地震地面運(yùn)動(dòng)具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性和不確定性

地震地面運(yùn)動(dòng)具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性和不確定性，地震作用下地面建筑物的動(dòng)力響應(yīng)同樣具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性。國(guó)外地震工程學(xué)者在40年代末就開(kāi)始將隨機(jī)振動(dòng)理論引入到建筑結(jié)構(gòu)抗震研究中來(lái)，國(guó)內(nèi)有關(guān)研究工作始于60年代初期并在進(jìn)入80年代后逐漸活躍。但是應(yīng)該看到，隨機(jī)抗震理論的實(shí)際應(yīng)用狀況在國(guó)內(nèi)外還不盡人意，運(yùn)用隨機(jī)抗震理論進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)研究和分析的工作在國(guó)內(nèi)外都開(kāi)展得遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，與這種理論的先進(jìn)性很不相稱。本文針對(duì)二維重力壩結(jié)構(gòu)，詳細(xì)論述結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)力分析方法，并對(duì)該方法實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中的一些問(wèn)題提出作者的見(jiàn)解及具體處理方法，最后還給出一重力壩工程隨機(jī)地震動(dòng)力分析的實(shí)例。地震動(dòng)隨機(jī)輸入模型Housner在1947年引入白噪聲地震動(dòng)模型。日本學(xué)者金井清在1957年提出了被稱之為過(guò)濾白噪聲模型的地震動(dòng)隨機(jī)輸入模型，其形式較為簡(jiǎn)捷，物理概念明確，與大量地震動(dòng)實(shí)測(cè)資料符合得較好。Penzien和S.C.Liu曾經(jīng)采用金井清模型產(chǎn)生50條人工地震波,以50條人工地震波樣本得到的速度反應(yīng)譜與Housner的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜曲線十分接近。這一研究結(jié)果對(duì)金井清模型是有力的支持，不過(guò)金井清模型也存在一些缺陷，主要包括對(duì)地震動(dòng)低頻成分有所夸大，地震動(dòng)位移、速度以及加速度導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均方值因相應(yīng)譜函數(shù)存在奇異點(diǎn)或廣義積分不收斂而無(wú)法求得。針對(duì)這些缺陷近二、三十年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者在金井清譜的基礎(chǔ)上提出了不勝枚舉的修正模型。公正地說(shuō)這些模型中不乏優(yōu)者，但或許是對(duì)其合理性和可靠性的論證力度不夠，至今尚未有哪個(gè)模型的影響程度真正能與金井清模型相匹敵。下面的論述中我們不難看出金井清譜的上述缺陷對(duì)其實(shí)際運(yùn)用并不形成大的障礙。1.1KanaiTajimi地震動(dòng)模型金井清地震動(dòng)模型被認(rèn)為是日本學(xué)者Kanai和Tajimi共同提出的，所以有時(shí)也稱為KanaiTajimi地震動(dòng)模型?，F(xiàn)有的強(qiáng)震地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄的傅里葉分析表明，即使是在頻率的一個(gè)有限區(qū)段內(nèi)傅里葉振幅譜也不是常數(shù)，這些振幅譜有點(diǎn)波動(dòng)的性質(zhì)，可能在一個(gè)或幾個(gè)頻率點(diǎn)上出現(xiàn)波峰，而波峰隨頻率的增大而衰減。所有這些使我們可以假定只要適當(dāng)選擇過(guò)濾轉(zhuǎn)換特性，一個(gè)平穩(wěn)過(guò)濾白噪聲隨機(jī)過(guò)程模型更能代表實(shí)際地面運(yùn)動(dòng)。Kanai和Tajimi建議的濾波函數(shù)為|H(3)丨2=(34+4g23232)/(32—32)2+4Z2^2^2 (1)gggggg式中3和g為地面特征頻率和特征阻尼比。gg根據(jù)這個(gè)濾波函數(shù)，地面加速度過(guò)程a(t)的功率譜密度函數(shù)為g(2)s(3)=|h(3)bs(2)0式中s為功率譜強(qiáng)度。01.2譜強(qiáng)度與地震最大加速度關(guān)系目前使用最多的地震動(dòng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)是最大地震加速度a.