2018高考數(shù)學(xué)理解題方法：分類討論化繁為簡

分類討論化繁為簡一、由概念、法則、公式引起的分類討論由數(shù)學(xué)概念、法則、公式的限制而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角、等差、等比數(shù)列彷，的前n項和公式等.7【例1】(2017-江蘇高考)等比數(shù)列｛囁的各項均為實(shí)數(shù)，其前n項和為Sn?已知S3=7,S6=果則a8=s=as=a1(1-q3)=7S3~1-q~4,

s_a1(1-q6)=63

1s6-1-q-4，【解析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,則由S產(chǎn)2s3,得qW1,則'q=2， 1解得］ 1 則a8=a1q7=4X27=32.Ia1=4， 4【類題通法】本題易忽略對q=1的討論，而直接由"：二：)>0,得q的范圍，這種解答是不完備的.本題根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式的使用就要分q=1,Sn=na1和qW1,Sn="；_；)進(jìn)行討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.一條直線過點(diǎn)(5,2),且在x軸，y軸上截距相等，則這條直線的方程為()x+y—7=02x—5y=0x+y—7=0或2x—5y=0x+y+7=0或2y—5x=0【答案】C【解析】設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當(dāng)a=0時，直線過原點(diǎn)，此時直線方程為y=x，即2x-5y=0;當(dāng)aW0時，設(shè)直線方程為丸+：=1,則求得a=7,直線方程為x+y-7=0.2.若函數(shù)fx)=a(a>0,aW1)在［—1,2］上的最大值為4,最小值為m，且函數(shù)g(x)=(1—4mWi在［0,+8)上是增函數(shù)，則a=.1【答案】4

1【解析】若。>1,有a2=4,a-1=m，此時a=2,m=，此時g(x)=—"；x為減函數(shù)，2不合題意，若0<a<1,有a-1=4,a2=m，故a=4,m=已檢驗(yàn)知符合題意.二、由運(yùn)算、性質(zhì)引起的分類討論由數(shù)學(xué)運(yùn)算、性質(zhì)要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式等.【例2】(201&浙江高考)已知a,b>0且aW1,b#1,若10g/>1,貝U( )A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b一a)>0【答案】D【解析】Va,b>0且a#1,b#1,，當(dāng)a>1,即a-1>0時，不等式10gJb>1可化為alog/>a1,即b>a>1,???(a-1)(a-b)V0,(a-1)(b-1)>0,(b-1)(b一a)>0.當(dāng)0Va<1,即a-1V0時，不等式10gI)>1可化為alog/Va1,即0VbVaV1,,(a-1)(a-b)V0,(a-1)(b-1)>0,(b-1)(b一a)>0.綜上可知，選D.【類題通法】應(yīng)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，往往對底數(shù)是否大于1進(jìn)行討論，這是由它的性質(zhì)決定的.在處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間段，再選取相應(yīng)的對應(yīng)法則,離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯誤的重要原因之一.【對點(diǎn)訓(xùn)練】.已知函數(shù)fx)=ax+b(a>0,a#1)的定義域和值域都是［-1,0］,則a+b=.3【答案】-2-a-a-1+b=-1,

