使分式有意義的分式中字母的取值范圍.掌握分式的基本

性質(zhì)，會約分，通分.會進(jìn)行簡單的分式的加減乘除乘方的運(yùn)算.掌握指數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)

算.

考查重點(diǎn)與常見題型：

1.將查懣數(shù)指數(shù)零的運(yùn)算，零運(yùn)算，有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中，如：下列運(yùn)算正確

的是()

(A)-4C=1(B)(~2)*;=|(0(-3,r)：=9E⑻(a+b)-4-：+『

2.考查分式的化簡求值.在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計(jì)算就或化簡求值，有關(guān)習(xí)題多

為中檔的解答題.注意解答有關(guān)習(xí)題時(shí)，要按照試題的要求，先化簡后求值，化簡要認(rèn)

真仔細(xì)，如：

化簡并求值：

VV'-v*2x+2

7---77?：；+(-—-2),其中x=cos30°,y=sin90

gy)x+xy+yx-y

知識要點(diǎn)

1.分式的有關(guān)概念

設(shè)A、B表示兩個(gè)整式.如果B中含有字母，式子4A就叫做分式.注意分母B的值不

B

能為零，否則分式?jīng)]有意義

分子與分母沒有公因式的分式叫做最著分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分

化簡

2、分式的基本性質(zhì)

A_AxM巴A=±A-2M巴⑷為不等于零的整式)

B~BxMB

3.分式的運(yùn)算

(分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)售法則類似).

,,,￡￡_竺?

3±￡=史二止(異分母相加，先通分)；bd~bd'

bdbda.cd_ad

bdbcbe

4.零指數(shù)a°=l(?H0)

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)=；（aw0,p為正整數(shù)）.

注意正整數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)af=a-'（a#。），

（a）=a\

（ab）=ab

可以推廣到整數(shù)指數(shù)察，也就是上述等式中的m、n可以是?；蜇?fù)整數(shù).

考查題型：

1.下列運(yùn)算正確的是（）

(A)-4a=l(B)(-2)*1=1(C)(-3*^):=9"(D)(a+b)'l=a-：+b*1

2.化藺并求值:

xx3-y3(2x+2

-2),其中x=cos30°y=sin90

(x-y)*,x*+xy+y*x-y9

ax-4x-y1P33ab:c3

3.a+b、中分式有_

G、、丁、rji+T、25

當(dāng)x=-------時(shí)，分式(XLJQ+I)

4.的值為零;

5.當(dāng)x取------值時(shí)，分式《鼻有意義

6.已知心=々+47是恒等式，則4=____，B=________

x-1x-1x-rl

化藺（券

7.

x-2x

8.先化藺后再求值：^7告，其中x=T—

X-1X+2x+lx+1yj2-1

n/rnaa3—4a*b—5aba

9.已知一=2,求工廠—i；的值

a-ba-6ab+5ab

考點(diǎn)訓(xùn)練：

1,分式二當(dāng)區(qū)=------時(shí)有意義，當(dāng)*=-------時(shí)值為正.

2,分式中的取值范圍是()

l-x

(A)xWl(B)xWT(C)xWO(D)xW±l且xWO

3.當(dāng)乂=-----------時(shí)，分式/匕的值為零？

x+4x+12

4,化簡

..12,、a:+?a+10a3+l.a+1

⑴1一不百⑵■7^~a+2

1O—o—o*

(3)[a+(a-;-)■—~~—]+(a-2)(a+1)

l-aa-a+l

a'+b：

(4)o已知b(b—1)—a(2b—a)=—b+6?求一-—-ab的值

*(5).[(l-?~)(x—4+^)-3]-r(--1)

x-2xx

*(6).已知xJ=3,求小二的值

XX-x+1

2(b-a)

火(?)若a+b=l,求證:

a：b：+3

解題指導(dǎo)，

1.當(dāng)a=---時(shí),分式言三無意義，當(dāng)a.=------時(shí),這個(gè)分式的值為零.

a-2a~3

2.寫出下列各式中未知的分子或分母，

口=(y-x)；3J__；__I

5y()l-2x2x*-x

4

3b+2

3.不改變分式的值，把分式^一的分子，分母各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù)，且最高次項(xiàng)的系數(shù)

53

O?—[

均為正整數(shù)，得--------------.分式約分的結(jié)果為________.

—■a:—，a上十。/

4.把分式笠中的x,y都擴(kuò)大兩倍,那么分式的值()

溫故知新：一元二次方程復(fù)習(xí)與測試

主講教師：謝潮(蘇州立達(dá)中學(xué))

一、本講內(nèi)容

復(fù)習(xí)與測試(第22章一元二次方程)

二、重點(diǎn)講解

知識點(diǎn)回糜：

1.一元二次方程的四種解法：

直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法

2.根的判別式：

關(guān)于x的一元二次方程a/+8x+c=0(ar0)

A=2>2—Aac

當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

當(dāng)△<?時(shí)，方程無實(shí)根

3.根與系數(shù)關(guān)系

關(guān)于x的一元二次方程a，+於+c=0(ar0)

