人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)A版-選修2-3-第二章隨機(jī)變量及其分布-2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

習(xí)題解答練習(xí)(第73頁)1.不一定.比如擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面的次數(shù)X是隨機(jī)變量,它取值0,1,取每個(gè)值的概率都為,其均值是,即不是1,也不是0,再比如隨機(jī)變量X的分布列為X-1010PX的均值是2,而不是10.說明本題的目的是希望學(xué)生不要誤解數(shù)學(xué)期望的含義,數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的平均水平，它不一定是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果之一.2.E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.說明根據(jù)定義計(jì)算離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,是最基本的習(xí)題.3.X的分布列為X-11P所求均值為E(X)=-1×+1×=0.說明要計(jì)算離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，一般首先寫出該隨機(jī)變量的分布列.4.第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)E(X1)=0×+1×+2×+3×=1,第2臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)E(X2)=0×+1×+2×=.因?yàn)榈?臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)EX2小于第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)EX1，所以第2臺(tái)機(jī)床更好，其實(shí)際含義是隨著產(chǎn)量的增加,第2臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)要比第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)小.說明本題訓(xùn)練學(xué)生解釋隨機(jī)變量均值的含義,特別用于兩個(gè)隨機(jī)變量的比較中.5.同時(shí)拋擲5枚質(zhì)地均勻的硬幣,相當(dāng)于做5次重復(fù)試驗(yàn),出現(xiàn)正面向上的硬幣數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(5，，所以E(X)=np=5×=.說明在教科書中已給出二項(xiàng)分布的期望,本題可以直接利用這個(gè)結(jié)果.練習(xí)(第78頁)1.E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=,≈.說明這個(gè)分布列是對稱的,對稱軸是X=2，所以均值為2.分布列的圖像表示如下：2.E(X)=c×1=c,D(X)=(c-c)2×1=0.說明隨機(jī)變量X滿足P(X=c)=1,其中c為常數(shù),這個(gè)分布稱為單點(diǎn)分布,實(shí)際上，這里把常數(shù)看成是特殊的離散型隨機(jī)變量.因?yàn)樵撾S機(jī)變量僅取一個(gè)值,當(dāng)然刻畫離散程度的量應(yīng)該為0.3.隨機(jī)變量的方差反映隨機(jī)變量的取值穩(wěn)定(或偏離)于均值的程度.方差越大，隨機(jī)變量的取值越分散，方差越小,隨機(jī)變量的取值越集中于均值附近.通常在均值相等的情況要比較方差的大小.例如:在本節(jié)72頁例3中,三個(gè)方案的平均損失分別為3800,2600，3100，平均損失不等，所以選擇平均損失最小的方案.但假如三個(gè)方案的平均損失相等,我們又應(yīng)該選擇哪個(gè)方案呢，通常是選擇方差最小的方案.再比如，有三種投資方案,它們的平均收益相同,但方差不同,是選擇方差大的方案還是選擇方差小的方案,這要因情況而定.如果一個(gè)人比較喜歡冒險(xiǎn),那么應(yīng)該選擇方差大的方案，如果一個(gè)人喜歡穩(wěn)定的收入，那么應(yīng)該選擇方差小的方案.例如股票投資和儲(chǔ)蓄兩種方案,假設(shè)兩種方案的平均收入相同,喜歡冒險(xiǎn)的人一般會(huì)選擇股票投資.說明通過讓學(xué)生舉例子的方式,希望學(xué)生理解方差的含義.習(xí)題(第79頁)A組1.E(X)=-2×+1×+3×=.E(2X+5)=2×EX+5=.D(X)=2×+2×+2×=.≈.說明已知離散型隨機(jī)變量的分布列計(jì)算均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差屬于最基本的習(xí)題.2.在同樣的條件下連續(xù)射擊10次,相當(dāng)于做10次重復(fù)試驗(yàn),擊中靶心的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(10，，所以E(X)=np=10×=9.說明此題類似74頁第5題,在教科書中已給出二項(xiàng)分布的期望的公式，本題可以直接利用這個(gè)結(jié)果,不用再按期望的定義從新計(jì)算.3.設(shè)X表示一張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)金額，則它的分布列為X210501001000P其數(shù)學(xué)期望為E(X)=2×+10×+50×+100×+1000×=2,說明如果發(fā)行獎(jiǎng)券的公司按上面的方式發(fā)行獎(jiǎng)券，那么它一分錢也得不到，連手續(xù)費(fèi)都要自己出,沒有公司會(huì)接上面的方式發(fā)行獎(jiǎng)券.通常1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值要小于買一張獎(jiǎng)券的金額,小的越多券商爭得越多，學(xué)生可以就某一種彩票的中獎(jiǎng)情況進(jìn)行分析.4.E(X1)=6×+7×+8×+9×+1O×=8,D(X1)=(6-8)2×+(7-8)2×+(8-8)2×+(9-8)2×+(10-8)2×=,E(X2)=6×+7×+8×+9×+10×=8,D(X2)=(6-8)2×+(7-8)2×+(8-8)2×+(9-8)2×+(10-8)2×=.因?yàn)榧住⒁覂擅涫值钠谕h(huán)數(shù)相等,而乙射手射擊的環(huán)數(shù)方差比甲射手射擊的環(huán)數(shù)方差大，所以可以說，甲、乙兩名射手射擊的平均水平?jīng)]有差別,在多次射擊中平均得分差別不會(huì)根大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定,多數(shù)得分在8環(huán),而乙得分比較分散，近似平均分配在6～10環(huán).說明考查學(xué)生對離散型隨機(jī)變量的期望和方差的理解.P==在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(30,),成功次數(shù)X的期望為:E(X)=np=30×=≈說明本題的關(guān)鍵是能將在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)X看出二項(xiàng)分布和計(jì)算試驗(yàn)成功的概率p.2.設(shè)這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利X萬元,首先計(jì)算X可能取每個(gè)值的概率:P(X=5)=5=,P(X===,P(X-0)==,P(X=-1)=1-P(X=5)-P(X=-P(X=0)