2020年山西太原高考數學二模試卷理科

2020年山西省太原市高考數學二模試卷（理科）題號 4總分得分一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合A={%I已+,x-2>0}.B={-1,0,1,2},則(2.3.A.AnB={2}C.bn(c誨)={-1,2}已知a是實數，A.1kJ是純虛數B.-1B.AUB=RD.BU(CRA)={%I-1<%<2}則a等于（ ）C.口D.已知以二2禽十6一槨隊五°2c—，則（A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b4.如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.n三N（modm）表示正整數n除以正整數m的余數為N,例如10三4（mod6）.執(zhí)行該程序框圖，則4.輸出的n等于（)A.11C.B.D.1713則向量5.,角的取值范圍是（)的圖象大致為（6.函數y=輸出的n等于（)A.11C.B.D.1713則向量5.,角的取值范圍是（)的圖象大致為（6.函數y=F為下是兩個非零向量14夾第1頁，共16頁7.C.D.b,1能構造銳角三角形的)8.A.設奇函數f(X)在B.口C.(0,+8)上為增函數，且￡(1)=0,則不等式V0的解集為7.C.D.b,1能構造銳角三角形的)8.A.設奇函數f(X)在B.口C.(0,+8)上為增函數，且￡(1)=0,則不等式V0的解集為()(-1,0)U(1(-?,-1)U(0,1)(y-1)U(1,+8)(-1,0)U(0,1)圓周率n是數學中一個非常重要的數，歷史上許多中外數學家利用各種辦法對旗行了估算.現利用下列實驗我們也可對圓周率進行估算.假設某校共有學生N人,讓每人隨機寫出一對小于1的正實數a,b,再統(tǒng)計出a,人數乂，利用所學的有關知識，貝間估計出n的值是(9.10.A.2B.4D.8已知數列｛an｝的前n項和為9.10.A.2B.4D.8已知數列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足an=an則數列內，的前100項和1100為(匚］.數列也｝滿足bn=(-1)n(2n+1))A.i(n?wB.C.呵101過拋物線y2=4x的焦點的直線l與拋物線交于A,B兩點，設點M(3,0).若"AB的面積為記，則AB|=()11.對于函數『0)=式品也+COS")-#【'四一3例.有下列說法:①f(X)的值城為［-11］；②當且僅當》=郎;T+幻時，函數f(x)取得最大值;11.③函數f(x)的最小正周期是n④當且僅當工6^白/2如T+。田E7)時f(x)>0.其中正確結論的個數是()1234123412.三棱錐P-ABC中.ABJBC,△PAC為等邊三角形，二面角P』C-3的余弦值為口,當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為8兀則三棱錐體積的最大值為()12.1A.1A.一1一3一二、填空題(本大題共4小題，共20.0分).已知(x-1).(ax+1),5的展開式中，X2的系數為0,則實數a=..已知雙曲線—1(a>0,匕>0)的左右頂點分別為A,B,點P是雙曲線上一點，若NAB為等腰三角形，^48=120°,則雙曲線的離心率為.15.已知數列包｝滿足ri-1fln15.已知數列包｝滿足ri-1fln+1T1+11)+15@*),且%=6,則｛an｝的通項公式為第2頁，共16頁.改革開放40年來，我國城市基礎設施發(fā)生了巨大的變化，各種交通工具大大方便了人們的出行需求.某城市的A先生實行的是早九晚五的工作時間，上班通常乘坐公交或地鐵加步行.已知從家到最近的公交站或地鐵站都需步行5分鐘，乘坐公交到離單位最近的公交站所需時間Z1(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(33,42),下車后步行再到單位需要12分鐘；乘坐地鐵到離單位最近的地鐵站所需時間Z2(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(44,22),從地鐵站步行到單位需要5分鐘.