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證明等比數(shù)列三法判定一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列,首先要檢驗(yàn)它是否滿足等比數(shù)列的前提條件:每項(xiàng)均不為零.然后,運(yùn)用下列幾種常用的方法來(lái)判定即可.一、定義法即驗(yàn)證(,為不為0的常數(shù),)是否成立.例1已知成等比數(shù)列,均不為零.求證:成等比數(shù)列.證明:設(shè),則,所以成等比數(shù)列.點(diǎn)評(píng):在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),應(yīng)注意等比定理(若,則)的運(yùn)用.二、等比中項(xiàng)法三個(gè)非零實(shí)數(shù),若滿足,則成等比數(shù)列.例2已知為x的一次函數(shù),且.在數(shù)列中,,其中,求證:數(shù)列為等比數(shù)列.證明:當(dāng)時(shí),,則,. .而,,,所以,且當(dāng)時(shí),,故數(shù)列為等比數(shù)列.三、通項(xiàng)公式法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為(為不等于0的常數(shù));反之,如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為(為不等于0的常數(shù),且),則數(shù)列是等比數(shù)列.例3已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,且也成等差數(shù)列,又.求證:為等比數(shù)列.證明:因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以,即,設(shè)的公差為,則,得,從而.若,則為常數(shù)列,此時(shí)是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列;若,則,這時(shí)是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.綜上可知,為等比數(shù)列.
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