我國(guó)國(guó)家地震局1980年修訂的地震烈度表給出了對(duì)應(yīng)各地震烈度的地面地震動(dòng)最大加速度值。然而在隨機(jī)地震動(dòng)力分析中需要用到的地震動(dòng)參數(shù)是地面地震動(dòng)功率譜強(qiáng)度s0.為更好地利用現(xiàn)已積累的地震動(dòng)統(tǒng)計(jì)資料，建立地面地震動(dòng)功率強(qiáng)度與地震最大加速度之間的關(guān)系十分重要。 0將地面地震加速度過(guò)程視為隨機(jī)過(guò)程，每一實(shí)測(cè)地震加速度記錄即為隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)。那么通常用到的地震最大加速度建議值可在統(tǒng)計(jì)意義上更嚴(yán)格地定義為地震動(dòng)最大加速度期望值E［a］。m(3)根據(jù)Davenport公式［2］，有(3)E[a]=rampa式中r稱為地面地震動(dòng)加速度峰值因子；a為地面地震動(dòng)加速度過(guò)程a(t)均方根值。p a g式(3)建立了地震加速度均方值與最大地震加速度期望值之間的關(guān)系，通過(guò)該式可由地震最大加速度統(tǒng)計(jì)參數(shù)計(jì)算地震動(dòng)功率譜強(qiáng)度S.0地震加速度均方值式中S(3)為地面地震動(dòng)加速度過(guò)程的功率譜密度函數(shù)，采a用金井清譜，將式(2)和式(1)代入上式，有峰值因子a2=[(S3n)/4g](1+4g2)a0g g g峰值因子r=C+0.5572／Cp其中T為強(qiáng)震持時(shí)，違為加速度導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均方根值。其中T為強(qiáng)震持時(shí)，違為加速度導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均方根值。式(3)和式(4)即建立了譜強(qiáng)度與地震最大加速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。如果采用式(5)計(jì)算峰值因子，一定要計(jì)算地震加速度導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均方根值％。金井清地震動(dòng)模型的吒是沒(méi)有收斂解的。有一些金井清譜的修正模型正是以此為出發(fā)點(diǎn)提出對(duì)原模型的修正。但實(shí)際上，式(3)是在統(tǒng)計(jì)意義上成立的一個(gè)關(guān)系式，通過(guò)大量實(shí)測(cè)地震記錄的統(tǒng)計(jì)分析確定r的取值，似為一更合理的途徑。在這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，金井清譜的缺陷并不影響該模型的實(shí)際運(yùn)用。已有的研究工作表明r的值是比較P穩(wěn)定的，受各參數(shù)的影響不敏感。對(duì)巖石壩基r約為3.0.p1.3豎向地震動(dòng)功率譜及互相關(guān)譜對(duì)象重力壩一類的工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行二維分析時(shí)，除了水平方向地震動(dòng)還須考慮豎直向地震動(dòng)作用。此外，二個(gè)方向地震動(dòng)之間的相關(guān)性也應(yīng)加以考慮。這里介紹一種簡(jiǎn)便的處理方法。豎向地震加速度過(guò)程同樣可采用金井清模型。3和g取值與水平地震加速度相同，唯一待定的參數(shù)是豎向地震加速度功率譜強(qiáng)度S。大量實(shí)測(cè)地震記錄的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果表明，豎向最大加速度約為水平最大加速度值的1/2?2/3，偏于安全通常取其比值為2/3。gv于是有E[aV]=(2/3)E[aH],由式(3)、式(4)可得SV=(4/9)SH,即豎向地震加速度功率譜強(qiáng)度可取為水平向譜強(qiáng)度的4/9.gm gm g g水平地震動(dòng)與豎向地震動(dòng)之間的相關(guān)關(guān)系可以通過(guò)大量實(shí)測(cè)地震記錄的統(tǒng)計(jì)相關(guān)分析得到。在缺乏統(tǒng)計(jì)研究結(jié)果的情況下，偏于安全可暫設(shè)3個(gè)方向地震動(dòng)過(guò)程完全線性相關(guān)，即aV(t)=(2／3)aH(t).那么，二方向地震動(dòng)過(guò)程互相關(guān)函數(shù)RH=E[aH(t)aV(t+g g gv g gT)]=2/3R(t),R(T)為水平地震加速度的自相關(guān)函數(shù)。gH gH因此，互功率譜函數(shù)，式中S因此，互功率譜函數(shù)，式中SgH(3)為水平地震加速度的功率譜密度函數(shù)。按以上計(jì)算，顯然有R(t)=R(T)和S(3)=S(3).HVVHgHVgVH因此近似地處理，二方向地震加速度過(guò)程的互功率譜密度函數(shù)也取為金井清譜形式，其譜強(qiáng)度為水平向譜強(qiáng)度的2/3.