常微分方程李淑娟

常微分方程李淑娟第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實世界運動過程中量與量之間的一種關(guān)系。

現(xiàn)實中的量與量之間的關(guān)系稍微復(fù)雜一些，不能直接寫出它們之間的關(guān)系，但容易地建立這些變量和它們的導數(shù)（或微分）直接的關(guān)系式。數(shù)學建模工作室歡迎您第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)(微分)以及自變量之間的關(guān)系的方程。數(shù)學建模工作室歡迎您未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程。微分方程常微分方程偏微分方程第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一引例：曲線方程

已知曲線上任意一點處切線的斜率等于該點橫坐標3倍，且過點(-1,3)，求此曲線方程。數(shù)學建模工作室歡迎您第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一（1）根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學、力學、物理、化學等學科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導數(shù)應(yīng)用規(guī)律。建立微分方程模型的方法數(shù)學建模工作室歡迎您第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一在生物、經(jīng)濟等學科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。建立微分方程模型的方法（3）模擬近似法數(shù)學建模工作室歡迎您第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

微分方程是數(shù)學建模中用到的最廣泛的模型之一。它可以應(yīng)用于預(yù)測人口的走勢，種群的增長，污染物的擴散等實際問題的解決中。數(shù)學建模工作室歡迎您第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模中常用的微分方程模型人口增長模型1傳染病傳播模型2數(shù)學建模工作室歡迎您第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您人口增長模型種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，短時間內(nèi)改變的是少數(shù)個體，與整體數(shù)量相比，這種變化是很微小的。我們通常假定大規(guī)模種群的個體數(shù)量是時間的連續(xù)可微函數(shù)，由此引起的誤差將是十分微小的。第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一馬爾薩斯(Malthus)模型人口增長模型阻滯增長(Logistic)模型數(shù)學建模工作室歡迎您第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您模型1：馬爾薩斯（Malthus）模型第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您等式兩邊同時除以，有由初始條件，即為初始時刻的人口數(shù)再運用極限的思想，令有

故解方程得第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您當r>0,人口將以指數(shù)規(guī)律增長。當r<0,人口將以指數(shù)規(guī)律減少。當r=0,人口將保持常數(shù)。第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：

種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您幾何級數(shù)增長馬爾薩斯模型人口預(yù)測圖第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您模型檢驗人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符。第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)。得出結(jié)論：Malthus模型只適用于短時期預(yù)測第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您模型2：阻滯增長（Logistic）模型

人口凈增長率應(yīng)與人口數(shù)量有關(guān)，即反應(yīng)了自然因素對人口增長的影響，令r=r(N)

第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您1r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求.2為了得到實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則.工程師們在建立實際問題的數(shù)學模型時，總是采用盡可能簡單的方法.3r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到Malthus模型。對Malthus模型的最簡單的改進就是引入一次項（競爭項）.分析：第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您注：設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量。故第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您故滿足初始條件N(0)=N0的解為：易見：

N(0)=N0

，第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您不同初始條件下的N(t)的圖形第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長規(guī)律，效果還是相當不錯的。例如，1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗；數(shù)學生物學家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

模型檢驗第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。

Malthus模型呈現(xiàn)的是J型增長，只適應(yīng)于短期內(nèi)，并無外界因素影響。而Logistic模型呈現(xiàn)S型，適應(yīng)于中長期且有外界因素影響。Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)數(shù)學建模工作室歡迎您用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好。否則，就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學模型有相同的微分方程即可。Malthus模型和Logistic模型的推廣如：單位人員管理問題漁業(yè)管理問題單位資金管理問題森林管理問題第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您單位人員管理問題合理安排進人速度和出人速度，使得單位人員的利用率達到最高。如：單位人員管理問題漁業(yè)管理問題單位資金管理問題森林管理問題第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您

單位資金管理問題當收入資金速率一定時，合理安排支出，使得在某段時間內(nèi)資金積累達到所需要求。如：單位人員管理問題漁業(yè)管理問題單位資金管理問題森林管理問題第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您森林管理問題主要協(xié)調(diào)植樹和用材的關(guān)系，使得森林發(fā)揮其應(yīng)有的作用。如：單位人員管理問題漁業(yè)管理問題單位資金管理問題森林管理問題第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您

漁業(yè)管理問題每年捕撈的速率控制在多少時，既能保持持續(xù)發(fā)展，還能有較大的收獲量。如：單位人員管理問題漁業(yè)管理問題單位資金管理問題森林管理問題第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您

漁業(yè)管理問題每年捕撈的速率控制在多少時，既能保持持續(xù)發(fā)展，還能有較大的收獲量。如：單位人員管理問題漁業(yè)管理問題單位資金管理問題森林管理問題傳染病傳播第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您傳染病經(jīng)常在世界各地流行，如霍亂，天花，艾滋病，SARS,H5N1病毒等，建立傳染病的數(shù)學模型,分析其變化規(guī)律，防止其蔓延是一項艱巨的任務(wù).一個地區(qū)有m個人，一名群眾不慎患傳染病，t小時后有n人發(fā)病，由于此地區(qū)不能及時隔離，問經(jīng)過t1小時、t2小時，患此傳染病的人數(shù)有多少？第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您微分方程模型可以解決問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報傳染病高潮到來的時刻第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您傳染病模型每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)建模t時刻已感染人數(shù)(病人)

為i(t)第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)?等式兩邊同時除以，有由初始條件，即為初始時刻的已感染疾病的人口數(shù).再運用極限的思想，令有

故解方程得第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，t時刻病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸(使接觸的健康人致病)人數(shù)為建模稱為SI模型為日接觸率即為Logistic模型第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您(日接觸率)tm病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大求解得

tm表示傳染病高潮到來時刻

1/2tmii010t第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室歡迎您微分方程可以解決的相關(guān)問題經(jīng)濟增長的預(yù)測正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)地震破壞程度的估計種群的相互競爭藥物在體內(nèi)的分布與排除香煙過濾嘴煙霧的擴散與消失萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)火箭的發(fā)射范.梅格倫(VanMeegren)偽造名畫案第39頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學建模工作室期待您的加入謝謝?。。〉?0頁，共41頁，2023年，2