現有下列說法：①若8：00出門，則乘坐公交一定不會遲到；②若8：02出門，則乘坐公交和地鐵上班遲到的可能性相同；③若8：06出門，則乘坐公交比地鐵上班遲到的可能性大；④若8：12出門，則乘坐地鐵比公交上班遲到的可能性大.則以上說法中正確的序號是 .參考數據：若Z?N(因02),則P(g-G<Z<g+o)=0.6826,P(r2o<Z<g+2c)=0.9544,P(r3o<Z<g+3c)=0.9974三、解答題(本大題共7小題，共82.0分).△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若陛手匚耳，且△ABC外接圓的半徑為1.(I)求角C；(H)求^ABC面積的最大值.18.如圖，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，/BAD=60°,對角線AC與BD相交于點O,四邊形ACFE為梯形，EFHAC,點E在平面ABCD上的射影為OA的中點，AE與平面ABCD所成角為45°.(I)求證：BD1平面ACF；(H)求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.第3頁，共16頁

19.已知b1,F2是橢圓C： -1Q>b>0)的左、右焦點，過橢圓的上頂點的直線％+尸1被橢圓截得的弦的中點坐標為星姆.(I)求橢圓C的方程；(H)過F1的直線l交橢圓于A,B兩點，當△ABF2面積最大時，求直線l的方程.20.為實現2020年全面建設小康社會，某地進行產業(yè)的升級改造.經市場調研和科學研判，準備大規(guī)模生產某高科技產品的一個核心部件，目前只有甲、乙兩種設備可為二級品，I%-121>2為三級品.(I)現根據頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產品，再從所抽取的40件產品中，抽取2件尺寸％012,15］的產品，記自為這2件產品中尺寸1H14,15］的產品個數，求之的分布列和數學期望；(H)將甲設備生產的產品成箱包裝出售時，需要進行檢驗.已知每箱有100件產品，每件產品的檢驗費用為50元.檢驗規(guī)定：若檢驗出三級品需更換為一級或二級品；若不檢驗，讓三級品進入買家，廠家需向買家每件支付200元補償.現從一箱產品中隨機抽檢了10件，結果發(fā)現有1件三級品.若將甲設備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費用作為決策依據，問是否對該箱中剩余產品進行一一檢驗？請說明理由；(皿)為加大升級力度，廠家需增購設備.已知這種產品的利潤如下：一級品的利潤為500元/件；二級品的利潤為400元/件；三級品的利潤為200元/件.乙種設備產品中一、二、三級品的概率分別是，口，圖.若將甲設備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤作為決策依據.應選購哪種設備？請說明理由.第4頁，共16頁.已知函數f(x)=lnx+ax+1.(I)若函數f(x)有兩個零點，求a的取值范圍;(口)f(x)<如恒成立，求a的取值范圍..在平面直角坐標系xQy中，曲線q的參數方程為匕二」(t為參數)，曲線C2的參數方程為|y=2sin慎(a為參數)，以坐標原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(I)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；(n)射線k=s((KE<$|與曲線c2交于ap兩點，射線匠王］|與曲線c1交于點。，若△opq的面積為1,求IopI的值.23已知a,b,c為正實數.(I)若a+b+c=1,證明：［白1)J“-1)/H；(n)證明：島十卷+“；工之；.2020年山西省太原市高考數學二模試卷(理科)答案和解析【答案】第5頁，共16頁