a0+b=0【解析】當(dāng)a>1時，函數(shù)fx)=ax+b在［-1,0］上為增函數(shù)，由題意得?［a-1+b=0,無解.當(dāng)0<a<1時，函數(shù)fx)=ax+b在［-1,0］上為減函數(shù)，由題意得I一 解得［a0+b=-1,a=2,所以a+b=-2.、b=-2,1.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知cos2C=一；.(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a=2,2sinA=sinC時，求b及c的長.【解析】(1)由cos2C=1—2sin2C,得sinC=號0.(2)由2sinA=sinC,得2a=c，所以c=4.由sinC="40,得cosC=±興下面分兩種情況：①當(dāng)cosC=￥時，由余弦定理c2=a2+b2—2abcosC得b2—Y&-12=0,解得b=2\'6.②當(dāng)cosC=—乎時，同理可得b=瓜綜上c=4,b=2而或b=■'■76.三、由參數(shù)變化引起的分類討論由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等.【例3】(2016?天津高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)fx)=x3-0K-b,x￡R，其中a,b￡R，求fx)的單調(diào)區(qū)間.【解析】由fx)=x3—ax—瓦可得f'(x)=3x2—a.下面分兩種情況討論：①當(dāng)aW0時，有f(x)=3x2—a20恒成立，所以fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,+8).②當(dāng)a>0時，令f(x)=0,1 3a.. \：3a解得x=3或x=—3.當(dāng)x變化時，f(x),fx)的變化情況如下表:x(-8,-3)\/3a3(v3a x/3a)(一3，3)v3a3(冬+8)f(x)+00+fx)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以fx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一工3a,言)，單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-H3a),(4°,33 3 3【類題通法】(1)本題研究函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分為aW0和a>0兩種情況.(2)若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論,此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、不重不漏.【對點(diǎn)訓(xùn)練】TOC\o"1-5"\h\z一 X,,0VxV1, 小1.(2017-山東高考)設(shè)fx)=J,八 若fa)=fa+1)，則貶=()12(x—1)，x21. sA.2 B.4C.6 D.8【答案】C【解析】當(dāng)0VaV1時，a+1>1,fa)=，E,fa+1)=2(a+1-1)=2a,Vfa)=f(a+1),A'Ja=2a,解得a=4或a=0(舍去).:?f(0)=f(4)=2X(4-1)=6.當(dāng)a21時，a+122,:fa)=2(a-1),fa+1)=2(a+1-1)=2a,,2(a-1)=2a，無解.綜上，fa)=&2.設(shè)函數(shù)fx)=x2—ax+a+3，g(x)=ax—2a，若存在x產(chǎn)R，使得fx0)<0和g(x0)<0同時成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(7，+8) B.(—8，—2)U(6，+8)C.(—8，—2) D.(—8，-2)U(7，+8)【答案】A【解析】由fx)=x2-ax+a+3,知f(0)=a+3,f(1)=4.又存在x0G氏，使得fx0)<0,所以A=a2-4(a+3)>0,解得a<-2或a>6.又g(x)=ax-2a的圖象恒過(2,0),故當(dāng)a>6時，作出函數(shù)fx)和g(x)的圖象如圖1所示，當(dāng)a<-2時，作出函數(shù)fx)和g(x)的圖象如圖2所示.圖1 圖2由函數(shù)的圖象知，當(dāng)a>6時，若g(x0)<0,則x0<2,,a>6,???要使fx0)<0,則圖", 解得a>7.\Jf(2)<0，當(dāng)a<—2時，若g(x0)<0,則x0>2,此時函數(shù)fx)=x2—ax+a+3的圖象的對稱軸x=a<0,故函數(shù)fx)在區(qū)間g,+8)上為增函數(shù)，又H1)=4,???fx0)<0不成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(7,+8).四、根據(jù)圖形位置或形狀分類討論由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等.【例4】設(shè)FJF2為橢圓葭+號=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P,F"F2是1 2 ^9^4 1 2一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且IPFJ>IPF221，求器的值.【解析】①若NPF22F1=90°.貝力IPF1I2=IPF2|2+1F1F2I2,又???|PF1I+IPF2I=6,IF1F2I=2\15,14 4 IPFI7解得師/二14,IPF2I=3，?jPF1j=7.2②若NF1PF2=90°,則IF1F2I2=IPF/2+IPF2I2,?IPF1I2+(6—IPF1I)2=20,IPF.I,?IPF1I=4,IPF2I=2，?jPF1j=2.2PF」7綜上知，Ipfi=2或2.【類題通法】(1)本題中直角頂點(diǎn)的位置不定，影響邊長關(guān)系，需按直角頂點(diǎn)不同的位置進(jìn)行討論.(2)破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①確定特征，一般在確立初步特征時將能確定的所有位置先確定.②分類，根據(jù)初步特征對可能出現(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類.③得結(jié)論，將“所有關(guān)系”下的目標(biāo)問題進(jìn)行匯總處理.【對點(diǎn)訓(xùn)練】.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為()A.833 B.4\"3C.亭 D.4V3或單9 3【答案】D【解析】當(dāng)矩形長、寬分別為6和4時，體積V=2X\,5X1X4=4-J5;當(dāng)長、寬分別2為4和6時，體積V=4X卒X1X6=q3.332 32.過雙曲線x2-22=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若IAB1=4,則這2樣的直線l有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的兩個頂點(diǎn)之間的距離是2,小于4,所以當(dāng)直線l與雙曲線左、右兩支各有一個交點(diǎn)時，過雙曲線的右焦點(diǎn)一定有兩條直線滿足條件要求；當(dāng)直線l與實(shí)軸垂直時，有3—y=1,解得y=2或y=-2,2所以此時直線AB的長度是4,即只與雙曲線右支有兩個交點(diǎn)的所截弦長為4的直線僅有一條.綜上，可知有3條直線滿足ABI=4.'x2°,3.已知變量x,y滿足的不等式組jy