△N0時(shí)，有4+叼=_2,xxx2=—

當(dāng)aa

三、典型例題

例1.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠獭?/p>

(1)3+1)2=(>2X)2

解.x+1=1-2彳或工4-1=-(1-2%)

x=0或x=2

(2)("1)2=2(1-X)

解：1)2+2(x-1)=0

(x-l)(x+l)=0

.0.x-1=?；騲+1=0

??Xj=1,工義=-1

(3)6x2-7x-3=0

解：(3x+1)(2%-3)=0

，3x+l=0或2x-3=0

.__1_3

fg，"5

(4)3x2=4x+l

解：3x2-4x-1=0

△=(_49-4X3X(-1)=28>0

.-(-4)±7282+77

■?X-=

2X33

._2+/_2--/7

'=-，X2=Z；

(5)2X3-A/2X-30=0(注:用配方法)

x2—邑=15

2

2、泛.V2.J.V2.

X2-----x+(—)2=115c+(—)2

244

(V2.2121

.*1±U也

44

：.X1=3也,4=一1■'/

注：用配方法解一元二次方程的步驟為:

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1

⑵移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).

(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方

原方程變?yōu)?+㈤2="的形式

(4)

(5)如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可用直接開平方法求出方程的解。

例2.已知方程/+(2{+1)入+/-2=°的兩根的平方和為11,求卜的值.

解：設(shè)方程的兩根為勺，町

則有工1+忠2=_(2上+1),不叼=上2_2

2

.二SV-叁且移-3

，-(左+1?+工/+1=0

例4.已知關(guān)于x的一元二次方程4

(1)k取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根々，町滿足氏|=町，求k的值.

A=[-(jt+l)]2-4(-)t2+l)=2jt-3>0

解：(1)4

k>~,上當(dāng)上之2

解得22時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

(2)???|々|=町，分兩種情況

①當(dāng)勺2°時(shí)，得。=叼，.?.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

3

??A=0,?,k=一

2

②當(dāng)X<0時(shí)，在=—X],??工]+X?=0

由根與系數(shù)關(guān)系，得上+1=0

化=一1,由⑴知上之二，矛盾

/.2

k=-1舍去

?73

..K=—

2

例5.某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生的畝產(chǎn)量為200kg,出油率為50%(即每100kg

花生可加工成花生油50kg),現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油

2

132kg,其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的噌長率的萬，求：新品種花生畝產(chǎn)量的噌長

率.

解：設(shè)新品種花生畝產(chǎn)壁的噌長率為X,

200(1+x)?50%?(l+-x)=132

則有

解得勺=0.2,x3=-3.2(不合題意，舍去)

答：新品種花生畝產(chǎn)量的噌長率是20%.

注：對于增長率問題，解這類問題的公式是或1+*尸=&，其中，a是原來的壁，x

是平均增長率，n是噌長的次數(shù)，b為噌長的量.

例6.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件菽利40元，為了擴(kuò)大

銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每

件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.

求：

(1)若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場平均每天贏利最多？

解：(1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則有

(40-x)(20+2x)=1200

x2-30x4-200=0

解得=1°，叼=20

根據(jù)題意，取x=20,

,每件襯衫應(yīng)降低20元.

(2)商場每天贏利

(40-x)(20+2x)

=800+60x-2x2

=-2(X-15)2+1250

當(dāng)x=15時(shí)，商場贏利最多，共1250元

,每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場平均每天獲利最多.

例7.在△ABC中，a^b、c分別是NA、NB、NC的對邊，且c=5、8，若關(guān)于x的

方程(5/+?/+2ax+(5E-?=°有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程

2’-(10sin")x+5sinN=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和為印求：^ABC的面積.

分析：這是一個(gè)一元二次方程和解直角三角形的綜合題，由方程

(5月+?/+2ax+(5力一與=0有兩個(gè)相等的實(shí)根及c=5、回，易證AABC為直角三

角形，在方程2--(10sinH"+5sin/=°中，由根與系數(shù)關(guān)系和已知的兩實(shí)根平方

c1?

ab

和為6,可求sinA的值，再由三角函數(shù)定義和勾股定理可求出a,b,則皿2.

解：?.?方程(5/+3)/+2ax+(5/—?=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

「.△=(2a)2-4(5的+8)(50-6)=0

S.a1+b2=75

V?=（5^）2=75,：.a2+b2=c2

:?△」45C是直角三角形，且NC=90。。

設(shè)Xi，叼是方程2-—（10sinR）x+5sinH=0的兩實(shí)數(shù)根，

X]+叼=5sin4勺町=-sinA

則2

'.'%1+%2=6,而X；+君=+的）2-2勺勺

/.（5sin、）2-5sinR-6=0

sin幺=2或sin/=-2（舍去）

解得55

在RtZ\ABC中=5、回，a-c*sinA=3^/3,b--Jc2-a2=4、回

.SIABC=5a5=18

例8.已知關(guān)于x的一元二次方程。/+2ax+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為m

（1）試分別判斷當(dāng)a=L。=_3與&=2,c=、修時(shí)，加工4是否成立，并說明

理由；

（2）若時(shí)于任意