二維結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)力響應(yīng)分析二維結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程為(6)血］倣｝十［□同十閃圈=-［皿］問(wèn)｛叫｝(6)［M］、［C］、［K］分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；｛u｝、｛糾、｛u｝分別為位移、速度和加速度向量；｛a｝為g基礎(chǔ)地震動(dòng)加速度；［G］稱為轉(zhuǎn)換矩陣。解藕后的運(yùn)動(dòng)方程為左j十陰氣迅'十謁兀= ⑺Xj、Xj、分別為廣義坐標(biāo)的位移、速度和加速度；3、0、P為對(duì)應(yīng)于j階振型的頻率、阻尼比及廣義j jj激勵(lì)。廣義激勵(lì)式中，｛式中，｛u｝為第j階振型向量。jP={u}T[M][G]{a}

j j g作傅里葉變換電（妨二］Fj（f）63tp（矗j階振型廣義坐標(biāo)的功率譜密度函數(shù)S（3）=|H（3）|2S（3）Xj j Pj式中H（3）為j階振型的頻率響應(yīng)函數(shù)。|H（3）〔2=1/［（32-32）2+4023232］.j j j jj2.1廣義激勵(lì)及廣義坐標(biāo)的功率譜密度函數(shù)從式（9）可見(jiàn)，結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)力分析首先需要計(jì)算廣義激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)。(10)廣義激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)(10)S(3)={u}t[M][G][S(3)][G][M]{u}式中［W式中［W云欣⑻譏汀為基礎(chǔ)地震動(dòng)輸入加速度功率譜矩陣，矩陣具有對(duì)稱性。設(shè)［f（3）］=［m］［g］［s（3）］［G］t［M］，則廣義激勵(lì)功率譜密度函數(shù)的計(jì)算公式化為十分簡(jiǎn)捷的形式gS（3）={uj}T［F（3）］{U} （11）PjK K［F（3）］表示結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)激勵(lì)，可稱為地震動(dòng)激勵(lì)功率譜矩陣。通過(guò)矩陣運(yùn)算可以得到結(jié)構(gòu)地震動(dòng)激勵(lì)功率譜矩陣的具體形式如下燉1理〔刨旳叱［務(wù)〔砌］■■-叫叫匹【越］眄旳［屯洵］曲［丑［的］■■-叫叫［云〔創(chuàng)叫叫Q呂［砌］叫叱［丑［砂］…叫嗎（創(chuàng)可以看到結(jié)構(gòu)地震動(dòng)激勵(lì)功率譜矩陣的元素排列具有很強(qiáng)的規(guī)律性，且為對(duì)稱矩陣。廣義坐標(biāo)功率譜密度函數(shù)為S(3)=H(-3)H(3)S(3) (13)XjkjkPjk廣義坐標(biāo)功率譜密度函數(shù)的計(jì)算公式具有十分簡(jiǎn)單的形式，這是結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論的特點(diǎn)。2.2結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)力響應(yīng)結(jié)構(gòu)位移分量u=[u]{X}(j=1,2,…,n) (14)jj式中[u]為振型矩陣的第j行[u]=[U，U，…，U]；{X}為廣義坐標(biāo)列陣。j j j1j2 jn結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)u(t)的功率譜密度函數(shù)jS(3)=[u][S(3)][u]T (15)uj jX j式中[S(3)]為廣義坐標(biāo)功率譜密度矩陣，其元素由式(13)計(jì)算。X結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值(16)(16)如果忽略振型之間的相關(guān)性，即假設(shè)各振型是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，在這種情況下，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)計(jì)算公式可簡(jiǎn)化為(17)抵3-工應(yīng)％（珂結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值(17)抵3-工應(yīng)％（珂結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值由此，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方根值式中b2是第k階振型對(duì)應(yīng)的振型位移響應(yīng)（第j個(gè)位移分量）的均方值。