4.D5.C6.A7.B4.D5.C6.A7.B11.B12.D8.D 9.D 10.C.I.|3.2n2-n.②④?a2-b2=dab-b?a2-b2=dab-b2,即，可得sinA=,-口-r-J一1十B一2ab，由余弦定理可得cosC(H)由正弦定理，片」2,可得c=2si由余弦定理2=a2+b2-2ab.^2ab-國ab=（2-國）ab,可得ab1.=2+|\^|,當且僅當a=b時等號成立，可得S協(xié)阮=|absinC制ab<g1，當且僅當a=b時等號成立，即△ABC面積的最大值為,18.解：(I)證明：取AO中點H，連結EH，則EH||平面ABCD,■:BD在平面ABCD內，:.EH1BD，又菱形ABCD中，AC1BD，且EHAAC=H，EH，AC在平面EACF內，BD1平面EACF，BD1平面ACF.(H)解：由(I)知EH1平面ABCD,以H為原點，HA為％軸，在平面ABCD中過H作AC的垂線為y軸，HE為z軸，建立空間直角坐標系，???EH1平面ABCD,:.乙EAH為AE與平面ABCD所成的角，即NEAH=45°,???AB=4,aAO=痘,AH=國，EH=國，」.H(0,0,0),A(|\■,[,0,0),D(-|\-,I，-2,0),0(口0,0),E(0,0,刖)，平面ABCD的法向量『(0,0,1),,4。=(-狙，0,0),向=(叵2.抑)，「EF||AC,.?.訐一乙片(-2^,0,0),設平面DEF的法向量；=(羽y,z),第6頁，共16頁

19.解：(I)直線%19.解：(I)直線%+y=1與y軸的交于(0,1)點，b=1,設直線%+y=1與橢圓C交于點M(%y1),N(%2,y2),則%1+%2=-1-2-解得G=3,??橢圓C的方程為口+y2=1.（H）由（I）可得F[（E,0）,F2（-刖，0）,設A（%3,y3）,B（X4,y4）,講直線l的方程%=my-刖代入口+y2=1,可得（m2+3）y2-2|^|my-1=0,1y3-y411y3-y41;貝"y3+y4=匚],...SAT嗎用1F1F2I-Iy3-y41二m”y3-y4當且僅當,即m=±1,△ABF2面積最大，即直線l的方程為％-y+￡>0或％+y+0=0.20.解：⑺抽取的40件產品中，產品尺寸%￡[12,15]的件數為：40x[(0.2+0.175+0.075)x1]=18,??七的分布列為:??七的分布列為:第7頁，共16頁??E片調+1x臥2乂》.(〃)三級品的概率為(0.1+0.075)x1=0.175,若對剩余產品逐一檢驗，則廠家需支付費用50x100=5000；若對剩余產品不檢驗，則廠家需支付費用50x10+200x90x0.175=3650,??5000>3650,故不對剩余產品進行逐一檢驗.(/〃)設甲設備生產一件產品的利潤為匕，乙設備生產一件產品的利潤為y2,貝UE(y1)=500x(0.3+0.2)+400x(0.150+0.175)+200x0.175=415,_,、 a_n ri_,E(y2)=500甘400x|j+200x國=420.?E(yJ<E(y2).???應選購乙設備.21.解：(I)由已知得%>0,,⑺=>口.①當a>0時，f(x)>0,此時f(x)是增函數，故不會有兩個零點；②當a<0時，由fT*〕=；+-=《得"=-；>0,此時卜一；)時，「(箱>0,此時外功遞增|；當工門-g+網仁「(XK0.北時「附是誡函數.所以「刁時，f(%)取得極大值，由f(x)有兩個零點，所以解得-1<a<0.又0，又0，所以f(x)在(0，目)有唯一零點.所以f(x)在(一+飆)有唯一實數根.a的取值范圍是(-1，0).(II)f(x)<xex恒成立，即xex>>lnx+ax+1在(0，+?)上恒成立，即。三鏟一?一；在(0，+8)上恒成立.令g+8)上恒成立.令g(x)=m*，，：，則令h(x)=x2ex+lnx，則+小曰"+7>0.所以h(x)在(0，+s)上遞增.而在(0，而在(0，x0)上，h(x)<0，+s)上，h(x)>0，即g;即g/(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上遞減；在00,(x)>0，故g(x)在(]0，+s)上遞增.第8頁，共16頁(口)由于p=4cos0,設點P(4cos0,P),由于直線C1的極坐標方程為pcos0-psin0+1=0.“a=b=c”時取等號.【解析】1.解：?.4={%I%2+%-2>0}={%I%<-2或%>1}..?/nB={2}.故選：A.先求出集合A,再求兩集合的交，并，補，可判斷正誤.本題考查集合的基本運算，屬于基礎題.故選：A.利用復數的運算法則即可得出.本題考查了復數的運算法則，屬于基礎題.3.解：..板內1〈'網2〈山內巡|，.??。<a<,「log050.2=log25>log24, b>2,???0.5i<0.5o.2<0.50,.?二二一Ia<c<b,故選：B.利用對數函數和指數函數的性質求解.第9頁，共16頁本題考查三個數的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數函數和指數函數的性質的合理運用.4.解：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出同時滿足以下條件的最小兩位數：①被3除余2，②被4除余1，故輸出的n為17，故選：D.由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量n的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎題.5.解：根據題意，設11=1口1=K則1口+。=W，再設向量□與國夾角為仇又由1＜m ，則1虱晝虱列，則有-詼。*口，又由0＜。＜冗，則有同＜。＜同，即0的取值范圍為［同，部故選：C根據題意，設。1=。1=t，向量與目|夾角為0,又由。+口1=mt，由向量模的計算公式變形可得：0?0=142,進而可得［。的值，由數量積公式可得cos。爺耳=-口x14一何，結合m的范圍，分析可得cos0的范圍，結合余弦函數的性質分析可得答案.本題考查向量數量積的計算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎題..【分析】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用排除法是解決本題的關鍵.根據/(I)的符號及函數的定義，利用排除法進行判斷即可.【解答】/(1)= |>0,排除C,D,選項B中一個％值對應兩個y值，不是函數，排除B,故選：A..解：學校共有學生N人，每人隨機寫出一對小于1的正實數a,b，得到N個實數對(a,b),因為0Va＜1,0Vb＜1,所以N個實數對(a,b)都在邊長為1的正方形AOBC內，如圖所示：第10頁，共16頁

若。，b,1能構造銳角三角形，因為1是最長邊，所以1所對的角為銳角，,即a若。，b,1能構造銳角三角形，因為1是最長邊，所以1所對的角為銳角，,即a2+b2>1,所以N對實數對落在單位圓x2+y2=1外的有M對，所以|￡+&z-i-->o由幾何概率的概率公式可得:所以n=-：i.'jN1-口故選：B.N個實數對Q,b)都在邊長為1的正方形AOBC內，若a,b,1能構造銳角三角形，則a2+b2>1,所以N對實數對落在單位圓％2+y2=1外的有M對，再利用幾何概率的概率公式即可求出n的近似值.本題主要考查了幾何概率的概率公式，是中檔題..解：；f(x)為奇函數，且在(0,+8)上是增函數，f(1)=0,f(1)=f(-1)=0,在(-8,0)內也是增函數<0,即或)l<0,即或)l 0?、?lt;0網幻一網一外寫3IL二<0t/'OT>o根據在(-8,0)和(0,+8)內是都是增函數解得：xG(-1,0)U(0,1)故選：D.根據函數為奇函數求出f(1)=0,再將不等式xf(x)<0分成兩類加以分析，再分別利用函數的單調性進行求解，可以得出相應的解集.本題主要考查了函數的奇偶性的性質，以及函數單調性的應用等有關知識，屬于基礎題.