ujk根據(jù)上式，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的均方根值為各振型位移響應(yīng)均方根值的平方和開(kāi)平方，結(jié)構(gòu)速度、加速度及動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的均方根值也存在類似的振型組合關(guān)系。結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)最大值的期望值與響應(yīng)均方值之間存在近似的比例關(guān)系，因此結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值可由各振型響應(yīng)最大值的平方和再開(kāi)平方獲得。這就是國(guó)內(nèi)外廣為使用的振型組合“平方和開(kāi)平方法”，其理論基礎(chǔ)來(lái)源于此。根據(jù)結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)、加速度響應(yīng)與結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)功率譜密度函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，容易推求結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)及加速度響應(yīng)功率譜密度函數(shù)和響應(yīng)均方值的計(jì)算公式。地震動(dòng)力響應(yīng)最大值應(yīng)用隨機(jī)振動(dòng)理論，將地震動(dòng)輸入過(guò)程模擬成均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震動(dòng)力響應(yīng)分析，結(jié)構(gòu)響應(yīng)也是均值為零的平穩(wěn)過(guò)程。因均值為零，結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)過(guò)程的均方值是其最重要的統(tǒng)計(jì)特征量。在平穩(wěn)高斯過(guò)程的假設(shè)下，均方值給出了隨機(jī)響應(yīng)過(guò)程的完整描述。根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)過(guò)程及其導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均方值可以計(jì)算結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)的期望值及其方差。對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)過(guò)程，結(jié)構(gòu)地震最大響應(yīng)為隨機(jī)變量。其期望值和方差是描述結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)概率分布特征的主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)。結(jié)構(gòu)地震最大響應(yīng)的期望值和方差對(duì)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析及結(jié)構(gòu)工程設(shè)計(jì)具有重要參考價(jià)值。隨機(jī)過(guò)程最大值的計(jì)算方法通學(xué)采用Davevport1963年提出的一個(gè)近似算法結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)過(guò)程y(t)超過(guò)限值b的事件，當(dāng)b足夠大時(shí)，可認(rèn)為是稀有事件，它的概率分布符合Poission分布。那么有(19)p(n,T)=[(NT)n/n!]exp(-NT)(19)bb式中p(n,T)代表隨機(jī)過(guò)程y(t)在T時(shí)段內(nèi)n次超過(guò)限值b的概率；T為強(qiáng)震持時(shí)；N表示隨機(jī)過(guò)程單位時(shí)間內(nèi)超過(guò)限值b的平均次數(shù)。b根據(jù)Rice公式(20)式中。和◎分別為隨機(jī)過(guò)程y(t)和隨機(jī)導(dǎo)數(shù)過(guò)程(t)的均方根值。y由式(19)，最大地震響應(yīng)小于b的概率為F(b)=p(0,T)=exp(-NT) (21)上式即為最大響應(yīng)的概率分布函數(shù)。對(duì)其進(jìn)行積分運(yùn)算可得到最大響應(yīng)概率密度函數(shù)p(b).再由概率統(tǒng)計(jì)理論期望值計(jì)算公式吶"&，可以得到最大地震響應(yīng)期望值計(jì)算公式為論期望值計(jì)算公式吶"&，可以得到最大地震響應(yīng)期望值計(jì)算公式為式中系數(shù)式中系數(shù)E[b]=o(C+0.5772/C)y?