結合函數的草圖，會對此題有更深刻的理解..解：拋物線y2=4x的焦點F為(1,0),可設直線l的方程為x=ty+1,代入拋物線方程，可得y2-4ty-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=41,y1y2=-4,貝UIA51=貝UIA51=1匕-y21,第11頁，共16頁△MAB的面積為01MF!,1y1-y2|=|Jx2ly「y2I=4國,即J16E*+1「|=4［7^|，解得t=±1,則IABl4?l+1|?矗五國二8,故選：D.求得拋物線的焦點F的坐標，可設直線l的方程為％=ty+1,聯立拋物線的方程，消去％,可得y的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，以及三角形的面積公式，解得t，進而得到所求值.本題考查拋物線的方程和性質，考查直線和拋物線的位置關系，注意聯立直線方程和拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題..解：；［_ ，，當n=1時，有a1=H，解得。廣;；當n=2時，可解得％二口,故猜想：an=|,,',.|，下面利用數學歸納法證明猜想：①當n=1,2時，由以上知道an=,J顯然成立；②假設當n=k（k>2時，有ak=|..成立，此時Sk=""I+"!+…+|'? ，，+…--?|二|""］成立，那么當n=k+1時，有ak+1這說明當n=k+1時也成立.???b=(-1ak+1這說明當n=k+1時也成立.???b=(-1)n?(2n+1)(-1)，???數列｛?｝的前100項和T100二-([|+])+4+3)-(|《+J)+…+(|疝+舊)=-1故選：C解得ak+1=（FTi）RFT，，，由①②知:vb=(-1)n?(2n+1)a由a由an=求出a1，a2,猜想出an=| .',.|，然后用數學歸納法證明猜想，再使用裂項相消法求數列｛bn｝的前100項和T100.本題主要考查數學歸納法在求數列通項公式中的應用及裂項相消法在數列求和中的應

誤；函數f(X)的最小正周期是2n,③錯誤；當且僅當卜=2甌+ 時，函數f(X)取得最大值，②正確;當且僅當包啊也上以竺到時，f(x)>0,④正確.故選：B.根據絕對值的定義將函數f(x)寫成分段函數，再作出函數的圖象即可判斷各命題的真假.本題主要考查分段函數的圖象，以及三角函數的圖象與性質的應用，屬于中檔題..解：如圖所示，過點P作PE1面ABG垂足為E，過點E作ED1AC交AC于點D，連接PD,則NPDE為二面角P-AC-B的平面角的補角，即有cosZPDE二口, ---易知AC1面PDE,則AC1PD，而△PAC為等邊三角形，??.D為AC中點，設AB=a,BC=b,AC=',,1+匕工二c,PE=PDsinZPDE="/xcx故三棱錐P-ABC的體積為：V=；xgabx當且僅當a=b塔時，體積最大，此時B、D、E共線.設三棱錐P-ABC的外接球的球心為0,半徑為R,由已知，4nR2=8n,得R=朋.過點0作0F1PE于F，則四邊形0DEF為矩形，貝U0D=EF=%一⑶,ED=0F=PDcosZPDE=白姆=,PE=在Rt△PF0中，(國)2=田產+G-5一令引，解得c=2.???三棱錐P-ABC的體積的最大值為： .故選：D.由已知作出圖象，找出二面角P-AC-B的平面角，設出AB,BC,AC的長，即可求出三棱錐P-ABC的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值(用含有AC長度的字母表示)，再設出球心0,由球的表面積求得半徑，根據球的幾何性質，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關系求得AC的長度，則三棱錐體積的最大值可求.本題考查三棱錐體積最值的求法與三棱錐外接球的表面積的求法，涉及二面角的運用，基本不等式的應用，以及球的幾何性質的應用，屬于難題..解：原式=x(ax+1)5-(ax+1)5,因為(ax+1)5=(1+ax)5,故原式x2項為：比lax-cl(c=)2=(acl-a《記，令江；一應一乙彳—U,即5a-10a2=0,第13頁，共16頁

解得［=］或a=0(舍)故答案為：［.將原式轉化為％(aX+1)5-(aX+1)5,然后利用(a%+1)5的通項研究％2.本題考查二項式展開式通項的應用，以及學生利用方程思想解決問題的能力.屬于基礎題.可得,故答案為：目.題.可得,設P(m,n)在第二象限，由題意可得IPA\=\AB1=2a,求得P的坐標，代入雙曲線的方程，化簡可得a,b的關系，即可得到所求離心率.本題考查雙曲線的方程和性質，考查任意角三角函數的定義，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.①當n=1時，a1=1,又a1=1滿足上式，.解：數歹U{an}滿足t= 1)①當n=1時，a1=1,又a1=1滿足上式，故答案為：2n2-n.常數列，所以「：=2,從而求出

n-1,易求常數列，所以「：=2,從而求出

n-1,易求a1=1,當n>2時，對已知等式變形得所以數列｛匚｝從第二項開始是an，驗證首項滿足an,進而得到｛an｝的通項公式.本題主要考查了數列的遞推式，是中檔題..解：若8：00出門，江先生乘坐公交，從家到車站需要5分鐘，下車后步行再到單位需要12分鐘，乘坐公交到離單位最近的公交站所需時間Z1服從正態(tài)分布N(33,42),故當滿足P故當滿足P(Z>45)=1-F(21<2<4S) 1-0.9974-^-5 二-—二。用。1W「?江先生仍有可能遲到，只不過概率較小，故①錯誤;第14頁，共16頁若8：02出門，江先生乘坐公交.??從家到車站需要5分鐘，下車后步行再到單位需要12分鐘，乘坐公交到離單位最近的公交站所需時間Z1服從正態(tài)分布N(33,42)，故當滿足P(Z<41)=——=時，江先生乘坐公交不會遲到；若8：02出門，江先生乘坐地鐵.??從家到車站需要5分鐘，下地鐵后步行再到單位需要5分鐘，乘坐地鐵到離單位最近的地鐵站所需時間Z2服從正態(tài)分布N(44,22),故當滿足P(Z<48)=""鈉J三福)+叫4Q<Z<4B)—099司時，江先生乘坐地鐵不會遲到.此時兩種上班方式江先生不遲到的概率相當，故②正確；若8：06出門，江先生乘坐公交.??從家到車站需要5分鐘，下車后步行再到單位需要12分鐘，乘坐公交到離單位最近的公交站所需時間Z1服從正態(tài)分布N(33,42),故當滿足P(Z<37)=*"":上+PQ9C7<37)=0.8413時，江先生乘坐公交不會遲到；若8：06出門，江先生乘坐地鐵.??從家到車站需要5分鐘，下地鐵后步行再到單位需要5分鐘，乘坐地鐵到離單位最近的地鐵站所需時間Z2服從正態(tài)分布N(44,22),故當滿足P(Z<44)羽=0.5時，江先生乘坐地鐵不會遲到.此時兩種上班方式，乘坐公交比地鐵上班遲到的可能性小，故③錯誤；若8：12出門，江先生乘坐公交.??從家到車站需要5分鐘，下車后步行再到單位需要12分鐘，乘坐公交到離單位最近的公交站所需時間Z1服從正態(tài)分布N(33,42),故當滿足P(Z<31)時，江先生乘坐公交不會遲到，而P(Z<31)>P(Z<29)」一"儂產、”一業(yè)1857；若8：12出門，江先生乘坐地鐵.??從家到車站需要5分鐘，下地鐵后步行再到單位需要5分鐘，乘坐地鐵到離單位最近的地鐵站所需時間Z2服從正態(tài)分布N(44,22),故當滿足P(Z<38)=1尸#，』.50時，江先生乘坐地鐵不會遲到.由0.1857>0,00135,??若8：12出門，則乘坐地鐵比公交上班遲到的可能性大，故④正確.故答案為：②④.利用正態(tài)分布對每一個說法求解器復數的概率，逐項分析，即可選出正確答案.本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量g和。的應用，考查曲線的對稱性，正確理解題意是關鍵，考查計算能力，是中檔題.(I)由已知利用正弦定理可得sinA=口，sinB書sinC飛，代入已知等式整理可得由余弦定