根據(jù)方差計(jì)算公式O2=E[b2]-(E[b])2,可得到最大地震響應(yīng)均方差的計(jì)算公式y(tǒng)(23)(23)采用公式(22)和(23)可方便地計(jì)算結(jié)構(gòu)最大地震響應(yīng)的均值及方差，計(jì)算公式形式十分簡(jiǎn)捷。算例選取某實(shí)際工程FM混凝土重力壩進(jìn)行隨機(jī)地震動(dòng)力分析。重力壩壩高77.5m，壩體混凝土質(zhì)量密度2.35t/m3，動(dòng)彈模30.0GPa,泊松比0.20；壩基動(dòng)彈模ll.OGPa,泊松比0.27?為消除壩基的放大作用，按無(wú)質(zhì)量壩基進(jìn)行分析。庫(kù)水的影響采用附加質(zhì)量矩陣計(jì)算，庫(kù)水附加質(zhì)量按Wetergaard公式換算。工程設(shè)計(jì)地震烈度7度，根據(jù)我國(guó)新的地震烈度表，7度地震對(duì)應(yīng)的地面最大地震動(dòng)加速度為125cm/s2。壩基地震動(dòng)加速度模擬為均值為0的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，壩基地震加速度輸入采用金井清過(guò)濾白噪聲模型，取3=5ngrad/s，g=0.60.按本文介紹的方法計(jì)算，水平向地震動(dòng)加速度譜強(qiáng)度S=34.6cm2/s3,豎直向地震動(dòng)加速度譜強(qiáng)度S=15.38cm2/s3,g gH gV二方向地震動(dòng)加速度互譜強(qiáng)度S=23.07cm2/s3.gHVFM重力壩壩體特征部位地震動(dòng)力響應(yīng)均方根值及最大值的計(jì)算成果列于表1-表3,圖1—圖3繪出重力壩地震動(dòng)力響應(yīng)最大值的分布。表1FM重力壩壩體地震動(dòng)位移響應(yīng)計(jì)算成果表均方根響應(yīng)最大響應(yīng)特征部位壩頂壩踵壩趾下游折坡特征部位壩頂壩踵壩趾下游折坡水平位移/mm3.0900.2610.2642.172水平位移均值/mm9.9420.8470.8546.975速度/(mm/s)63.0755.8725.71143.502均方差/mm1.3100.1090.1110.922

豎向位移/mm0.8400.3730.2630.302豎向位移均值/mm2.7161.2170.8541.016速度/(mm/s)18.1108.7155.9979.908均方差/mm0.3540.1560.1100.122表2FM重力壩壩體地震加速度響應(yīng)計(jì)算成果表均方根響應(yīng)最大響應(yīng)特征部位壩頂壩踵壩趾下游折坡特征部位壩頂壩踵壩趾下游折坡水平加速度/(m/s2)1.5500.4610.4501.010水平均值/(m/s2)2.2581.5351.4783.292導(dǎo)數(shù)/(m/s3)56.0013.6011.4023.20均方差/(m/s2)0.6200.1880.1860.423豎向加速度/(m/s2)0.6620.5090.4620.616豎向均值/(m/s2)2.2431.6971.5222.106導(dǎo)數(shù)/(m/s3)23.8015.2012.2024.60均方差/(m/s2)0.2640.2070.1960.244表3FM重力壩壩體地震動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)計(jì)算成果表均方根響應(yīng)最大響應(yīng)特征部位壩踵壩趾下游折坡處壩體上部上游面應(yīng)力集中處特征部位壩踵壩趾下游折坡處壩體上部上游面應(yīng)力集中處僅宀工十召。/MPa導(dǎo)數(shù)豎向正應(yīng)力y宀值0.1590.1750.1220.204豎向正應(yīng)力均值/MPa1.6760.5640.4110.665(MPa/s)11.03.644.074.77均方差/MPa0.2190.0740.0490.085主應(yīng)力d/MPa導(dǎo)數(shù)1值0.5490.3120.1900.205主應(yīng)力均值/MPa1.7731.0031.0320.668(MPa/s)////均方差/MPa0.2080.0780.0470.085由隨機(jī)地震動(dòng)力分析得到的FM重力壩地震動(dòng)位移分布規(guī)律，與常規(guī)動(dòng)力分析方法所得規(guī)律是一致的。最大動(dòng)位移出現(xiàn)在壩頂上游側(cè)，壩頂均方根水平動(dòng)位移3.090mm，壩頂水平最大動(dòng)位移均值9.942mm，均方差1.310mm，變異系數(shù)0.132.根據(jù)FM重力壩壩體地震加速度隨機(jī)響應(yīng)分析結(jié)果，自壩基至壩頂，壩體加速度逐漸增大。在重力壩隨機(jī)地震動(dòng)力分析成果中，重力壩的地震放到大效應(yīng)也得到較好的體現(xiàn)。壩頂水平均方根加速度1.550m/s2,壩頂水平最大加速度均值5.258m/s2,均方差0.620m/s